耦合椭圆方程有节解的多重存在性与定性性质

《Journal of Functional Analysis》：Multiple existence and qualitative property of nodal solutions for coupled elliptic equations

　　

## 摘要

本文研究了以下耦合非线性椭圆方程具有预指定逐分量节线数据的节线解：
$$\begin{cases} -\Delta u_j + u_j = u_j^3 + \beta \sum_{i=1, i \neq j}^N u_i u_j^2 & \text{在} \ \Omega \text{中}, \\ u_j \in H_{0,r}^1(\Omega), & j = 1, \ldots, N. \end{cases}$$

其中，$\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是带有 $n=2,3$ 的有界径向域，耦合常数 $\beta \leq -1$ 处于排斥区间。我们研究了正解和节线解的解结构，证明了具有逐分量预指定节点数的解的多元存在性，并对解的分量间差的节点数提供了定性估计，包括上下界。我们的总体框架针对节线解，但即使对于正解，我们的结果也是新颖的。

## 引言

本文研究以下非线性椭圆问题：
$$\begin{cases} -\Delta u_j + u_j = u_j^3 + \beta \sum_{i=1, i \neq j}^N u_i u_j^2 & \text{在} \ \Omega \text{中}, \\ u_j \in H_0^1(\Omega), & j = 1, \ldots, N. \end{cases}$$

其中，$\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是有界径向域（例如球体或环形），$n=2,3$，耦合常数 $\beta \leq -1$。该方程也被称为耦合薛定谔方程，因为它是含时非线性薛定谔方程的驻波系统：
$$\begin{cases} i \partial_t \Phi_j + \Delta \Phi_j + |\Phi_j|^2 \Phi_j + \beta \sum_{i \neq j} \Phi_j |\Phi_i|^2 = 0 & \text{在} \ \Omega \text{中}, \\ \Phi_j(t,x) \in \mathbb{C}, \quad \Phi_j(t,x)|_{x \in \partial \Omega} = 0 & j = 1, \ldots, N. \end{cases}$$

此类系统源于玻色-爱因斯坦凝聚体，参见[2]、[32]。当 $\beta > 0$ 时，问题(1)被视为吸引的；当 $\beta < 0$ 时，为排斥的。本文关注排斥区间。

近年来，继林-魏的开创性工作[24]之后，问题(1)已被广泛研究。我们不可能涵盖所有参考文献，在此讨论一些相关文献作为我们工作的动机。问题(1)的可解性借助山丘引理得到证明，参见[35]。然而，众所周知（例如[8]），山丘解可能是半平凡的，即解中的一些分量为零而其他非零。借助下降流的不变集和Nehari方法，刘和王[27]、[28]克服了这一困难，获得了一个无界的非平凡解序列，即没有零分量的解。问题(1)与其标量场对应物 $-\Delta u + u = |u|^{p-2} u$ 之间的显著差异出现在[5]、[14]、[39]、[42]中，作者们在适当假设下找到了无穷多个正解序列。先验估计[18]和唯一性结果[17]、[21]排除了标量场方程正解多元性的可能性。这表明当我们也考虑变号解时，问题(1)的解的完整结构比其标量对应物复杂得多。

对于节线解，关于问题(1)已有若干结果。文献[12]、[25]、[36]中的工作找到了无穷多个节线解或部分分量为正、其余为节线的解。在径向设定下，文献[22]、[29]中找到了每个分量具有预指定节点数的解。此外，本文作者在[22]中证明了对于每一组逐分量预指定的节点数，都存在携带相同节线数据的无穷序列解。文献[22]的方法基于利用抛物流作为变分表述下降流的特殊对称山丘程序。

本文继续在径向设定下研究正解和节线解的解结构。我们旨在实现以下几个目标。我们将根据解的分量的节点数以及解的分量之间差的节点数，对正解和节线解进行更详细的分类并描述其性质。我们提供了一种新方法，使我们能够在更弱的条件下加强和扩展节线解和正解的存在性结果。此外，即使对于正解，我们的结果也是新颖的。

为展示我们结果的精神，我们先考虑一个特殊情况，完整结果将在第1.2节中呈现。考虑以下三个方程的耦合系统，我们将 $(u_1, u_2, u_3)$ 写为 $(u, v, w)$：
$$\begin{cases} -\Delta u + u = u^3 + \beta u v^2 + \beta u w^2 & \text{在} \ B_1 \text{中}, \\ -\Delta v + v = v^3 + \beta u^2 v + \beta v w^2 & \text{在} \ B_1 \text{中}, \\ -\Delta w + w = w^3 + \beta u^2 w + \beta v^2 w & \text{在} \ B_1 \text{中}, \\ u, v, w \in H_{0,r}^1(B_1). \end{cases}$$

这里，$\beta \leq -1$，$B_1$ 是 $\mathbb{R}^n$（$n=2,3$）中的单位球。对于连续径向函数 $u$，$n(u)$ 表示其零点个数（在有意义时）。我们的总体工作给出以下关于问题(3)的结果：

**定理 1.1** 问题(3)存在四个无界正径向解序列：$\{(u_s^l, v_s^l, w_s^l)\}_{s=1}^{\infty}$，$l=1,2,3,4$，使得以下截然不同的分量间节线性质成立：

(1) $\lim_{s \to \infty} n(u_s^1 - v_s^1) = \infty$，且对于任意 $s \geq 1$，$n(u_s^1 - w_s^1) = n(v_s^1 - w_s^1) = 1$；

(2) $\lim_{s \to \infty} n(u_s^2 - w_s^2) = \infty$，且对于任意 $s \geq 1$，$n(u_s^2 - v_s^2) = n(v_s^2 - w_s^2) = 1$；

(3) $\lim_{s \to \infty} n(v_s^3 - w_s^3) = \infty$，且对于任意 $s \geq 1$，$n(u_s^3 - w_s^3) = n(u_s^3 - v_s^3) = 1$；

(4) 当 $s \to \infty$ 时，$n(u_s^4 - v_s^4)$、$n(u_s^4 - w_s^4)$ 和 $n(v_s^4 - w_s^4)$ 均趋于无穷。

我们注意到，分量间节点数比较的重要性在[34]中被观察到，用于研究解的定性性质，其中Quittner获得了具有预指定节点数（对两个分量及其比较）的先验估计。上述结果给出了截然不同的无穷正解序列，因此进一步分类了正解的结构。该分类基于解的分量之间差的节点数比较。

现在返回问题(1)并给出本文的完整结果。在本文中，我们将用大写字母如 $U$、$V$ 或 $W$ 表示向量值函数。问题(1)的能量泛函定义为
$$I(U) = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^N \int |\nabla u_j|^2 + u_j^2 - \frac{1}{4}\sum_{j=1}^N \int u_j^4 + \beta \sum_{i \neq j} u_i^2 u_j^2$$

其中 $U = (u_1, \cdots, u_N) \in (H_{0,r}^1(\Omega))^N$，为 $H_0^1$ 中径向对称函数的 $N$ 个副本的乘积空间。为避免符号混淆，有时我们也可能写作 $U = (U_1, \cdots, U_N)$。

接下来，对于固定的 $N$，我们选取一个素数 $p$ 并写作
$$N = Bp + R$$

其中 $B \geq 1$ 和 $R \geq 0$ 为整数。在此设定下，$U$ 的 $N$ 个分量被分为 $B$ 个子组的并集，每组包含 $p$ 个分量，以及剩余的 $R$ 个分量：
$$U = (U_1, \ldots, U_p, U_{p+1}, \ldots, U_{2p}, \ldots, U_{(B-1)p+1}, \ldots, U_{Bp}, U_{Bp+1}, \ldots, U_{Bp+R})$$

我们构造的解在每个分量、每组内的分量之间以及不同组的分量之间展现定性性质。同样，对于连续径向函数 $u$，$n(u)$ 表示其零点个数（在有意义时）。归纳地，我们可以定义以下整数序列，对 $s=1,2,\ldots$：
$$\begin{cases} K_{s+1} - \frac{1}{2}(p-1)\sum_{b=1}^B (P_b+1) \cdot K_s - \frac{7}{p-1}\sum_{b=1}^B (P_b+1) = 0, \\ K_1 = \frac{1}{9(p-1)}\sum_{b=1}^B (P_b+1) + 1 \end{cases}$$

以下是我们的第一个主要结果：

**定理 1.2** 设 $\beta \leq -1$。令 $N = Bp + R$，其中 $p$ 为素数，$B \geq 1$ 和 $R \geq 0$ 为整数。固定非负整数 $P_1, \cdots, P_B$ 和 $Q_1, \cdots, Q_R$。则存在问题(1)的无穷解序列 $\{U_s = ((U_s)_1, \cdots, (U_s)_N)\}_{s=1}^{\infty}$，使得对于所有 $s \geq 1$：

(1)（逐分量预指定节点，1）对于任意 $b=1, \cdots, B$ 和任意 $i=1, \cdots, p$，$n((U_s)_{(b-1)p+i}) = P_b$；

(2)（逐分量预指定节点，2）对于任意 $r=1, \cdots, R$，$n((U_s)_{Bp+r}) = Q_r$；

(3)（组内比较）对于任意 $b=1, \cdots, B$ 和任意 $j_1, j_2 = 1, \cdots, p$ 且 $j_1 \neq j_2$，
$$n((U_s)_{(b-1)p+j_1} - (U_s)_{(b-1)p+j_2}) \in [(P_b+1) \cdot K_s + 2, (P_b+1) \cdot K_s + 1 + 1]$$
其中 $K_s$ 定义如(5)式；

(4)（组间比较，1）对于任意 $b_1, b_2 = 1, \cdots, B$ 和任意 $j_1, j_2 = 1, \cdots, p$ 且 $b_1 \neq b_2$，
$$n((U_s)_{(b_1-1)p+j_1} - (U_s)_{(b_2-1)p+j_2}) \leq P_{b_1} + P_{b_2} + 1$$

(5)（组间比较，2）对于任意 $b=1, \cdots, B$，$j=1, \cdots, p$ 和 $r=1, \cdots, R$，
$$n((U_s)_{(b-1)p+j} - (U_s)_{Bp+r}) \leq P_b + Q_r + 1$$

(6)（组间比较，3）对于任意 $r_1, r_2 = 1, \cdots, R$ 且 $r_1 \neq r_2$，
$$n((U_s)_{Bp+r_1} - (U_s)_{Bp+r_2}) \leq Q_{r_1} + Q_{r_2} + 1$$

**注 1.1**

1) 定理的前两个断言给出了每个分量的预指定节点数。

2) 最后四个断言提供了不同分量之间差的分量间节线数据的定性估计，其中一些为上界，一些为下界。

3) 特别地，断言(3)表明这是一个无界解序列，因为当 $s \to \infty$ 时 $K_s \to \infty$。

4) 定理1.2中涉及的不同分量之间的比较分为四种情况。第一种情况是每组内的比较（断言(3)），即不同分量的差的节点数为无穷大；第二种情况是组间的比较（断言(4)）；第三种情况是组内一个分量与剩余分量之一的比较（断言(5)）；第四种情况是剩余分量中任意两个之间的比较（断言(6)）。

定理1.2虽然展示了多元性，但为分量间比较提供了一些上界。相反，以下结果给出了一些下界。

**定理 1.3** 对于问题(1)且具有径向域 $\Omega$，设 $\beta \leq -1$。令 $(u_1, \cdots, u_N)$ 为问题(1)的非平凡径向解。对于任意 $i_1, i_2 = 1, \cdots, N$ 且 $i_1 \neq i_2$，以下结果成立：

(1) 当 $n(u_{i_1}) = n(u_{i_2}) = 0$ 时，$n(u_{i_1} - u_{i_2}) \geq 1$。

(2) 当 $n(u_{i_1})$ 和 $n(u_{i_2})$ 之一非零时，$n(u_{i_1} - u_{i_2}) \geq [\min\{n(u_{i_1}), n(u_{i_2})\} - 1/2]$。其中 $[a]$ 表示 $a$ 的整数部分。

**注 1.2** 为证明定理1.1，我们使用 $N=3$ 的两种分解以及 $P_1 = \cdots = P_B = Q_1 = \cdots = Q_R = 0$。注意整数 $N=3$ 可以分解为两种情况：

（情况A）：$p=2$，$B=1$，$R=1$。

（情况B）：$p=3$，$B=1$，$R=0$。

将定理1.2和定理1.3应用于情况A，我们得到定理1.1的前三个无穷正解序列；将定理1.2和定理1.3应用于情况B，我们得到定理1.1的第四个无穷正解序列。

从方法论的角度来看，本文的主要工具是对称山丘定理的一个变体，在相关的抛物流下构建了适当的不变集。节线临界点的变分理论已被广泛研究，参见[1]、[4]、[6]、[7]、[13]、[23]、[25]、[26]及其中的参考文献。为了获得节线临界点，作者们发展了新框架，将经典山丘定理和极大值原理相结合。极大值原理保证了正锥在负梯度流下的不变性，这已被用于[4]、[6]、[7]、[23]、[25]、[26]中。然而，在考虑具有预指定节点数的径向解时，抛物流在这里更为有用，参见[1]、[11]、[13]、[42]。这是因为抛物方程在单一空间维度或具有径向对称时具有众所周知的性质：沿流线节点数不能增加。关于抛物方程的最新介绍参见[33]。

在我们先前的工作[22]中，我们通过将抛物流嵌入到 $Z_p$-对称山丘设置中来建立了一个框架。精细的节线性质（参见[22]中的命题2.11和引理2.9）被用来防止节线突起消失。在本文中，我们进一步发展了这个框架，通过涉及向量解的分量之间的节线相互作用比较，进一步揭示了问题(1)径向解的结构。

本文聚焦于在相关抛物流下具有某些不变集构建的对称山丘定理。我们的论文分为两大部分：一部分关于抛物方程的动力学，另一部分关于利用动力学内容证明具有某些性质的解的存在性。更精确地说，我们按以下大纲概述我们的工作：

(1) 在第2节中，我们介绍了对应抛物问题的解的存在性、正则性、整体存在性、有界性和节线性质。在给出此处某些结果的证明时，我们主要参考[22]中的结果。

(2) 我们主要结果定理1.2的证明在第3节中给出。证明分为三步：(a) 对于具有预指定比较上界向量值函数的集合 $A_{P \to, M \leq} \setminus D$（参见(15)和(17)式），我们证明它承认有限的亏格。参见引理3.4。(b) 我们构造一个集合序列 $G_{K^n} \cap \partial A \setminus (\bigcup_{j,q} C_{j,q} \cup H)$（参见(24)、(7)、(22)-(23)和(21)式），由具有逐分量预指定节点数的向量值函数组成，其亏格无界。参见推论3.13。(c) 对于一个固定的集合 $A_{P \to, M \leq} \setminus D$，我们总能找到一个亏格很大的集合 $G_{K^n} \cap \partial A \setminus (\bigcup_{j,q} C_{j,q} \cup H)$，它导致抛物流在 $A_{P \to, M \leq} \setminus D$ 之外的平衡点。通过这种方式，我们找到了问题(1)的一个解，该解具有预指定节点数和期望的比较性质。为此：

(2.1) 在3.2小节中，我们处理集合 $A_{P \to, M \leq} \setminus D$。参见引理3.4；

(2.2) 在3.3和3.4小节中，我们考虑集合 $G_{K^n} \cap \partial A \setminus (\bigcup_{j,q} C_{j,q} \cup H)$。参见推论3.13；

(2.3) 在3.5和3.6小节中，我们通过在 $A_{P \to, M \leq} \setminus D$ 之外寻找平衡点。这是通过亏格比较完成的。

(3) 定理1.3在第4节中证明。

**符号说明** 在本文中，通常对于Banach空间 $X$，我们将其范数写为 $\|\cdot\|_X$。特别地，对于Lebesgue空间 $L^p(\Omega)$ 和Sobolev空间 $H_{0,r}^1(\Omega)$，范数分别记为 $|\cdot|_p$ 和 $\|\cdot\|$。$\Omega$ 为有界径向域。

## 第2节 抛物设置

考虑以下抛物问题：
$$\begin{cases} \partial_t u_j - \Delta u_j + u_j = u_j^3 + \beta \sum_{i=1, i \neq j}^N u_i u_j^2 & \text{对于} \ x \in \Omega \ \text{且} \ t > 0, \\ u_j(0, x) = u_{j,0}(x) \in H_{0,r}^1(\Omega), & j = 1, \ldots, N. \end{cases}$$

这里，常数 $\beta \leq -1$。域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 为径向的且 $n=2,3$。在下文中，我们将使用 $\eta_t(U)$ 或 $(u_1(t), \cdots, u_N(t))$ 来表示问题(6)的解。解定义在时间区间 $[0, T(U))$ 上，$T(U)$ 表示解的最大存在时间。特别地，我们将使用子集 $A$ 的 $\omega$-极限集 $\omega(A)$ 的概念。更精确地说，对于 $a$

## 定理1.2证明的概要

由于我们的证明相当长，我们首先在本小节中概述其思路。与[22]类似，主要思路是在 $\partial A$ 上构造对称山丘定理的一个变体。

要找到问题（1）的解，就是找到（6）的平衡点。为此，我们找一个初始数据 $U\in\partial A$，使其 $\omega$-极限集包含问题（1）的一个解。本节中的论证是对上述想法的精细化。具体而言，（1）在3.2节中，我们引入一些基本概念以及若干关于定理1.3的证明的性质。定理1.3的证明。在本节中，我们证明定理1.3。定理1.3的证明：我们首先验证定理1.3中的断言（1）。考虑
$$\begin{cases} -\Delta u_j + u_j = u_j^3 + \sum_{i=1,i\neq j}^N \beta_{ij} u_i u_j^2 \quad \text{在}\Omega \text{中}, \\ 0 < u_j \in H_0^1(\Omega), \quad j=1,\ldots,N. \end{cases}$$
其中，对于 $n=2,3$，区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是任意具有光滑边界的区域。常数 $\beta$ 满足 $\beta \leq -1$。命题4.1：对于问题（47）的一个解 $(u_1,\cdots,u_N)$，$w_{ij}=u_i-u_j$ 必须在 $\Omega$ 中变号，对所有 $i,j=1,\cdots,N$ 且 $i\neq j$。否则，不妨设 $u_1 \geq u_2 > 0$ 在 $\Omega$ 中成立。则
$$\int|\nabla u_2|^2 + \int u_2^2 = \int u_2^4 + \beta\int u_1^2 u_2^2 + \beta\sum_{i\geq 3}\int u_i^2 u_1^2 \leq (1+\beta)\int u_2^4 \leq 0.$$
这是一个矛盾。现在我们来检查断言致谢：Li 由 FAPESP 研究过程基金2022/15812-0资助。作者感谢赵立刘对论文早期版本提出的一些有用建议。作者感谢一位审稿人的仔细阅读和建议。郝宇 Li | 王志强 Wang