内蕴张量积与五项正合序列的Ganea型推广

《Journal of Algebra》：Intrinsic tensor products and a Ganea-type extension of the five-term exact sequence

　　

摘要

我们定义了一个半Abel范畴中对象的内在对称双右正合（对簇而言，双连续）双线性积，该积构造为二幂零反射中的宇宙打积。当应用于Abel对象时，这在许多情况下恢复了经典的张量积。一个识别定理指出，Albel簇上的任何对称双连续双函子都可实现为Abel群范畴中某个适当二幂零对称代数的簇中的双线性积。当Abel群替换为任意交换环时，只要一元运算仅由与标量乘法给出，则此类代数的簇上的双线性积是结合的，但并非总是如此。这依赖于双函子交叉效应的右正合性定理，以及由此得到的宇宙打积的右正合性。我们发展了其基本性质，将该双线性积与Brown–Loday非Abel张量积进行比较，并证明了Ganea六项精确上同调序列的范畴版本。我们进一步通过内部作用核刻画了Abel扩张，并获得了表示簇中双线性积的显式描述；特别是，关联Beck模的双线性积推广了群和李代数的表示经典张量积。

引言

在一个带零点的普遍代数簇V中，设表达式t(x?,…,x?)表示具有互不相同变量x?,…,x?的项。设0表示V理论中唯一的常量。特别地，这意味着t(0,…,0)=0。我们称t(x?,…,x?)为交换子项，如果当某个1≤i≤m满足x?=0时，t(x?,…,x?)=0。例如，在群的理论中（其中常量记为1），我们可以取因为t(x,1)=1=t(1,y)。项是另一个交换子项。众所周知，在群的簇中，任何交换子项都可以写成这种基本交换子项的乘积；而且，反过来，许多在带零点的普遍代数簇中自然出现的"通常"交换子确实可以通过上述意义中的抽象交换子项来刻画。在交换结合代数的情况下，例如，是交换子项，因为0·y=0=0·x。同样，在李代数的情况下，也是交换子项。在环（loops）的语境中，结合子是一个略有不同种类的例子。交换子项生成交换子对象：例如，群X的交换子子群当且仅当X是Abel群时消失。

本文感兴趣的是以下引人注目的观察：在两个Abel群A?_Z B的张量积这一看似相当遥远的（Abel的！）情形中，纯张量a?b的行为恰恰如此。我们不仅对所有的a∈A和b∈B有a?0=0=0?b；而且结果是整个张量积A?_Z B可以恢复为二幂零群簇中的交换子对象——正如MacHenry在[70]中首次证明的那样。

本文的目的是从一个范畴论的角度探索将张量积视为二幂零范畴中交换子这一想法，利用它来证明一些涉及张量的基本泛同调代数结果，这些结果迄今为止一直未能被范畴代数所触及，依赖于从抽象多项式函子计算中借来的工具，以及我们在此添加的该框架中的某些结果。我们将看到，群的幂零条件的一种广义版本正是将乘积中两个变量中零的单纯保持推广为双线性的原因。这里的一个关键工具是宇宙打积的概念。

在研究打积的一般范畴论框架的文章[23]中，Carboni和Janelidze指出，对于代数对象而言，对偶概念实际上要有趣得多。事实上，与拓扑不同，代数范畴中的打积往往平凡，而宇宙打积被发现有许多用途，其界限至今仍然未知。已经确定的是，半Abel范畴[64]中两个对象的宇宙打积可以作为它们的正式交换子[72]，以捕捉Higgins的交换子理论[59]在Ω-群簇语境中的某些方面，以及内部对象作用[55]和内部交叉模[57]、[62]的"非单子"观点。然而，自从在[23]中引入以来，已经清楚的是，某些张量积表现为宇宙打积——例如，交换环的张量积就是如此。

这自然引出了如何捕捉自然界中出现的其他张量积作为宇宙打积的问题。例如，假设交换环上模的经典张量积是一个宇宙打积，那么我们必须问自己的是：在哪里？更精确地说：在哪个范畴中？回答这个问题是我们的两个主要目标之一。

4 特别是，受Abel群张量积这一基本例子的启发，我们获得了第一个主要结果：一个识别定理（定理7.6），表明Abel簇上的任何对称双连续积确实是某个典范的（实际上是二幂零的）半Abel簇中的宇宙打积，该半Abel簇包含给定的Abel簇作为其Abel核。（事实上，甚至可以捕捉解决此问题的所有二幂零半Abel簇，但这将在其他地方呈现。）

我们的第二个主要目标，也是本文大部分篇幅所致力于的，是回答逆问题：给定一个（半Abel的）范畴X，它是否允许一个内在的对称双线性积，该积对X扮演多个角色，就像Abel群的张量积在群理论中所扮演的角色一样？事实上，这样的双线性积可以通过两种不同的方式构造，每一种方式都根据语境证明是有用的，但两者都再次依赖于宇宙打积的概念——如下文第1节和第2节所明确指出的。无论哪种方式，它是一个通过组合某些极限和余极限获得的对象。

此外，我们将解释这种关于张量积的新范畴-代数观点如何导致（余）上同调理论的结果——我们在此给出一个实例，这将在后续工作中[29]得到大幅扩展。在此发展的此类结果的例子是Ganea定理在低维上同调中的范畴版本。在[43]中，Ganea证明了群的任何一个中心扩张诱导出积分上同调的六项精确序列。后来，一些作者考虑了该定理在其他范畴中的版本[2]、[24]、[25]、[27]、[33]、[69]、[80]，这自然引出了是否所有这些不同的版本都是某一条范畴结果的特例的问题。尽管序列的右端（从H?B开始）的范畴-代数解释已经存在相当长时间[37]，并且这个五项精确序列实际上可以被视为长精确上同调序列的尾部[34]、[47]，但直到最近，我们仍然无法为最左项K?_Z(B/[B,B])提供这样的解释。这正是我们的张量积内在方法（在范畴-代数意义上定义为某个（正式的）交换子的商）有所帮助的地方：它使我们能够证明Ganea定理在半Abel范畴X中的版本，其中关键项K?_Z(B/[B,B])被推广为我们的双线性积K?B——前提是X满足一个相当温和的附加条件，称为代数相干性[28]。这包括了上述所有已知结果（除了[69]中的结果），但排除了环（loops），例如，以及具有真正三目或更高目运算的代数（即，不能分解为二元运算的此类运算），特别是n-Leibniz代数[26]、[41]和作为流形上某些结构（环、网）的线性化产生的代数，如Akivis代数和Sabinin代数，或来自同伦理论的A∞-和E∞-代数。

为进一步说明本文引入的双线性积的潜力，让我们快速预览即将出现的进一步发展：在之前提到的代数相干性假设下，我们在后续工作中构造了J. H. C. Whitehead经典Γ函子的范畴推广以及一个自然态射σ:Γ(K)→K?K，使得我们五项精确序列的六项扩展在将我们的Ganea项K?B替换为复合映射Γ(K)→K?K→K?B的余核后，又至少再扩展了两项（即A和B的第三同调），就像群的情况一样，根据[31]我们找到了诸如上述K?_Z(B/[B,B])这样的表达式。

模仿群的情况，σ的余核将定义为K的外平方，结果是它自然地同构于H?(K)。所以与在群中一样，Abel对象的第二同调自然与其外平方等同。结合我们五项精确序列的八项扩展，这蕴含K×B的H?和H?满足一个Künneth型公式，其中我们的双线性积扮演了群的经典Künneth公式中Abel群的经典张量积的角色。这促使我们提出一个问题：一般情况下的半Abel上同调是否满足Künneth型公式，其中我们的双线性积及其第一导出函子扮演了群的情形中Abel群的经典张量积和挠积的角色，见[60]。

这里我们可以提到的张量积的另一个应用是一个自然配对

其中0=Z?(X)≤Z?(X)≤Z?(X)≤?表示半Abel簇在[54]中定义的（Higgins）上中心列，X=γ?(X)≥γ?(X)≥?表示（Higgins）下中心列（见小节3.3），推广了幂零群论中众所周知的此类配对[86]。此外，由于上述配对以及通过更高阶宇宙打积的多线性化获得的高阶类似物，如果我们收集上中心商的底层Abel群构成一个（负）分次Abel群，后者将变成下中心商的底层Abel群构成的（正）分次Abel群上的分次模，后者被视为与该簇相关联的约化对称代数在Abel群范畴中的代数。这一切都在[54]中引入，推广了群论中的对应事实，其中关联代数为李代数，（负分次的）上中心列的商序列是由下中心列的商构成的分次李环的表示。然而，类似的事实对于簇为环（loops）的情况似乎是新的，其中关联代数为Sabinin代数。

所有这些都提供了进一步的证据，表明我们在给定半Abel范畴中的双线性积确实扮演了张量积在群范畴中所扮演的完全相同的多个角色。

回到我们最初的问题"给定某个Abel范畴中已知的张量积，它可以在哪个范畴中被视为宇宙打积？"让我们现在简要概述我们如何在半Abel范畴中刻画张量积为宇宙打积，然后介绍本文的结构。

首先回顾一下，对于半Abel范畴X中给定的两个对象X和Y，宇宙打积X?Y定义于短精确序列

作为一个说明，我们考虑Abel群A、B及其作为Z-模的张量积A?_Z B。我们的目标是找到一个半Abel范畴X，使得存在同构A?B?A?_Z B。

如果X是整数环Z上模的范畴Mod_Z，那么由于典范比较A+B→A×B是一个同构，对象A?B为零，因此它不需要与A?_Z B同构。也就是说，"X=Mod_Z"并不是上述问题的正确答案。同样的论证表明，包含Mod_Z的其他任何Abel范畴X也不可以。

现在的想法是将Mod_Z视为包含在一个更大的半Abel范畴X中，其中Mod_Z构成X的Abel核Ab(X)，即由那些允许内部Abel群结构的对象所决定的全反射子范畴。

例如，我们可以选择 $X=\mathbf{Gp}$，即（非阿贝尔）群的范畴，它是半阿贝尔的，并且具有阿贝尔群，因此其阿贝尔对象是 $\mathbb{Z}$-模。然而，众所周知，给定两个群 $X$ 和 $Y$ 的余碰撞积 $X?Y$ 是 $X+Y$ 中由 $X$ 和 $Y$ 的非平凡元素 $x, y$ 的换位子 $xyx^{-1}y^{-1}$ 生成（实际上是自由生成）的子群——因此再次说明 $A?B$ 不同于 $A?_{\mathbb{Z}}B$。换句话说，答案“$X=\mathbf{Gp}$”也是错误的。正确的答案，最初由 MacHenry [70] 发现，介于范畴 $\mathbf{Mod}_{\mathbb{Z}}=\mathbf{Ab}$ 和 $\mathbf{Gp}$ 之间：它是所有幂零类至多为 2 的群（也称为 nil-2 群或 2-步幂零群）的范畴 $\mathbf{Nil}_2(\mathbf{Gp})$。正如 [58]，[70] 所示，在这个范畴中计算的两个阿贝尔群 $A$ 和 $B$ 的余碰撞积，确实恰好是 $A?_{\mathbb{Z}}B$。

事实上，这个答案并不是唯一的：存在其他半阿贝尔范畴 $X$，在其中张量 $A?_{\mathbb{Z}}B$ 可以作为余碰撞积恢复；下面的例子将给出说明。这些范畴共有的一个特征特征是它们都是二幂零的。

回顾一下，交换环 $R$ 上模的张量积是双线性的，意义在于 $(A⊕B)?_R C \cong (A?_R C)⊕(B?_R C)$，由于 $?_R$ 的对称性，这也意味着关于第二个变量是线性的，即 $A?_R(B⊕C) \cong (A?_R B)⊕(A?_R C)$。因此，如果我们希望将张量积作为某个半阿贝尔范畴 $X$ 中的余碰撞积恢复，后者应该表现得类似。这导致我们要求典范态射 $(X+Y)?Z \to (X?Z)×(Y?Z)$ 在 $X$ 中是一个同构。（我们将稍后解释为什么这种 $+$ 和 $×$ 的选择是“正确”的。）结果正如 [57] 所示，当且仅当自然短正合序列中的核，也就是 $X$ 中 $X$、$Y$ 和 $Z$ 的三元余碰撞积，消失时，这种情况才会发生。（关于原始定义，该定义关于 $X, Y$ 和 $Z$ 是对称的，见小节 1.1）。满足此条件的半阿贝尔范畴被称为二幂零的，原因如下。

给定三个子对象 $K, L, M \leq X$，由单态射 $k, l$ 和 $m$ 表示，根据 [55]，[57]，三元换位子 $[K, L, M] \leq X$ 被定义为复合态射的像。我们将看到，当且仅当 $X$ 中每个对象 $X$ 都是二幂零的，即 $[X, X, X]=0$ 时，$X$ 中的所有三元换位子消失——见小节 2.2。

在许多范畴中（例如所有感兴趣的 Orzech 范畴 [77]，如 [28] 所示；另见 [83]），这个三元换位子与人们期望的重复合二位换位子 $[X, [X, X]]$ 一致，因此在这种情况下，二幂零性是一个熟悉的概念。例如，在群的范畴中，$[X, X, X]=0$ 当且仅当 $X$ 是幂零类至多为二群的群。另一方面，也存在半阿贝尔范畴的例子，其中这两个概念是不同的——例如环的范畴 [74]，[75]，[83]——在这些范畴中，对我们目的而言正确的那个是 $[X, X, X]$。

总之，我们需要余碰撞积是双线性的，而且我们只能期望这在半阿贝尔范畴中是二幂零的情况下发生。这立即导致以下程序：给定一个阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$，令 $X$ 为一个半阿贝尔范畴，使得 $\mathcal{A}=\text{Ab}(X)$。那么 $\mathcal{A} \subseteq \mathbf{Nil}_2(X) \subseteq X$，其中 $\mathbf{Nil}_2(X)$ 是 $X$ 的二幂零核，即由二幂零对象确定的全反射子范畴。给定 $\mathcal{A}$ 中的对象 $M$ 和 $N$，$\mathbf{Nil}_2(X)$ 中的余碰撞积 $M?N$ 现在是 $M$ 和 $N$ 的张量积的一个良好候选者。

令 $\mathbf{Nil}_2: X \to \mathbf{Nil}_2(X): X \mapsto X/[X, X, X]$ 表示包含函子的左伴随。给定 $X$ 中的对象 $X$ 和 $Y$，我们将写 $X?_X Y$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的反射在 $\mathbf{Nil}_2(X)$ 中的余碰撞积。由于，正如我们将稍后证明的那样，这个对象总是阿贝尔的，我们得到一个函子 $?_X: X \times X \to \text{Ab}(X): (X, Y) \mapsto X?_X Y$，我们称之为 $X$ 上的双线性积。注意，给定两个二幂零对象 $X, Y$ 的积 $X?_X Y$ 仅依赖于 $\mathbf{Nil}_2(X)$，而不依赖于环境范畴 $X$。

在同调代数的应用中，例如 Ganea 定理（定理 8.1），函子 $?_X$ 可能扮演范畴 $X$ 上内在张量积的角色。相比之下，当视为函子 $\text{Ab}(X) \times \text{Ab}(X) \to \text{Ab}(X)$ 时，双线性积 $?_X$ 不是内在的而是相对的，因为它依赖于周围的半阿贝尔范畴 $X$。在表 1 中，给出了一些例子的概述，我们看到，例如，$R$-模的张量积可以作为结合交换代数范畴或 $R$ 上的李代数范畴中的双线性积来捕捉。另一方面，结合 $R$-代数的范畴诱导了 $\mathbf{Mod}_R$ 上的不同双线性积。

当然，并非所有“自然”中的张量积都能轻易地被捕捉为某个二幂零半阿贝尔范畴 $X$ 中的余碰撞积。我们方法的一个重要限制是，$X$ 中对象的双线性余碰撞积自动将是 $X$ 中的阿贝尔对象，这是一个在某些情况下似乎很难满足的要求。一个“坏”的例子是结合代数的张量积，它应该再次是一个结合代数——但肯定不是一个阿贝尔代数，这意味着它具有平凡乘法。我们不知道这个例子以何种方式符合该理论，或者它是否根本符合该理论。

事实上，我们取自 [23] 的原始动机例子，交换环的范畴，并不遵循我们刚才勾勒的模式：在这里，该范畴本身的余碰撞积已经是 $\mathbf{CRng}$ 中的张量积。这个例子在 [81] 中得到了进一步发展。

另一个这样的例子是 Brown–Loday 非阿贝尔张量积 [22]，涉及两个群相互且兼容地作用于对方，在那里同样不清楚应该选择哪个范畴，或者是否可以找到这样的范畴。然而，在这种情况下，这两个张量积之间的联系是清晰的，因为两个阿贝尔群的双线性积是这些群的非阿贝尔张量积，当把它们视为在彼此上平凡作用时。正如 [30, 定理 7.4] 所证明的，这个结果对于任何代数相干 [28] 半阿贝尔范畴中的双线性积仍然有效：给定两个在彼此上平凡作用的阿贝尔对象，它们作为 [30] 中引入的非阿贝尔张量积恰好是双线性积。在这样的范畴中，双线性积可以被视为非阿贝尔张量积的一个特例。

最后，其他例子只是复杂：例如，在半阿贝尔范畴中寻找内部作用的双线性积的精确公式是很困难的，至少在一个不是局部代数笛卡尔封闭的范畴中是这样——参见第 11 节。然而，最近对于半阿贝尔代数族已经获得了初步结果，参见小节 12.1；然而，这个话题仍然是未来工作的主题。

第一节回顾了余碰撞积的基本定义和结果。在第二节中，这被用于描述阿贝尔和二幂零对象，这些对于双线性积的定义（小节 2.9）是必需的。在随后的第三节中，我们研究一般的幂零性，旨在证明幂零化与 Birkhoff 反射子交换（定理 3.7）。下一节第四节致力于证明双线性积的更高级属性，特别是以下两个最基本的属性：首先，仅用 $X$ 描述双线性积（定理 4.2），即作为 $X$ 中余碰撞积的双线性化，这是其各种应用的关键，因为它带有（余）泛性质——除此之外，它还来自其起源，见例 4.5——而作为 $X$ 的二幂零核的余碰撞积的描述更适用于其计算（因为在许多二幂零范畴的基本例子中，明确构造二元和并不困难），除了概念方面，即它本身表现为一个余碰撞积（因此继承了后者的关键性质）。双线性积的第二个基本属性是函子 $X?(?)$ 的逐次右正合性（命题 4.12）。

第五节处理第一组例子。除了表 1 中出现的例子，我们增加了阿贝尔群层和内部（预）交叉模。在第六节中，我们详细考虑了运算子上代数的情况，分析此背景下的幂零性，将其与运算子幂零性概念进行比较，计算双线性积并考虑其结合性问题。下一节第七节收集了代数族中双线性积的一般结果。我们从双线性积的结构性质开始，如余连续性（命题 7.2）和左伴随性（命题 7.3），导致它何时是封闭幺半的问题。然后我们朝着我们的主要结果之一迈进：识别定理 7.6，其中我们证明任何阿贝尔代数族上的对称双边余连续双函子都可以作为某个 2-幂零运算子上代数半阿贝尔代数族中的双线性积恢复。

第八节提供了同调代数中的一个应用：定理 8.1，Ganea 六项正合序列的范畴版本，已知的实例现在成为其特例。第九节关注一个关键技术结果，该结果已经在第二节中使用：定理 9.9 关于余碰撞积的右正合性。第十节从余碰撞积的角度处理阿贝尔扩张的概念，在第 11 节中，我们利用这一点计算某些内部作用范畴中的双线性积：例 11.2 和例 11.3。在这里，双线性积在任何半阿贝尔范畴中的 Beck 模上产生一个张量积，推广了群和李代数的表示的那个，即使我们目前还不能提供一般的显式计算。我们以第 12 节结束，列出一些待进一步调查的问题。

章节片段
余碰撞积和 Higgins 换位子：定义和基本性质的概述
我们按照 [23]，[55]，[57] 和 [58] 定义余碰撞积和诱导的张量积。正如第九节所述，这些余碰撞积实际上是函子的交叉效应的实例。
全文中，除非另有说明，我们假设 $X$ 是 [11]，[64] 意义上的半阿贝尔范畴。
二幂零和双线性积
半阿贝尔范畴的一个 Birkhoff 子范畴 [63, 1.2 节] 是在子对象和正规商对象下封闭的全反射子范畴。众所周知，Birkhoff 反射的单位态射总是正则满态射。
在下文中，我们考虑任何半阿贝尔范畴都拥有的某些 Birkhoff 子范畴，每个由满足换位子条件的对象确定。
高阶换位子和幂零性
在下文中，我们需要任意长度的换位子，以及随之而来的幂零性概念。然后，第二节中考虑的二幂零化函子扩展到任意幂零度。本节的主要目标是证明所有幂零化函子都与 Birkhoff 反射子交换：定理 3.7 将 [79] 中的定理 3.4 从阿贝尔化推广到任意幂零化度。
回顾 [55]，[57]，任意长度的换位子定义为
仅用 X 描述双线性积
要在实践中使用上述双线性积的定义，需要了解当前范畴的二幂零核的一些知识。我们现在解释如何避免这一点：我们将双线性积描述为范畴 $X$ 本身的余碰撞积的一个商。为了做到这一点，我们首先需要引入一些符号。
给定 $X$ 中的对象 $X$ 和 $Y$，我们考虑折叠运算 $S_{1,2}^{X,Y}: X?Y?Y \to X?Y$ 和 $S_{2,1}^{X,Y}: X?X?Y \to X?Y$。左边的那个是由... 诱导的，事实上，. 是一个...
群和 Z-模的张量积
在群范畴中，$X?Y=〈[x,y]|x∈X, y∈Y〉$ 其中，且 $X?Y?Z$ 包含所有的 $[x,[y,z]]=xyzy^{-1}z^{-1}x^{-1}zyz^{-1}y^{-1}$，对于 $x∈X, y∈Y$ 和 $z∈Z$。当一个群中所有后一种类型的换位子词消失时，该群是二幂零的。[70] 和 [58, 命题 2.3] 表明，对于任意两个群 $X$ 和 $Y$，双线性积 $X?Y$ 与 $Ab(X)?_{\mathbb{Z}}Ab(Y)$ 重合，即它们的阿贝尔化作为 $\mathbb{Z}$-模的张量积。

这里，Ab(X)?_Z Ab(Y) 的一个生成元 x[X,X]?y[Y,Y] 对应于(右)对称偏序代数结构及其代数上的回忆的等价类。

我们简要回顾给定交换环上模范畴中对称偏序代数结构的概念（例如，维基百科上关于偏序代数结构的条目[76]对此有清晰的解释）；然而，我们需要偏序代数结构在其代数上从右侧作用，因此必须调整定义；为方便读者，我们将其写出来，如下所示。

设R为交换环。回顾（无常数项的）1右对称……

**一般的代数结构族**

本节中，我们证明半阿贝尔代数结构族中双线性乘积的一些一般结果。我们的工作旨在朝向识别定理7.6，该定理刻画阿贝尔代数结构族上任何对称双余连续双函子，将其表述为由给定双函子诱导的偏序代数结构上的代数结构族的双线性乘积。

**半阿贝尔同调中的Ganea项**

根据文献[37]中的定理5.9，任何短正合序列诱导一个五项正合序列。当f为中心时，序列简化，因为此时[K,B]=0。我们证明，利用上述定义的张量积，所得序列可以在左侧用一个额外的项K?B进行延伸，称为Ganea项（定理8.1）。这一结果最初由Ganea在群的情形中[32]、[43]得到，后来在几种其他情形中也被考虑[2]、[24]、[25]、[27]、[33]、[69]、[80]。（注，

**交换效应的右正合性**

我们现在将注意力集中于证明双线性乘积是逐次右正合的这一事实。为此，我们实际上将证明一个更为精细的右正合性结果，适用于任意函子的所有交换效应。

**阿贝尔扩张**

我们展示余撞乘积右正合性的另一个应用：半阿贝尔范畴中阿贝尔扩张的刻画。

具有阿贝尔核的扩张的概念——任何核A为阿贝尔的短正合序列——与阿贝尔扩张的概念之间存在细微差别，后者是指正则上覆映射p:X→G，其中p在（非尖点的）切片范畴(X↓G)中是一个阿贝尔对象。由于此处的"阿贝尔对象"意味着p具有内Mal'tsev运算，13

**G-表示的张量积**

在固定对象G上的内部作用可以看作非阿贝尔G-模。我们可以提出这样的问题，它们的双线性乘积是什么。由于最终只有阿贝尔化后的结果才重要，我们真正需要理解的是如何对两个阿贝尔作用进行张量：因此，G上的两个Beck模，或者换言之，两个G-表示。从而，双线性乘积在任何半阿贝尔范畴的Beck模上产生一个张量积，推广了群和李[代数表示的张量积]……

**进一步的问题和备注**

我们以一些目前仍然开放的问题结束本文，我们认为这些问题可能会引导出有趣的进一步研究。

**致谢**

我们感谢José Manuel Casas激励我们在一般范畴论背景下研究Ganea项。此外，第二和第三作者衷心感谢前者的长期朋友Elisabeth Ullerich在2013年9月给予的热情款待——附带美味的食物。正是在她那个俯瞰黑森林山脉壮丽景色的阳台上，我们开始撰写这篇论文。最后但同样重要的是，我们希望感谢审稿人，其富有洞察力的……

Bo Shan Deval|Manfred Hartl|Tim Van der Linden