二维稳态热传导中热导率异常的双响应驱动识别与反演

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Dual-response-driven identification and inversion of thermal conductivity anomalies in two-dimensional steady-state heat conduction

　　

•双响应信号实现异常区域的自动定位。•高导热/低导热双分支避免预设异常导热类型。•分区反演恢复异常边界和导热系数。引言二维稳态热传导中空间导热系数分布的识别与反演是热分析、材料检测、热异常诊断和结构健康监测领域的重要研究课题。通过温度响应推断材料的内部导热系数分布，有助于揭示介质内部的非均匀性、局部异常区域和潜在缺陷位置，因此具有重要的理论意义和工程价值。然而，热传导反演问题通常是病态的。Alifanov指出，此类问题的反演结果往往对测量噪声、离散化误差、初始猜测和先验约束非常敏感，观测中的微小扰动在反演求解过程中可能被放大，从而对稳定准确的参数识别构成严峻挑战[1]。在导热系数反演方面已有大量研究，形成了多种技术路线，包括连续导热系数场重建、区域或包埋体识别、温度依赖型或非线性的热物性参数估计，以及近年来兴起的数据驱动和物理信息学习方法。为阐明相关研究的技术发展脉络并进一步明确本文所提方法的定位，此处将现有文献归纳为两个具有代表性的研究方向：一是基于热传导控制方程、优化理论和正则化框架的传统模型驱动反演方法，二是较新发展的数据驱动和物理信息学习方法。下面对这两个方向进行简要综述。第一类是传统模型驱动反演方法。这类方法通常基于热传导控制方程、优化理论和正则化框架进行参数识别。在连续场反演方面，Huang和Chin建立了二维非均匀介质中导热系数成像的反演模型，实现了二维导热系数场的直接重建[2]。Jones等人早期从热层析的角度探讨了内部非均匀性的检测，为后续基于温度场分布的内部参数识别提供了初始框架[3]。Liu等人研究了空间变化的导热系数和热容的高精度联合计算，表明温度响应中包含关于内部热物性分布的重要信息[4]。Toivanen等人在热层析框架内实现了分布导热系数、热容和表面对流系数的联合估计[5]。Somasundharam和Reddy利用红外相机获取非接触温度场，并结合Levenberg-Marquardt方法重建二维非均匀介质中空间分布的热物性参数[6]。Knupp提出了一种基于积分变换的直接识别方法，以避免在反演过程中反复求解正问题，从而降低计算成本[7]。在区域、界面或包埋体识别方面，Dashti Ardakani和Khodadad采用边界元方法和粒子群优化算法，在二维稳态问题中同时识别包埋体的导热系数和几何形状[8]。Babaniyi等人提出了本构方程直接误差(D-ECE)框架，以提高间断导热系数重建的稳定性和适应性[9]。Ciarbonetti等人构建了带有先验惩罚的变分正则化方法，用于二值型和N值型非均匀导热系数分布，从而实现了分段常值导热系数场的重建[10],[11]。Milewski进一步讨论了具有分段间断导热系数的二维材料中的正向温度预测以及材料参数和内部热源的逆识别[12]。此外，对于温度依赖型、非线性或多参数耦合反演，Cui等人比较了Levenberg-Marquardt方法、共轭梯度法和最小二乘法在瞬态非线性多参数导热系数估计中的性能[13]。Jiang等人结合单元微分法、复变函数导数法和改进的Levenberg-Marquardt算法，用于识别二维和三维瞬态问题中温度依赖的导热系数[14]。Islam等人采用伴随方法，在二维非线性稳态热传导背景下同时识别多个导热系数参数[15]。总体而言，这些方法通常具有清晰的物理基础和较强的可解释性。然而，当未知量维度较高或异常边界较为复杂时，它们也容易面临病态性加剧、对正则化依赖性强以及边界重建不够清晰等问题。第二类是数据驱动和物理信息学习方法。近年来，物理信息神经网络等方法逐渐被引入热传导反演问题，为表示复杂参数场和联合识别多参数提供了新的技术路线。Shang等人利用物理约束学习框架实现了边界热通量和导热系数的同时识别[16]。Bidou等人将物理信息神经网络扩展到二维瞬态热传导场景，用于识别热源和热物性参数，并进一步讨论了传感器布设问题[17]。Xiao等人将水平集表示与物理信息神经网络相结合，在任意拓扑条件下检测热源，展示了将隐式几何表示与物理约束相结合的优势[18]。这些方法在处理复杂参数关系、稀疏观测和耦合约束方面表现出较强的灵活性。然而，对于本文所考虑的问题，即二维稳态热传导中少量局部异常的识别，在有限观测条件下如何同时实现自动定位、边界清晰恢复、反演稳定性和结果可解释性，仍有待进一步研究。综上所述，对于区域、界面或包埋体的识别，现有研究表明，以区域级或分段常值的方式表示异常导热系数有助于降低未知量的维度并提高结果的可解释性[8],[9],[10],[11]。然而，对于本文所考虑的问题，即二维稳态热传导中少量局部异常的识别，在仅有有限观测的情况下，现有方法仍可能面临优化复杂度高、边界恢复不清晰或需要预设异常类型等挑战。针对这些局限，本研究聚焦于此类问题，构建了"参考场差分驱动定位–区域参数估计–形态学精细化"的处理流程。与现有区域级反演方法相比，所提方法的主要特点体现在以下三个方面。第一，通过构建均匀背景参考温度场并结合温度差、梯度差和拉普拉斯差形成双响应表示，该方法能够实现异常区域的自动定位，从而避免直接进行高维连续场反演。第二，通过基于背景导热系数的较高导热(HC)和较低导热(LC)异常假设的双分支机制，结合拟合误差驱动的分支选择，该方法能够统一处理高导热、低导热和混合异常场景，无需预设异常的导热类型。第三，通过连通区域划分、区域最小二乘法估计导热系数和形态学精细化处理，输出结果可以直接对应异常区域的位置、边界和导热系数参数，从而具有良好的物理可解释性和直观的结果呈现。因此，所提方法更适合于涉及少量局部异常识别的任务，在这些任务中需要同时兼顾反演稳定性、边界识别清晰度和结果可解释性。本文其余部分的组织结构如下。第2节介绍问题描述和所提方法。第3节介绍数值模型、参数设置和评估方法。第4节提供结果分析、方法比较和讨论。最后，第5节总结本文的主要结论。片段问题陈述本文考虑的问题是在二维稳态热传导中识别和反演导热系数异常。计算域为二维矩形区域Ω=[0,Lx]×[0,Ly]，其中包含均匀背景介质和若干局部异常区域。对应的导热系数场可以描述为分段分布函数。给定内部热源项Q(x,y)和边界条件，温度数值模型与参数设置本节详细说明物理和离散化设置，并在不同的异常几何形状、异常数量、导热系数值和噪声水平下进行对比测试。具体的物理和离散化设置列于表2，关键实现参数见表3。除异常几何形状、异常数量、背景和异常的导热系数值以及噪声水平外，结果与讨论结果与讨论按单一异常、多异常、噪声扰动和消融研究的顺序呈现。所有算例的主要定量结果汇总于表4，以下各节结合边界识别结果、响应图和误差分布图进行详细分析。结论本文提出了一种面向二维稳态热传导中局部导热系数异常识别与反演的双响应驱动方法。通过构建均匀背景参考温度场并联合利用幅值响应和结构响应，该方法实现了异常定位。此外，通过引入HC/LC双分支机制并结合分区参数化反演策略，该方法能够统一处理作者贡献声明Tianyu Zhang：论文撰写–初稿撰写、可视化、方法论、调查研究。Taiyue Yang：论文撰写–初稿撰写、可视化、方法论、调查研究。Yue Xiao：论文撰写–审阅与编辑、监督指导、调查研究、经费获取、概念构思。Lin Zhang：论文撰写–审阅与编辑、验证、方法论。资助声明本工作得到国家自然科学基金(批准号：12402301、12072177、12372248)的支持。利益冲突声明作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。Tianyu Zhang | Taiyue Yang | Yue Xiao | Lin Zhang