固液界面时域热反射测量中的热参数解耦：一种目标重构的深度学习框架

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：Thermal parameter decoupling in time-domain thermoreflectance measurements on solid-liquid interfaces: A target-reengineered deep learning framework

　　

摘要

时域热反射法（TDTR）是表征界面热输运特性的有力工具，但在固/液结构中同时反演多个热物性参数仍然极具挑战性，因为在典型实验条件下，相应的反演问题属于严重不适定问题。因此，传统的非线性最小二乘（NLS）拟合可能在数值上收敛，却无法得到约束良好或物理上可靠的参数估计。在此，我们提出了一种目标重构的多任务残差神经网络（MTL-ResNet）用于TDTR多参数反演。该框架不再直接预测原始参数，而是学习经过重构的目标变量，使学习目标与TDTR信号中所包含的可辨识信息更好地匹配，从而减少参数间的干扰，并提高弱表达目标的可学习性。以代表性的SiO?/Al/水体系为例，该框架给出的SiO?/Al界面热阻（ITR）为7.8 m2·K/GW，Al/水界面热阻为11.5 m2·K/GW，水的热导率为0.58 W/m·K。与传统的NLS拟合相比，所提框架给出了更为稳定的参数估计结果，并且与现有独立测量值及文献参考范围的吻合度更高。这些发现表明，目标重构是稳定固/液TDTR强耦合多参数反演的有效途径，并为常规拟合受限系统中的热计量提供了一般性的数据驱动策略。

1. 引言

对异质材料、多层结构和界面系统进行精确的热物性表征，对于包括先进电子散热[1]、[2]、相变热管理[3]、微流控传热以及生物医学热诊断[4]、[5]、[6]在内的广泛技术领域至关重要。在这些系统中，散热过程不仅受体相热物性的支配，还受薄膜、界面及相邻介质之间多条热路径的耦合影响。因此，现代热计量中的核心挑战之一是，如何可靠地提取共同决定所测量热响应的多个热物性参数。

在现有的实验方法中，泵浦-探测热反射技术因其非接触特性、高时间分辨率以及与层状材料体系的兼容性，已成为探测纳米和微尺度热输运的有力平台。特别是飞秒激光时域热反射法（TDTR）已被广泛用于表征固体、液体和纳米结构中的热导率、体积热容及界面热输运特性[7]。然而，随着这些技术越来越多地应用于热学和结构上更为复杂的体系，其主要瓶颈始终是：如何从一组瞬态信号中恢复多个耦合热物性的反演问题[8]、[9]。在许多实际相关案例中，不同的参数组合可能产生非常相似的理论上响应，使得定量解释变得困难。

这种困难的根源在于反演问题的数学结构。当多个未知参数同时贡献于同一热反射信号时，其灵敏度特征在实验可及的时间范围内可能变得高度相关，甚至近似共线。在此条件下，反演模型的雅可比矩阵变得严重不适定，相应的损失曲面在参数空间中发展出延伸的浅谷[10]、[11]、[12]、[13]。因此，常规的基于梯度的非线性最小二乘（NLS）拟合方法，包括Levenberg-Marquardt类算法，可能在数值上收敛，但仍无法给出约束良好或具有物理意义的参数估计[9]、[11]、[12]。重要的是，这一局限并非仅仅源于初始猜测不佳或优化力度不足，而是反映了在有限实验精度下参数强耦合与实用性不可辨识的深层问题。尽管多频策略在某些情况下可以改善参数的可区分性，但它们通常只能缓解而非消除参数间的内在耦合。

固/液体系是这一广泛反演问题挑战的一个重要实例。在TDTR测量中常用的窗口/换能器/液体构型[14]中，金属换能器双向释放吸收的能量：一方面通过固体侧路径传向透明窗口，另一方面通过固/液界面跨入液体侧路径。所测量的TDTR比值信号因此同时受到固/固界面热阻（ITR?）、固/液界面热阻（ITR?）和液体热导率（k_liquid）的影响。由于这些参数共同决定了整体热流响应，它们在反演中可能表现出强烈的补偿效应，使得在常规拟合框架内同时提取这些参数极具挑战性。除反演问题视角之外，解决这一耦合问题也具有直接的工程重要性，因为准确掌握跨越界面或在液体侧内部的热输运特性，对于浸没式冷却、微流控热交换器和液滴介导传热等应用至关重要[2]、[15]、[16]。

为克服常规拟合方法的局限，机器学习（ML）越来越多地被探索作为从热反射数据中反演热物性的替代途径。近期研究表明，ML在TDTR、FDTR及相关泵浦-探测技术中展现出巨大潜力，包括热物性的快速回归、不确定性感知的数据分析、深度依赖热导率分布的重建以及大型热反射数据集的高效处理[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。这些进展表明，ML可以提高计算效率并拓展热反射数据分析的范围。尽管取得了这些进展，但简单地用通用神经网络替代NLS并不会自动解决底层的可辨识性问题。当目标参数之间存在强相关性或灵敏度幅值不平衡时，标准的多输出网络仍可能遭受梯度饥饿问题，即学习过程偏向于最具强表达力的目标，而弱表达或纠缠的目标仍然预测不佳[23]、[24]。因此，反演问题的实用性不可辨识性在机器学习领域表现为相应的可学习性瓶颈，这一联系在以往的热反射研究中尚未被明确分析。

Chen等人[8]近期开展的一项密切相关的工作，采用了一种在NLS框架内基于物理重参数化的策略来处理多层固体系统中的参数解耦问题。尽管该工作证明了拟合变量的精心选择可以改善固/固系统中反演问题的条件数，但它并未涉及固/液结构中雅可比矩阵病态性的物理起源和数值严重性，也未提出能够同时实现多参数恢复与不确定性量化的数据驱动反演框架。因此，本工作在以下三个关键方面做出了不同的贡献：（i）对参数补偿物理起源的解析解释，以及定量奇异值分析，证明在研究条件下完整的数值TDTR雅可比矩阵形式上是满秩的，但严重病态；（ii）目标空间变换，对原始参数进行重新表述，使学习目标与TDTR信号中表达的主要参数组合更加一致；以及（iii）多任务学习残差神经网络（MTL-ResNet），在正则化病态反演映射的同时减少梯度干扰。

所提框架在构造的TDTR信号和来自代表性SiO?/Al/水结构的实验测量数据上进行了验证。通过明确地将物理可辨识性分析与面向ML的目标重参数化联系起来，本研究确立了一种在泵浦-探测热计量中解耦耦合热参数的一般策略。该框架还指向了其他泵浦-探测技术、高通量热表征以及新兴冷却技术中动态热诊断的更广阔机遇，尽管这些扩展的系统性验证仍属于未来工作范畴。

2. 实验方法

TDTR是一种功能强大的泵浦-探测光学技术，能够表征广泛的热物性参数，特别是纳米材料和纳米结构的热物性。图1(a)展示了典型TDTR系统的示意图。在该系统中，来自锁模钛宝石激光器（重复频率约80 MHz，中心波长785 nm）的激光被分成泵浦光和探测光。泵浦光在数十微米的斑点上局部加热样品，而探测光监测相同位置Al换能器的相应热反射变化。反射的探测光被光电探测器转换为电信号，锁相放大器提取调制频率处的热响应。锁相放大器同相分量与正交分量之比（Ratio = -V_in/V_out）随延迟时间的变化曲线通常被用来提取样品的未知热物性。模型输入包括各层的厚度、热导率和体积热容、泵浦和探测光斑半径以及调制频率。其余未知热物性参数通过迭代调整以使计算值与实验比值曲线之间的差异最小化。在非线最小二乘拟合中，通过对所有选定的延迟时间点的均方根误差（RMSE）进行最小化来获得参数矢量。对于固/液结构，液体样品按照图1(b-c)所示的装置进行放置。玻璃基底上镀有60–100 nm的Al层，其在约800 nm处具有高热反射系数，用作温度换能器。液体与Al层接触并容纳在容器中。TDTR装置的更详细示意图见我们之前的工作[25]、[26]。

图1. 使用TDTR对固/液系统进行热物性表征。(a) TDTR实验装置示意图。(b) 物镜和样品池的详细构型。(c) 窗口/换能器/液体结构的横截面模型，其中液体层中的热波示意了热穿透深度。红色箭头指示两个方向的热流，分别为通道1和通道2。

常规灵敏度系数 S_p = ?ln(-V_in/V_out)/?ln p 量化了相对于参数p的相对变化所产生的相对信号响应，而灵敏度矢量则决定了不同参数是否可以被区分。灵敏度的幅值和随时间的分布特征对于参数提取均很重要。灵敏度可忽略不计的参数无法从选定的信号范围内可靠地确定。当两个参数展现出足够大但形状明显不同的灵敏度特征时，它们对瞬态信号的影响原则上可以被分离。

3. 多参数TDTR反演的可辨识性与病态性

在NLS拟合框架中，解的稳定性及物理可靠性强烈取决于雅可比矩阵J各列矢量在迭代过程中线性独立的程度[11]。在TDTR数据分析中，J的元素定义为目标信号R相对于未知参数的偏导数。设目标矢量为：

(1) θ = [ITR?, ITR?, k_liquid]^T

其中ITR?、ITR?和k_liquid分别表示如图1(c)所示的固有固/固界面热阻、固/液界面热阻和液体热导率。上标T表示转置。J由三个列矢量组成，分别对应各参数在时间域上的灵敏度。

(2) J = [j? j? j?] = [?R/?ITR?, ?R/?ITR?, ?R/?k_liquid]

按照信号输出时间点对R展开，可得：

(3) J = [[?R(t?)/?ITR?, ?R(t?)/?ITR?, ..., ?R(t?)/?ITR?], [?R(t?)/?ITR?, ?R(t?)/?ITR?, ..., ?R(t?)/?ITR?], [?R(t?)/?k_liquid, ?R(t?)/?k_liquid, ..., ?R(t?)/?k_liquid]]

其中t?, t?, …, t?表示延迟时间。本质上，J充当物理模型的灵敏度矩阵。在具有当前参数估计θ_old的迭代步骤中，理论信号与实际实验信号分别记为R_old和R_exp。残差矢量定义为 r = R_old - R_exp。优化算法寻求一个参数增量Δθ以使该残差最小化。更新后的理论信号可通过灵敏度斜率与参数增量之积近似：

(4) R_new ≈ R_old + J·Δθ

为完美匹配实验数据（R_new = R_exp），算法必须求解如下线性方程组：

(5) J·Δθ = -r

通过建立正规方程，最优更新步骤为：

(6) Δθ = -(J^T·J)^{-1}·J^T·r

该方程揭示了NLS方法的一个关键脆弱性：如果J的列矢量表现出线性依赖性，则线性方程组 J·Δθ = -r 变为欠定方程组，产生无穷多可能的解。从数学上看，这表现为近似海森矩阵 H ≈ J^T·J 变得奇异（det(J^T·J)→0），使得逆矩阵 (J^T·J)^{-1} 的计算无法进行或数值不稳定。

值得注意的是，现代拟合求解器通常采用Levenberg-Marquardt（LM）算法来缓解这种数值不稳定性[12]。通过引入阻尼因子λ > 0，LM算法将式(6)修改为 (J^T·J + λI)Δθ = -J^T·r。这种正则化从数学上保证了矩阵是正定且可逆的，从而防止算法崩溃。然而，引入阻尼项λI实际上起到了L2正则化的作用，人为地迫使解严重依赖于初始猜测θ?[27]。在灵敏度矢量近乎共线的情况下，损失曲面会发展出延伸的浅谷。LM算法仅能保证数值收敛到该谷中的某一点，而非收敛到真实的物理状态[13]。此外，尝试通过采用全局优化启发式方法（如模拟退火SA[28]或遗传算法GA[29]）来绕过这一基于梯度的局限，同样证明是无效的。

由于问题的固有数学结构和近共线性的本质，目标函数可能在实验噪声水平范围内包含一个广泛且几乎等效的解区域 [13]。精确的线性依赖代表了一种极限情况。更一般地，当最小奇异值有限但远小于最大奇异值时，雅可比矩阵在形式上仍然是满秩的，但参数更新对噪声和模型不确定性变得高度敏感。为了理解为什么传统非线性最小二乘（NLS）拟合会变得不稳定并产生不可靠的参数估计，我们必须考察典型窗片/金属/液体平行散热结构中其灵敏度向量的固有数学特性。以下子节首先使用降阶热流模型来确定强灵敏度相关性背后的物理根源，然后使用完整的数值时域热反射（TDTR）模型来量化相应的病态性。

3.1. 两个 ITR 灵敏度之间近共线性的降阶分析

为了获得解析上透明的解释，我们首先考虑一个降阶模型，在该模型中铝（Al）换能器被视为集总热容，而两条散热途径由有效热导表示。该模型忽略了有限光斑的径向扩散和完整的频率依赖多层热阻抗。因此，它被用来确定主导的参数补偿机制，而不是建立完整 TDTR 雅可比矩阵的精确秩。

为了揭示 ?? 近共线性的根源，我们首先考察窗片/铝换能器/液体结构内热量传递的物理机制。在吸收飞秒泵浦脉冲后，薄铝换能器薄膜充当平面热源。鉴于其相对于窗片和液体基底的极高热导率以及纳米级厚度，铝膜内的空间温度梯度可以忽略不计，因此可以将其视为集总热容。因此，铝膜的热量通过两条平行途径向两侧耗散：朝向透明窗片或液体。这两条单侧途径的有效热导，分别记为 ????????,1（窗片侧）和 ????????,2（液体侧），可以通过串联热阻模型描述：
(7) ????????,1=1/??????1+??????????????
(8) ????????,2=1/??????2+??????????????
其中 ?????????????? 和 ?????????????? 分别代表有限厚度窗片和液体的本征热阻。系统的总有效散热能力由这两个通道的并联叠加决定 [14]：
(9) ????????????=????????,1+????????,2
计算得到的 TDTR 信号 ??exp 从根本上由 ???????????? 决定。因此，在推导 ?? 的列向量时，必须使用链式法则展开偏导数。对于第一个列向量 ??1，即 ?? 对 ??????1 的灵敏度，我们有：
(10) ????=???/???????1=(???/?????????????)?(?????????????/?????????,1)?(?????????,1/???????1)
我们可以定义时间导数项 ???/????????????? 为一个共同的时间向量。由于 ???????????? 是 ????????,1 和 ????????,2 的简单线性之和，偏导数 ?????????????/?????????,1 严格等于 1。同时，对方程 (7) 中的 ????????,1 进行微分得到：
(11) ?????????,1/???????1=?1/(??????1+??????????????)2=???2??????,1
将这些分量代回链式法则表达式，第一个列向量优雅地简化为：
(12) ????=????/????????????????2??????,1
对向量 ??2 应用相同的链式法则序列，我们也可以得到：
(13) ????=????/????????????????2??????,2
通过比较 ??1 和 ??2，由于 ????????,1 和 ????????,2 是仅取决于本征材料属性的标量值，并且完全独立于延迟时间，在降阶表示中，当有效途径热导在考虑的区间内被近似为与延迟时间无关时，这两个灵敏度向量变为成比例：
(14) ????/????=(????????,1/????????,2)2=常数
或者等价地：
(15) ??1=?????2
因此，当在非线拟合迭代中评估近似海森矩阵 ??≈??????? 时，列向量之间的近共线性导致以下近似矩阵结构：
(16) ??=???????=?? ??????????????????? ?????[???????????????]=?? ? ????2?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ??
在降阶假设下，相应的行变为成比例。这种近线性依赖使矩阵呈现病态。
从数学上讲，这种近线性依赖将优化算法限制在平坦的损失景观中。从物理上讲，这意味着算法可以生成几乎无法区分的温度衰减曲线，一个 ITR 的增加和另一个 ITR 的相应减少可以大幅抑制由此产生的信号变化。此外，它确保了理论比率曲线与实验结果一致。这种严重的参数补偿效应剥夺了拟合残差 ?? 对单个参数绝对值的约束能力，最终导致传统多参数拟合在这种界面系统中失效。为了直观地佐证这一现象，生成了均方根误差（RMSE）等高线图来映射目标损失景观。具体来说，在映射 ??????1 和 ??????2 参数空间的过程中，计算了每个特定参数组合下生成的理论温度衰减曲线与实际实验曲线之间的 RMSE。如图 2(a-c) 所示，生成的损失景观在所检查的参数分辨率内并未表现出局部最小值。相反，低误差区域（白色虚线区域）表现为一个细长的、对角取向的谷地。即使同时考虑所有三个调制频率 [30], [31]，联合损失景观也没有在当前实验分辨率内充分局部化唯一的参数组合。

Fig. 2. ??????1-??????2 空间中的目标损失景观和参数补偿现象。在面板 (a)-(c) 中，横轴代表窗片/铝界面热阻 ??????1，纵轴代表铝/液体界面热阻 ??????2。色标表示计算得到的 TDTR 信号与相应参考信号之间的均方根误差（RMSE）。等高线图是在 (a) 1.67 MHz、(b) 3.93 MHz 和 (c) 8.7 MHz 的调制频率下计算的，同时其余模型参数固定在其相应的参考值。在所有三种情况下，低 RMSE 区域形成的都是一个细长的谷地，而不是尖锐局部化的最小值。白色虚线表示近似的低误差区域，并说明了 ??????1 和 ??????2 之间的补偿性变化。(d) 在三个调制频率下获得的归一化 RMSE 表面的叠加。水平和深度轴分别代表 ??????1 和 ??????2，而垂直轴和色标代表归一化 RMSE。三个频率的损失景观表明，在检查的频率条件下获得的低误差区域仍然保持强烈拉长且大幅重叠，因为低误差区域大致沿着共同的参数补偿方向对齐。

在这个细长谷底的许多参数组合会产生几乎无法区分的理论衰减曲线，且具有同样低的残差。等高线图这种独特的几何特征可能对应于一种机制，其中 ??????1 的增加可以通过 ??????2 的相应减少来补偿。因此，拟合算法可以沿着 ????????????=常数 的轨迹滑动，同时仅使目标函数产生小幅增加，从而证明在该结构中，使用基于梯度的 NLS 方法在低误差谷内很难可靠地分辨单个热性质。

3.2. B. ITR1、ITR2 和 kliquid 之间灵敏度耦合的降阶分析

在 TDTR 数据分析中，使用对数灵敏度来评估参数灵敏度，其定义为参数 ?? 的分数变化引起的信号分数变化：
(17) ????=?ln????(??)/?ln???=????ln????(??)/???
设共同的复数偏导数表示为 ???(??)=?ln????(??)/?????????????。应用链式法则，??????1 的灵敏度为：
(18) ????????1?(??)=??????1??ln????(??)/???????1=??????1?(?ln????(??)/?????????????)?(?????????????/?????????,1)?(?????????,1/???????1)
(19) ????????1?(??)=??????1????(??)?(???2??????,1)
同样，??????2 的灵敏度为：
(20) ????????2?(??)=??????2????(??)?(???2??????,2)
接下来，我们评估液体热导率 ?????????????? 的灵敏度。对于受瞬态热通量影响的半无限介质，1D 热传导方程为 ???/???=????2??/???2，其中热扩散率 ??=??/???????。在恒定热通量边界条件 ???????/???|??=0=??0 下，近表面温升为：
(21) ????(0,??)=2???0√???√??/√??????????
因此，液体的瞬态热阻为：
(22) ???????????????(??)=???/??0=2√???√??/√??????????
由此可见，???????????????(??)≈???0.5????????????。将 ???????????????(??) 对 ?????????????? 微分得到：
(23) ????????????????(??)/???????????????=?0.5????0.5????????????????1????????????=?0.5????????????????(??)/??????????????
然后可以通过链式法则构建 ?????????????? 的对数灵敏度：
(24) ?????(??)=????????????????ln????(??)/???????????????=???????????????(?ln????(??)/?????????????)?(?????????????/?????????,2)?(?????????,2/???????????????)?(???????????????/???????????????)
(25) ?????(??)=???????????????[???(??)?1?(???2??????,2)?(?0.5???????????????/??????????????)]=0.5????(??)???2??????,2???????????????
为了检查在降阶模型中三个灵敏度向量是否可以变得近似依赖，我们确定 ????????2?(??) 是否可以近似为 ????????1?(??) 和 ?????(??) 的线性组合。因此，这需要找到标量系数 ??1 和 ??2，使得方程 (26) 成立：
(26) ????????2?(??)=??1?????????1?(??)+??2??????(??)
将推导出的表达式代入该方程，并将两边除以共同的非零项 ??????2??????,2，我们得到：
(27) ??????2=??1?(????????,1/????????,2)2????????1?0.5???2????????????????(??)
并且 ????????,1/????????,2 可以根据以下关系简化：
(28) (????????,1/????????,2)2=(??????2+???????????????(??)/??????1+???????????????(??))2=(??????2+???????????????(??)/??????1+??????????????????(??))2=(??????2/??????1)2?(1+???????????????(??)/??????2)2/(1+??????????????????(??)/??????1)2
通过对 (1+???????????????(??)/??????2)2/(1+??????????????????(??)/??????1)2 应用一阶泰勒展开并简化方程 (28)，我们可以得到：
(29) (????????,1/????????,2)2≈(??????2/??????1)2+2?(??????2/??????1)2?(1/??????2???/??????1)????????????????(??)=??0+??1????????????????(??)
其中 ??0 和 ??1 是常数。有必要证明泰勒展开保留在一阶项的合理性。方程 (29) 是一阶近似，仅在相应的展开变量保持足够小时才有效。因此，以下关系应解释为近似耦合关系，而不是在整个延迟时间范围内的精确恒等式。在这个短时间标度内，液体基底中的热穿透深度是受限的，意味着液体的热阻小于界面热阻（ITRs）。在我们的实验中，采用相对较低的调制频率 1.67 MHz 或 3.93 MHz，进入液体的最大热穿透深度（例如，??≈1.43 ×10?7 m2/s）受限于 ??=√??/(?????)≈ 165 nm。更重要的是，作为 NLS 拟合目标函数的比率曲线形状是由狭窄的延迟时间范围（t < 4 ns）决定的。在这个纳秒窗口内，瞬态动态热穿透长度（??≈√?????）被限制在大约 20–30 nm 左右。因此，展开变量 ???????????????(??)/?????? 是一个小参数。将这个线性化近似代回方程 (27) 得到：
(30) ??????2=(??1???0)???????1+(??1???????1???1?0.5???2)????????????????(??)
应该强调，方程 (26) 是关于整个延迟时间范围内灵敏度向量之间近似线性依赖的陈述，而不是单个延迟时间上的等式。因此，方程 (30) 必须在所考虑的时间范围内对 ???????????????(??) 的所有相关值成立，且具有相同的时间无关常数 ??1 和 ??2。由于左边 ??????2 是常数，而右边是时间相关量 ???????????????(??) 的函数，方程 (30) 只有在独立项 ???????????????(??) 的系数消失且常数项等于 ??????2 时才能在整个时间域上保持有效。这直接得出了方程 (31)。否则，方程 (30) 最多在 ?????????????? 的孤立值上成立，这将不足以建立灵敏度向量的近似线性依赖。因此，为了使方程 (30) 成立，系数必须满足：
??1???????1???0=??????2
(31) (??1???????1???1?0.5???2)????????????????(??)=0
在一阶近似内，可以获得合适的系数，使得 kliquid 的灵敏度被两个 ITR 灵敏度的线性组合紧密近似。因此，这三个灵敏度向量可以变得相关，为完整数值雅可比矩阵中观察到的较小第三奇异值提供了降阶解释。

为了验证上述数学推导，构建了一个典型的窗片/铝/液体结构的代表性理论 TDTR 信号。用于模拟的热物性列于表 1 中，生成的曲线绘制在图 3(a) 中。随后，计算了 ????????1、????????2 和 ???? 的灵敏度曲线。如图 3(b) 所示，所有三个目标的灵敏度相对较高且表现出明显差异。以前，这被解释为表明可以从信号中同时提取所有三个目标 [32]，尽管可能存在较大的不确定性 [33]。更重要的是，我们发现 ????????2 可以近似为 ????????1 和 ???? 的线性组合，具体为 ????????2≈1.57?????????1?0.41?????。如图 3(b) 中的虚线所示，从 ????????1 和 ???? 重建的复合灵敏度曲线紧随直接从物理模型导出的真实 ????????2 曲线。这证明了在评估的参数和延迟时间范围内，三个灵敏度向量之间存在强烈的近共线性。这表明由 ??????2 扰动引起的任何明显信号变化都可以通过 ??????1 和 ?????????????? 的耦合调整在小残差范围内再现，从而使得在 NLS 框架内同时提取这三个参数变得强烈病态，实际上很难解决。

Table 1. 用于生成理论 TDTR 信号的热物性。
| 结构 (Structure) | 热导率 k (W/m·K) | 热容 Cp (×10^6 J/m^3·K) | 厚度 d (nm) | 界面热阻 ITR (m^2·K/GW) |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 窗片 (Window) | 1.21 | 2.26 | - | - |
| 界面 1 (Interface 1) | - | - | - | 9.09 |
| 换能器 (Transducer) | 96.26 | 2.43 | 78.16 | - |
| 界面 2 (Interface 2) | - | - | - | 22.22 |
| 液体 (Liquid) | 0.45 | 3.92 | - | - |

Fig. 3. 参数灵敏度的降阶重建和近共线性。(a) 典型窗片/铝/液体结构的模拟 TDTR 比率信号。(b) ??????1、??????2、?????????????? 和重建的 ??????2 的灵敏度曲线。

3.3. C. 传统拟合的失效与参数补偿现象的验证

为了评估不确定性分布以及传统 NLS 算法在多参数提取中的失效，我们对第 III-B 节中理论构建的 TDTR 信号进行了直接拟合反演。

基于算法收敛点处的雅可比矩阵 $J$，计算了近似海森矩阵 $H \approx J^T J$，随后由此得到参数协方差矩阵 $Cov \propto H^{-1}$。利用基于此协方差结构的蒙特卡洛重采样，图 4 展示了 5000 组等价参数集及其对应的 95% 置信椭圆的分布。

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图 4. NLS 拟合不确定性与参数补偿的统计评估。角图展示了基于参数协方差矩阵通过蒙特卡洛重采样生成的 5000 组等价参数集的分布。非对角线散点图上叠加的 95% 置信椭圆揭示了与参数补偿相关的强参数相关性。黑点表示拟合值，它们偏离真实值。（a）$ITR_1$ 与 $ITR_2$。（b）$ITR_1$ 与 $k_{liquid}$。（c）$ITR_2$ 与 $k_{liquid}$。

角图揭示了严重的负参数补偿效应，尤其是在 $ITR_1$ 和 $ITR_2$ 之间，相关系数高达 $-0.99$。在其他参数对之间也观察到显著的相关性，这种现象同样可以出现在其他结构中[19]。这一现象与我们先前的理论推导一致：在该参数空间中，雅可比矩阵的列向量几乎共线，因此近似海森矩阵严重病态而非精确奇异。此外，这种近似共线性会导致 NLS 拟合产生物理上不准确的参数估计，即使拟合信号与参考信号吻合良好。拟合值偏离用于构建信号的真实值：拟合的 $ITR_1 = 14.4\ \text{m}^2\cdot\text{K/GW}$，真实值为 $9.09\ \text{m}^2\cdot\text{K/GW}$；拟合的 $ITR_2 = 15.4\ \text{m}^2\cdot\text{K/GW}$，真实值为 $22.22\ \text{m}^2\cdot\text{K/GW}$。只有 $k_{liquid} = 0.424\ \text{W/m}\cdot\text{K}$ 表现出相对较小的偏差，尽管它仍然与 ITR 耦合在一起。

从物理意义上讲，这表明在当前实验精度下，NLS 拟合无法可靠地确定唯一的物理构型；相反，广泛的参数组合可以产生几乎无法区分的 TDTR 响应，且具有同样低的残差。一个参数增加而另一个参数减少的协同变化可以维持同样低的拟合残差，而无需恢复真实的物理状态。这种参数变化的相互抵消解释了所研究条件下传统 NLS 反演的实际不稳定性。

本节分析共同表明，在所研究的测量条件下，从单一 TDTR 瞬态信号中同时反演 $ITR_1$、$ITR_2$ 和 $k_{liquid}$ 构成了一个严重病态的反问题。降阶分析解释了为何会产生主导的补偿方向，而完整的数值 SVD 分析表明完整模型仍然形式上是满秩的。然而，极其微弱的第三参数方向所产生的信号变化低于当前实验分辨率。因此，该反问题在局部上是病态的，并且在实际中是不可辨识的，而非精确秩亏。

这些发现促使我们采用物理引导的正则化反演策略。我们不是修改 NLS 优化器，而是寻求在更好地与 TDTR 信号的可辨识信息内容对齐的目标空间中重构反问题。仅靠优化无法消除由严重雅可比病态在有限实验精度下所产生的宽泛、弱约束参数谷。下一节将介绍这种目标重构策略，并展示其与多任务学习残差神经网络的集成。

## 4. 算法演进：从通用机器学习到重新工程化的机器学习

### 4.1 使用机器学习的必然性与通用机器学习框架的困境

通用机器学习反演方法使用从正向模型计算数据库中学习的监督回归映射来替代迭代参数优化。模型输入通常由选定延迟时间范围内的离散化 TDTR 比值以及受控的实验或样品参数组成，而输出为未知的热物性。在标准的单输出前馈神经网络中，每个目标参数训练一个独立网络。这种方法允许针对目标进行优化，但无法利用多个输出之间共享的热学特征，也没有明确表示它们之间的物理相关性。另一种方案是通用多输出神经网络，使用共同的隐藏层和单一输出层来同时预测所有未知参数。这样的网络可以复用共享特征，但目标通过聚合损失进行优化并共享大部分可训练参数。当目标具有显著不同的信号强度或存在实质性相关性时，较容易学习的输出可能主导梯度更新，从而降低较弱目标的预测精度。其他监督回归方法，如核岭回归（KRR），也可以近似从 TDTR 数据到热物性的映射。这些方法提供了计算高效的替代方案，但在其标准形式下，并未明确组合物理引导的目标坐标、具有任务特定预测分支的共享表示以及残差特征传播。

为克服梯度反演的局限性，使用机器学习（ML）日益成为解决复杂病态物理反问题的首选方法[9]。与传统拟合算法需要计算和求逆雅可比矩阵不同，机器学习方法绕过了数值求根。相反，机器学习执行从输入到输出的高维映射。通过学习大量已知物理实例的数据集，神经网络提取潜在特征，将复杂的时间序列映射到其对应的参数空间。通过迭代训练，算法逐步捕获数据中的非线性规律，从而能够对视曾未见的场景进行鲁棒的推断。在热反射法中，Shen、Pang 及其同事最近的[19]、[22]研究采用机器学习技术分析了 TDTR 和 FDTR 实验数据，展示了基于机器学习方法在热物性估计方面的实际适用性和准确性。此外，Mao 等人[17]将机器学习框架扩展到 TTR，并系统地考察了训练数据密度的影响——这一因素在早期研究中大多被忽视。在此基础上，Xiang 等人[18]针对表现出非均匀热导率的系统，应用 KRR 从 FDTR 或 TDTR 数据中提取厚度方向上的变化。为了实现高效的数据处理，Jarzembski 等人[21]采用 K-means 聚类选择代表性数据点进行拟合，从而以最小的计算成本提取目标值。最近，Wang 等人[20]开发了一种用于拟合三层结构 TDTR 信号的机器学习框架，整合了基于梯度提升决策树的元分类器路由机制，以实现不同量级热阻数据的自动划分和预测。

利用这些优势，我们首先构建了一个通用的全连接深度神经网络（DNN），用于同时预测三个目标 $ITR_1$、$ITR_2$ 和 $K_{liquid}$，如图 5(a) 所示。机器学习框架使用 PyTorch 库在 Python 中实现。所有训练和评估任务均在配备 NVIDIA RTX 4060 Ti GPU 的台式计算机上完成。数据集生成的详细信息见补充材料 S1。然而，该通用机器学习框架在验证集上的性能（如图 5(c-e) 所示）暴露了一个局限性。尽管 $ITR_2$ 和 $k_{liquid}$ 以可接受的精度进行了预测，$R^2$ 分别为 0.91 和 0.96，但该模型未能成功预测 $ITR_1$，$R^2 = 0.05$。

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图 5. 通用多目标深度神经网络的架构与性能评估。（a）传统全连接机器学习框架示意图。（b）目标与 TDTR 信号之间的皮尔逊相关分析。（c-e）$ITR_1$、$ITR_2$ 和 $k_{liquid}$ 在验证集上的预测散点图。灰色点线和点划线分别表示 10% 和 20% 误差范围。每个图上方和右侧的边缘直方图显示了真实值和预测值的分布。$R^2$ 和 RMSE 评估模型性能。右下角的内插图显示了预测残差的概率密度分布，垂直虚线和标注值表示平均残差。

为探究失败的根本原因，我们进行了时间分辨皮尔逊相关分析，以量化三个目标的变化与 TDTR 信号在每个延迟时刻的关系，如图 5(b) 所示。分析揭示了目标强度的差异：$ITR_2$ 和 $k_{liquid}$ 的皮尔逊相关曲线在整个时间范围内占主导地位，而 $ITR_1$ 的相关性保持微弱。在神经网络训练的反向传播过程中，目标敏感性的显著差异可能导致梯度干扰[23]。由于全局损失景观主要由 $ITR_2$ 和 $k_{liquid}$ 这些显著目标塑造，这些容易学习的参数主导了梯度更新。因此，神经网络倾向于优先沿与这些主导目标相关的梯度方向收敛以最小化总损失，从而抑制了其捕获 $ITR_1$ 弱信号的能力。此外，预测多个相互依赖的物理量进一步加剧了梯度干扰[24]。这些问题限制了网络捕获 $ITR_1$ 的能力，表明传统机器学习架构难以拟合固体/液体界面热输运中的 TDTR 测量信号。

### 4.2 模型增强：目标重构策略

多任务神经网络中的梯度干扰已被确认为目标变量表现出差异敏感性量级或相互相关性时的一个根本障碍。Pezeshki 等人[23]证明，神经网络可能会经历梯度饥饿，即弱表达目标在反向传播过程中接收到的梯度更新微乎其微，实际上阻碍了其收敛。Yu 等人[24]提出了梯度手术作为补救措施，证明跨任务的冲突梯度方向可以被投影以减少任务间干扰。在物理反问题的背景下，这些发现意味着训练为联合预测敏感性不等的参数的网络将优先学习主导目标，使弱耦合参数训练不足——这正是图 5 中观察到的失败模式。

多任务学习（MTL）架构通过引入从共享表示层分支出的任务特定预测头来解决这一问题。共享骨干网络强制进行共同特征提取，提高泛化能力，并通过共享表示层降低对梯度干扰的敏感性[34]、[35]，而独立的预测头隔离任务特定的梯度流，防止主导任务抑制较弱任务[36]。残差神经网络（ResNet）[37]通过跳跃连接缓解梯度消失，这一特性对深度特征提取特别有益，尤其适用于时间序列信号，因为相关特征可能跨越多个时间尺度。尽管 ResNet 最初是为图像识别而开发的，但其跳跃连接机制对序列热瞬态信号同样有效，其中早期（皮秒级）和晚期（纳秒级）延迟时间的信息都必须通过网络深度得以保留。

基于这些原则，受图 5 中观察到的梯度干扰启发，我们设计了如下 MTL-ResNet 架构，如图 6(a-b) 所示。MTL-ResNet 架构和训练程序的详细描述见补充材料 S2。此外，目标被重新定义为 $ITR_2 + ITR_1$、$ITR_2 - ITR_1$ 和 $e_{liquid} = k_{liquid} \cdot C$。为论证使用 $e_{liquid}$ 作为基本可测量物性的理论推导见补充材料 S3。

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图 6. 带有目标重构的 MTL-ResNet 框架的架构、预测性能与机制分析。（a-b）集成 ResNet 块的 MTL 架构示意图。（c-e）验证集上预测值与真实值的散点图。（f）重构目标的皮尔逊相关系数。

多任务架构由共享特征提取骨干网络和任务特定预测头组成。共享层提取与三个重构目标相关的时间特征，而每个输出头将这些共享特征转换为一个目标的预测，并在训练期间为其损失梯度提供独立路径。当目标在 TDTR 信号中的表达存在差异时，该结构有助于减少负迁移和梯度干扰。任务特定头分离了优化过程，但并未使底层物理参数在统计上独立。残差连接有助于保留不同时间尺度的瞬态特征并支持梯度在网络中的传播。TDTR 信号的早期皮秒和晚期纳秒部分包含不同但互补的热学信息。恒等捷径使与这些时间区域相关的浅层特征能以较少的中间变换传递到更深层，而残差分支则学习额外的修正。该结构支持在网络训练过程中联合使用早期和晚期延迟信息。该框架的正则化效应源于用于构建训练数据库的有限参数范围、已知材料特性和噪声假设。所得预测以这些先验和数值模型的有效性为条件。

三个重构目标在验证集上的预测结果如图 6(c-e) 所示。

三个目标变量的预测值均紧密聚集在对角线等值线附近，对应的R2分别为0.950、0.891和0.967。值得注意的是，$ITR_2 - ITR_1$ 的预测精度略低于 $ITR_2 + ITR_1$。从物理角度来看，我们假设 $ITR_2 + ITR_1$ 定义了总ITR，支配整个时间范围内的信号衰减率，而 $ITR_2 - ITR_1$ 则表征界面两侧不对称的热分布，主要影响早期时间的微小信号变化。相对较弱的振幅增加了提取与 $ITR_2 - ITR_1$ 相关联的特征信号的难度。尽管如此，与图5(a)中所示的常规ML模型相比，采用重构目标的MTL-ResNet仍然展现出更优越的整体回归性能。$ITR_1$ 和 $ITR_2$ 的值可以通过求解由 $ITR_2 + ITR_1$ 和 $ITR_2 - ITR_1$ 定义的线性方程组获得。该网络并不直接预测 $k_{liquid}$，而是预测重构的液体目标 $e_{liquid} = k_{liquid} \cdot C$。因此，一旦独立指定了液体体积热容 $C$，液体热导率即可通过 $k_{liquid} = e_{liquid} / C$ 获得。此外，为了验证目标重构的必要性，我们在原始参数空间中直接训练了MTL-ResNet架构，详细结果见补充材料S4。与常规ML模型的性能一致，$ITR_1$ 的表现仍然相对较差。同时，直接预测 $k_{liquid}$ 而非 $e_{liquid}$ 会导致预测精度低于重构的 $e_{liquid}$。这表明仅增强网络架构不足以克服梯度干扰，而目标重构对于使ML模型成功预测固/液系统是必要的。

为阐明这种性能提升背后的机理，我们计算了重构目标的时间皮尔逊相关系数（如图6(f)所示），并与原始参数的相关系数（如图5(b)所示）进行了比较。首先，最显著的差异是消除了先前与 $ITR_1$ 相关的低灵敏度。通过将原始参数映射为和差形式，目标强度得到增强，有效缓解了反向传播过程中的梯度消失现象。其次，如图6(f)所示，$ITR_2 + ITR_1$ 和 $ITR_2 - ITR_1$ 在整个时间范围内的皮尔逊相关系数几乎相同。尽管通用的单头网络难以解耦高度相关的目标，但MTL-ResNet架构的多头机制为每个目标提供了独立的预测通路，从而实现精确的同步预测。最后，虽然 $e_{liquid}$ 的皮尔逊相关系数高于其他两个目标，但它并未引起梯度干扰。这通过拆分预测头和使用权重损失函数得到了有效抑制。在MTL-ResNet框架中，尽管最终损失在反向传播前被聚合为单一标量，但自定义的损失权重平衡了各目标的初始梯度幅度。通过在网络输出端隔离任务专用参数，来自 $e_{liquid}$ 的强梯度主要更新其专属分支，从而减轻共享表示层的梯度干扰[24]。同时，这种架构隔离与加权损失的结合确保平衡的梯度能够成功传播到共享的ResNet层[38]，优化 $ITR_2 + ITR_1$ 和 $ITR_2 - ITR_1$ 的值。

**4.3 案例应用**

为验证所提出的带目标重构的MTL-ResNet框架的预测精度，我们对构建信号和实验测量数据进行了性能评估。两种材料结构对应的热物性参数汇总于表2。为提高真实性，对构建信号添加了2.5%的随机噪声扰动。

**表2.** 两种材料结构的热物性参数。

| 样品 | 结构 | K (W/m·K) | Cp (×10? J/m3·K) | d (nm) | ITR (m2·K/GW) |
|------|------|-----------|-------------------|--------|---------------|
| 构建信号 | 窗口 | 1.21 | 2.26 | - | - |
| | 界面1 | - | - | - | 8.53 |
| | 换能器 | 96.26 | 2.43 | 78.16 | - |
| | 界面2 | - | - | - | 37.27 |
| | 液体 | 0.43 | 4.72 | - | - |
| SiO?/Al/水信号 | 窗口 | 1.29 | 2.2 | - | - |
| | 界面1 | - | - | - | - |
| | Al | 128 | 2.42 | 80 | - |
| | 界面2 | - | - | - | 10–20 [14], 16–20 [39] |
| | 液体 | 0.6 | 4.2 | - | - |

我们首先使用在调制频率为1.67 MHz下生成的构建信号评估模型，相应结果如图7(a)所示。该图中所示的不确定度范围通过对除调制频率外的所有物理参数原始值引入正态分布随机扰动（1–5%）获得。受控参数包括Al换能器厚度、有效泵浦/探测光斑半径、换能器热导率和体积热容、窗口热导率和体积热容。这些参数分配的相对不确定度由独立测量不确定度或TDTR前向模型中采用的文献不确定度确定。相对不确定度汇总于表3。随后，利用MC方法进行了不确定度分析。共生成了1×10?个样本，每个样本均使用训练好的MTL-ResNet模型进行评估，以估算每个输出变量的概率密度函数。关于MC方法的详细方法论可参见参考文献[19]、[20]。该方法反映了实验不确定度的传播，从而为热物性参数估算提供更全面的置信区间（CI）。预测目标的不确定度使用其各自输出分布的95% CI进行量化，如图7(b-d)所示。该模型在配备NVIDIA RTX 4060 Ti GPU的台式计算机上完成1×10?次MC迭代仅需约2秒。

**图7.** MTL-ResNet模型对构建信号的预测。（a）构建信号与模型预测理论曲线的比较。虚线表示不确定度范围。（b-d）三个目标预测分布的MC直方图。每个条形代表预测值的频率。虚线表示95% CI，红线显示峰值。

**表3.** 不同受控参数的扰动值。

| 受控参数 | 扰动值 (%) |
|---------|-----------|
| 换能器热导率 (W/m·K) | 5 |
| 换能器体积比热 (MJ/m3·K) | 2.5 |
| 换能器厚度 (nm) | 5 |
| 基底热导率 (W/m·K) | 5 |
| 基底体积比热 (MJ/m3·K) | 2.5 |
| 光斑半径 (μm) | 1 |

对于构建信号案例，三个预测目标（以其MC导出的CI为界）被代入理论传热模型，生成重构的信号曲线。如图7(a)所示，由MTL-ResNet预测导出的重构曲线在整个延迟时间范围内与目标信号匹配良好，上下不确定度界完全包含构建数据。

作为对比，我们同样使用常规NLS方法对该信号进行了拟合。值得注意的是，虽然NLS拟合曲线（图7(a)中的黑色虚线）同样能较好地匹配构建信号，但相应的恢复参数与已知的真实值存在显著偏差，如表4所示。相比之下，所提出的MTL-ResNet框架预测的目标与真实值更为接近，ITR?、ITR?和$k_{liquid}$的相对误差仅为2.4%、10.2%和4.7%。由于构建信号的真实值是已知且可靠的，这些相对误差为评估反演精度提供了直接的基准。该对比表明，对于当前的不适定问题，仅与信号曲线的吻合并不足以验证反演方法的有效性：常规NLS方法可以通过参数补偿来维持较低的拟合残差，但同时收敛到物理上错误的解，而所提出的ML框架恢复的参数与真实值更接近。

**表4.** ML与NLS方法对目标的预测精度比较。

| | ITR? (m2·K/GW) | 相对误差 (%) | ITR? (m2·K/GW) | 相对误差 (%) | k_liquid (W/m·K) | 相对误差 (%) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 真实值 | 8.53 | 7.30 | 0.43 | | | |
| NLS方法 | 18.01 | 11.7 | 20.94 | 3.90 | 0.40 | 7.0 |
| ML方法 | 8.7 | 2.43 | 3.5 | 10.20 | 0.45 | 4.7 |

在通过具有已知真实值参数的构建信号验证了所提出框架的准确性之后，我们接下来将其应用于代表性的SiO?/Al/水结构的实验TDTR数据，以评估其实际应用性。如图8(a)所示，由MTL-ResNet预测重构的TDTR曲线与实验信号吻合良好，MC导出的不确定度界很好地捕捉了实验波动。作为对比，同一信号也使用常规NLS方法进行了分析。值得注意的是，虽然NLS导出的曲线同样能较好地拟合实验信号，但相应的参数估计在物理合理性上较差，且与独立测量或先前报告的值存在显著偏差，如表5所示。相比之下，MTL-ResNet的预测值与可用的参考值[14]、[39]更为接近。蒙特卡洛不确定度传播给出了ITR?的95% CI为7.39–8.56 m2·K/GW。该区间与Al/SiO?界面独立测量值10.1 m2·K/GW更接近但不重叠。对于ITR?，MTL-ResNet给出点估计值11.5 m2·K/GW，95% CI为10.77–12.29 m2·K/GW。该区间与文献较宽范围10–20 m2·K/GW有重叠，但与较窄范围16–20 m2·K/GW不重叠。预测的$k_{liquid}$的95% CI为0.49–0.69 W/m·K，包含了文献参考值0.60 W/m·K。

**图8.** MTL-ResNet模型应用于实验SiO?/Al/水TDTR信号的预测。（a）实验信号与模型预测理论曲线的比较。虚线表示蒙特卡洛不确定度范围。（b-d）三个目标预测分布的MC直方图。

**表5.** ML与NLS方法对目标的预测结果比较。

| | ITR? (m2·K/GW) | CI重叠 | ITR? (m2·K/GW) | CI重叠 | k_liquid (W/m·K) | CI重叠 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 文献参考值 | 10.1\* | - | 10–20 [14] | 16–20 [39] | - | 0.60 [14], [39] | - |
| NLS方法 | 4.7 | 否 | 3.1 | 否 | 0.76 | 否 |
| ML方法 | 95% CI [7.39, 8.56] | 否 | [10.77, 12.29] | 是 | [0.49, 0.69] | 是 |

\*该结果由Al/SiO?结构的直接测量获得。

剩余的偏差，特别是两个界面热阻的偏差，可能源于其实用可辨识性较弱、受控TDTR参数中的不确定度、残余前向模型偏差以及样品特有的界面条件。特别是，Al/水界面热阻可能随Al沉积质量、表面氧化和污染、粗糙度、润湿性、水的纯度以及测量条件而变化。因此，其他Al/水样品报告的值应被视为文献参考范围，而非本样品的精确真实值。

为进一步评估所提出框架的实验适用性，我们考察了两个具有不同液体浓度和热物性的额外SiO?/Al/KCl水溶液体系。KCl-1和KCl-2溶液的体积热容分别为4.02和3.89 MJ/m3·K。相应的实验TDTR信号未包含在模型训练中。

如图9、图10所示，对于SiO?/Al/KCl-1体系，ITR?、ITR?和$k_{liquid}$的预测值分别为6.12 m2·K/GW、9.88 m2·K/GW和0.51 W/m·K。对应的95%置信区间为5.92–6.99 m2·K/GW、8.80–12.53 m2·K/GW和0.47–0.58 W/m·K。对于SiO?/Al/KCl-2体系，ITR?、ITR?和$k_{liquid}$的预测值分别为6.39 m2·K/GW、14.30 m2·K/GW和0.41 W/m·K，对应的95%置信区间分别为5.59–7.94 m2·K/GW、13.24–20.45 m2·K/GW和0.36–0.49 W/m·K。

**图9.** MTL-ResNet模型应用于实验SiO?/Al/KCl-1 TDTR信号的预测。（a）实验信号与模型预测理论曲线的比较。虚线表示蒙特卡洛不确定度范围。（b-d）三个目标预测分布的MC直方图。

**图10.** MTL-ResNet模型应用于实验SiO?/Al/KCl-2 TDTR信号的预测。（a）实验信号与模型预测理论曲线的比较。虚线表示蒙特卡洛不确定度范围。（b-d）三个目标预测分布的MC直方图。

对于两个体系，使用预测参数重构的TDTR响应均与实测信号吻合良好。两种KCl溶液也表现出可区分的液体侧热物性。与KCl-1相比，KCl-2显示出更低的预测热导率和更大的Al/液体界面热阻。这些结果表明该框架对液体热物性的变化具有敏感性，并不会简单地复现与原始水案例相关的固定参数组合。

**5. 总结与展望**

在本工作中，我们开发了一种融合MTL-ResNet与目标重构策略的ML框架，用于固/液TDTR测量。我们证明，常规NLS拟合的不稳定性源于在所研究条件下严重的Jacobian病态和参数补偿，且这一局限同样导致常规全连接神经网络中的梯度干扰。所提出的目标重构策略将原始参数重新公式化为$ITR_2 + ITR_1$、$ITR_2 - ITR_1$和$e_{liquid}$，有效缓解了梯度干扰并提高了耦合目标的可学习性。对于构建的TDTR信号，已知真实值提供了严格的模型验证基准，预测的$ITR_1$、$ITR_2$和$k_{liquid}$值的相对误差仅为2.4%、10.2%和4.7%；展示了所提出框架在构建测试案例中提升参数恢复精度的能力。对于实验SiO?/Al/水信号，常规NLS拟合虽然重现了测量的瞬态响应，但所得参数估计与可用的参考信息一致性有限。相比之下，所提出的框架提供了更稳定的估计，总体更接近独立测量的ITR?值以及ITR?和$k_{liquid}$的文献参考值。

总体而言，这些结果表明，所提出的框架不仅在合成测试中得到了定量验证，而且在从真实的固/液TDTR测量中提取具有物理意义的热物性参数方面比NLS更加可靠。所提出的目标重建MTL-ResNet框架显著提高了固/液界面多参数反演的稳定性，并提供了一种具有潜在相关性的数据驱动正则化策略，可应用于未来的热表征方法。然而，目前的验证仅限于有限数量的代表性固/液体系和实验条件。因此，以下几个方向值得进一步研究。首先，本文所展示的目标重建原理可推广至其他泵浦–探针技术，例如频率域热反射技术，在这些技术中，多层热输运问题中也可能出现类似的参数耦合效应。在此基础上，应使用盲测对涉及不同液体、基底、换能器厚度、调制频率和信噪水平的额外固/液体系进行更广泛的验证。特别需要关注分布外条件，以确定模型在超出训练数据库中参数范围时的可迁移性极限。与贝叶斯反演或马尔可夫链蒙特卡洛反演、正则化非线性最小二乘法以及传统多频拟合方法的系统性比较，也将为所提出框架的精度、不确定性和计算效率提供更全面的评估。此外，该机器学习框架还可应用于更复杂的热输运场景，例如具有空间变化导热率的CVD金刚石薄膜[40]或液滴-表面热动力学[41]。最终，该框架可与物理信息神经网络相结合，将热扩散方程和物理约束直接纳入损失函数。这种整合可减少对接预生成训练数据集的依赖，并在当前训练域中代表性不足的实验条件下提高鲁棒性和外推能力。总体而言，所提出的框架为固/液热输运中强耦合多参数反演提供了一种实用的正则化策略。现有结果表明，在所研究的参数域内反演稳定性有所提高，但需要更广泛的实验验证以及与其他概率和正则化反演方法的比较，才能确立其通用性。CRediT作者贡献声明：Dawei Tang：指导，项目管理，资金获取，概念化。Jie Zhu：撰写–审阅与编辑，指导，项目管理，资金获取。Lingrao Fu：方法论，数据整理。Ziyang Wang：撰写–初稿，验证，软件，方法论，概念化。Ziyang Wang|Lingrao Fu|Jie Zhu|Dawei Tang，大连理工大学，能源与动力工程学院，教育部海洋能源利用与节能重点实验室，大连 116024，中国。