叶状结构的高阶相对指标定理：一种超联络方法

《Journal of Functional Analysis》：Higher relative index theorems for foliations, a superconnection approach

　　

摘要

我们继续将Gromov和Lawson开创性的成果[15]推广到定义在非紧致完备黎曼流形叶状结构的叶上的Dirac算子。给定定义在两个叶状流形上的两个叶Dirac算子，它们在无穷远处一致，我们利用[7]中的拓扑指标，并使用Bismut超联络定义了解析的Connes-Chern示性类，所有这些均在Haefliger上同调中。我们证明了它们是两两相等的。

在本文中，我们不假设叶状结构是黎曼型的。因此，为了将我们的不变量与算子的所谓"指标丛"的不变量联系起来，我们必须加强[7]中关于叶状结构的Novikov-Shubin不变量的假设，并要求流形满足更强的增长条件。这使我们能够利用[21]中的结果，将我们针对黎曼型叶状结构的高阶相对指标丛定理推广到更广泛的一类叶状结构。

我们构造了非黎曼型叶状结构的例子，并利用我们的结果表明它们的正标量曲率叶度量的空间具有无穷多个道路连通分支。

引言

本文是我们将Gromov和Lawson开创性的相对指标定理，即[15]中的定理4.18，推广到定义在叶子和乐群胚为Hausdorff的叶状结构的叶上的Dirac算子的工作[4]、[5]、[7]的延续。我们假设叶状结构定义在（可能非紧致的）完备黎曼流形上，且其所有结构都具有有界几何。在[7]中，我们有时假设叶状结构是黎曼型的。在这里我们不作此假设。这要求我们加强对叶状结构的Novikov-Shubin不变量的条件。我们需要更严格假设的原因是，在黎曼型情况下，我们从[3]中使用的结果仅适用于其和乐映射为等距的叶状结构，这在一般情况下是不可能的。我们的假设使我们能够使用[21]中更一般的结果。

我们的方法与[7]中的非常相似。特别是，我们假设有一个叶状流形(M, F)如上所述，以及余切丛上Clifford代数上的Clifford丛E_M→M，连同与Clifford乘法相容的Hermitian联络?_F,E。这确定了一个叶Dirac算子，记为D_F。我们假设存在第二个具有相同结构的叶状流形(M', F')。我们进一步假设存在紧致子空间K_M = M?V_M和K'_M = M'?V'_M，使得V_M和V'_M上的情形完全相同。在K_M和K'_M紧致邻域之外被识别的对象，称为φ相容的。

与[7]中一样，我们在F和F'的和乐群胚G和G'上工作，使用它们的标准叶状结构F_s和F'_s。因此，我们利用映射r: G→M将所有内容提升到G上，该映射将F_s的叶映射到F的叶，M'的情况类似。特别是，我们得到了F_s的G不变叶Dirac算子D，以及F'_s的D'。

对于M的叶状结构图册的每个好覆盖{U_i}，设T_i?U_i为一个横截面，并设T=?T_i。与F相关的Haefliger形式A_c^*(M/F)是T上的一致有界光滑形式，在每个T_i中具有紧致支撑，模去形式减去其和乐像。它们的对偶空间是Haefliger流。F的Haefliger上同调，记为H_c^*(M/F)，是相应的上同调，独立于好覆盖的选择。

对于对((M, F), (M', F'))的相对Haefliger上同调，记为H_c^*(M/F, M'/F'; φ)，是φ相容的Haefliger形式对（即在远离K_M的T_i上，M'的情况类似）的上同调，模去φ相容的形式减去其和乐像的对。更精确的定义见下文第2节。

利用Atiyah-Singer特征形式AS(D_F)和AS(D_F')，它们在无穷远处一致，我们定义拓扑指标Ind_t(D)∈H_c^*(M/F), Ind_t(D')∈H_c^*(M'/F')，以及Ind_t(D, D')∈H_c^*(M/F, M'/F'; φ)。超联络的通常热算子定义给出超联络解析Chern示性类ch_a(D)∈H_c^*(M/F)和ch_a(D')∈H_c^*(M'/F')，而之前的结果给出ch_a(D)=Ind_t(D)∈H_c^*(M/F)和ch_a(D')=Ind_t(D')∈H_c^*(M'/F')。利用Bismut超联络B=B_0+B_1+B_2 [11]和适当的有限传播偶算子函数谱方法，我们能够定义相对解析Connes-Chern示性类ch_a(D, D')∈H_c^*(M/F, M'/F'; φ)。我们的第一个结果是如下定理。

定理3.2 设(M, F), (M', F'), (D, D')如上所述。则相对指标公式在H_c^*(M/F, M'/F'; φ)中成立，即ch_a(D, D')=Ind_t(D, D')。

接下来，我们将这些相对（和绝对）Chern示性类与所谓指标丛联系起来，以便能够在核投影平凡时应用拓扑指标的古典消没原理，并推导出重要的推论，参见例如[4]、[5]。正如闭叶状流形上已知的，这是一个非平凡的问题，没有额外假设就无法期望这样的结果，参见例如[3]、[8]、[21]。

用P_0表示D^2的核的叶谱投影，用P_(0,ε)表示与区间(0,ε)相关的谱投影。一般来说，这些投影不是横向光滑的（尽管它们总是叶光滑的），所以一般我们不能在Haefliger形式中定义它们的Connes-Chern示性类。当它们是横向光滑时，它们的示性类是良好定义的Haefliger形式，P_0的形式是闭的，因此我们有ch_a(P_0)∈H_c^*(M/F)和ch_a(P_(0,ε))∈A_c^*(M/F)，P_0'和P_(0,ε)'的情况类似。

我们有两个主要结果，从（非黎曼型的）零点处的间隙相对指标定理开始。

定理3.3 假设和乐群胚G和G'是Hausdorff的，并且对于充分小的ε，P_(0,ε)=P'_(0,ε)=0。进一步假设：(1) P_0是横向光滑的，满足∫_M tr(P_0)dx < ∞，P_0'的情况类似；(2) B_1(P_0)和B_1(P_0')是有界叶光滑算子；(3) M，因此M'也具有，亚指数增长。则对于闭合有界φ相容的连续和乐不变Haefliger流C和C'，配对〈ch_a(P_0), C〉和〈ch_a(P_0'), C'〉是良好定义的，且〈ch_a(D, D'), (C, C')〉=〈ch_a(P_0), C〉-〈ch_a(P_0'), C'〉=〈[∫_F AS(D_F), ∫_F' AS(D_F')], (C, C')〉。

元素dx是M上的体积形式。第一项中的有限积分假设例如在关联Bochner恒等式中局部定义的零阶算子在M的无穷远处一致正定时满足，因此也在M'上满足。当叶状结构在环境流形中无穷远处具有正标量曲率时，这对叶自旋-Dirac算子成立。

当谱在零点附近没有间隙时，D的Novikov-Shubin不变量NS(D)提供了P_(0,ε)像的密度的度量。NS(D)越大，当ε→0时P_(0,ε)的像越稀疏，在零点间隙情况下它们为无穷大。

一般非黎曼型相对指标定理如下。

定理3.5 假设和乐群胚G和G'是Hausdorff的，并且P_0, P_0', P_(0,ε)和P'_(0,ε)（对充分小的ε）是横向光滑的。进一步假设，(1) NS(D)和NS(D')大于3codim(F)；(2) B_1(P_0), B_1(P_(0,ε))是有界叶光滑的，P_0'和P_(0,ε)'的情况类似；(3) P_[0,ε)满足∫_M tr(P_[0,ε))dx < ∞，P'_[0,ε)的情况类似；(4) M具有亚超多项式增长，因此M'也如此。则对于闭合有界φ相容的连续和乐不变Haefliger流C和C'，配对〈ch_a(P_0), C〉和〈ch_a(P_0'), C'〉是良好定义的，且〈ch_a(D, D'), (C, C')〉=〈ch_a(P_0), C〉-〈ch_a(P_0'), C'〉=〈[∫_F AS(D_F), ∫_F' AS(D_F')], (C, C')〉。

亚超多项式增长的概念在第3.4定义中引入。

注记5.1 (1) 读者应注意，为简化起见，我们定理中的等式在普遍非零常数意义下成立。(2) 在定理3.3或3.5的假设下，证明实际上表明ch_a(D)=ch_a(P_0)=[∫_F AS(D_F)]在H_c^*(M/F)中成立，ch_a(D')的情况类似。(3) 对环境流形的增长条件是需要保证配对如所述那样成立的。(4) 如上所述，当关联Bochner恒等式中局部定义的零阶算子在M的无穷远处一致正定时，有限积分假设是满足的，因此在M'上也满足。这在[7]的定理4.6中证明了。

我们将看到，定理3.2的证明是标准的，遵循指标定理热方程证明的古典步骤。定理3.3和定理3.5证明背后的想法是使用[21]中的结果和技术，结合有限传播技术，参见[9]、[26]。与D关联的叶状结构Bismut超联络族为B(t)=tB_0+B_1+(1/t)B_2。Connes-Chern示性类ch_a(D)是由Haefliger形式∫_F Str(e^{-B(t)^2/2})确定的Haefliger类[Str(e^{-B(t)^2/2})]，其中Str是叶算子e^{-B(t)^2/2}的Schwartz核的超迹。参见[21]第188-89页。用Q_ε表示D^2与区间[ε, ∞)关联的谱投影。设B(t)=B?_{ε,t}+A_{ε,t}，其中B?_{ε,t}=(P_0+Q_ε)B(t)(P_0+Q_ε)+P_(0,ε)B(t)P_(0,ε)。与[21]中一样，我们证明了由lim_{t→∞}∫_F Str(e^{-B?_{ε,t}^2/2})确定的Haefliger上同调类是ch_a(P_0)。如果P_(0,ε)=0，则A_{ε,t}=0也成立，我们获得了证明定理3.3所需的本质结果。为了将证明推广到定理3.5，我们接着证明A_{ε,t}项不影响t→∞时的极限。

主要的技术挑战是定义ch_a(D, D')，然后将现有论证扩展到新的定义。这涉及若干微妙困难。问题是，尽管D和D'是φ相容的，但e^{-tD^2/2}和e^{-tD'^2/2}一般不是φ相容的，因为D在K_M上的值可能影响e^{-tD^2/2}在无穷远处的值。因此，如果D和D'全局不是φ相容的，这可能导致e^{-tD^2/2}和e^{-tD'^2/2}不是φ相容的。解决方法是用具有有限传播的算子来逼近e^{-tD^2/2}和e^{-tD'^2/2}，并且这些算子在t→0和∞时收敛到e^{-tD^2/2}和e^{-tD'^2/2}。这是通过使用逼近e^{-tz^2}的Schwartz函数族χ_t来实现的，其Fourier变换具有紧致支撑。然后χ_t(D)和χ_t(D')将是φ相容的，并且在t→0和∞时收敛到e^{-tD^2/2}和e^{-tD'^2/2}。

最后一节包含将主要结果应用于具有正标量曲率的非黎曼型叶状结构。特别是，我们展示了如何构造此类叶状结构的族，其正标量曲率度量的空间具有无穷多个道路连通分支。

致谢

MTB获得了法国国家研究署通过项目ANR-14-CE25-0012-01 (SINGSTAR)的支持。他于2025年夏末去世，令人深感怀念。

JLH感谢西蒙斯基金会对数学家提供的数学与物理科学-合作资助，奖项编号632868。

分节片段

设置

为了使本文自成体系，我们重复[7]第2节中的部分内容。用M表示一个光滑的（若非紧致，则完备）n维黎曼流形，用F表示M的一个定向叶状结构（具有诱导度量），维数为p（假设为偶数），余维数q=n-p。M和F的切丛和余切丛分别记为TM, T*M, TF和T*F。F的法丛和对偶法丛分别记为ν和ν*。F的一片叶子记为L。在[7]中，我们假设F是黎曼型的。

定理

用AS(D_F)表示D_F的Atiyah-Singer特征形式，D_F'的情况类似。然后在叶上积分得到拓扑指标类Ind_t(D)=[∫_F AS(D_F)]∈H_c^*(M/F), Ind_t(D')=[∫_F' AS(D_F')]∈H_c^*(M'/F')。

请注意，H_c^*(M/F)和H_c^*(M'/F')中的元素一般不由紧致支撑的形式表示，因为它们可以具有来自无穷多个横截面上光滑紧致支撑形式的非零贡献。由于我们在无穷远处的相容性假设……

定理的证明

我们将反复使用的一个基本事实是，一致有界几何和标准估计保证任何有界A∈N的Schwartz核K_A是叶光滑的，并且在每点一致有界的，正如它的所有叶导数一样。特别地，对于充分大的?，以及任何x∈M和γ, ξ∈L?_x，A的Schwartz核K_A满足‖K_A(γ, ξ)‖≤c_?‖A‖_{-?,?}，其中c_?是仅依赖于?的常数。因此，‖A‖_{-?,?}上的估计直接转化为Tr(A)上的逐点一致估计。

例子

我们首先给出如下5.1中所述类型的一般例子所需的性质。

- N是一个紧致n维黎曼流形，其基本群Γ作用在一个紧致流形S上。
- 用N?表示N的万有覆盖，设M=N?×_Γ S，用F表示由纤维化S→M→π_N给出的叶状结构。M也具有与F横截的自然平坦丛叶状结构。
- 假设F的切丛，即沿纤维的切丛TF=N?×_Γ TS，是自旋的，具有处处非零交叉……

Moulay-Tahar Benameur | James L. Heitsch