光学驱动的热铷蒸气中，电信波长处的亚多普勒线宽高光学深度吸收线

《Physical Review A》：High-optical-depth, sub-Doppler-width absorption lines at telecom wavelengths in hot, optically driven rubidium vapor

　　

多普勒展宽是室温原子蒸气在高分辨光谱和非线性光学领域面临的一项主要限制。在此，我们展示了多普勒展宽的抑制以及三能级阶梯系统中上跃迁上显著吸收的实现，该方法通过用强控制场对中间态进行 dressed（装饰态）制备来实现。作为一个具体实现，我们研究了 ${}^{87}\mathrm{Rb}$ 的热蒸气，其中下跃迁由与波长为 780 nm 的 $D_2$ 线共振的强控制场驱动，而一束在 C 波段通信波长 1529 nm（$5P_{3/2} \leftrightarrow 4D_{5/2}$）处的弱反向传播探测场则对装饰态进行测量。我们观测到的吸收特征具有约 4 的共振光深和约 17 MHz 的全宽半高。值得注意的是，这相对于多普勒宽度减少了约一个数量级，同时阶梯方案上跃迁的光深超过了多普勒展宽下跃迁的光深。测量谱与理论建模结果吻合良好。通常，高光学密度与次多普勒宽度吸收线的结合需要激光冷却原子，而我们的方法得益于热蒸气平台的实验简便性。

**I. 引言**

原子蒸气由于其易获得性和室温操作的技术简便性，被广泛用作量子应用的实验平台 [1–4]。然而，这类系统的一个根本性限制是原子热速度分布引起的光跃迁多普勒展宽 [5,6]。这种非均匀展宽降低了光谱分辨率和相干性，从而大幅限制了广泛的量子光学协议的性能 [7–12]。

早期的研究 [13,14] 利用二能级构型在光学厚原子介质中展示了多普勒自由透射效应，为后来在强吸收蒸气相干光谱中的发展提供了重要先驱。在三能级系统中，可以通过最小化控制场与探测场之间的波矢失配来抑制多普勒展宽。在 $\Lambda$ 型构型中，波长几乎简并（通常仅相差超精细或塞曼分裂）的共传播光束实现了近乎完全的多普勒抵消 [12,15,16]。而在阶梯方案中，相反地，可以使用反向传播光束获得次多普勒特征，但由于两个光跃迁通常发生在不同波长，满足波矢匹配条件要困难得多 [17–20]。因此，人们提出了几种方法来补偿波矢失配并恢复次多普勒分辨率 [21–23]。

在本工作中，我们引入了一种针对具有强非简并跃迁的阶梯系统的多普勒抵消方案。下跃迁由强控制场驱动，而通过采用频率约为下跃迁频率一半的弱探测场并安排为反向传播构型，实现了最优多普勒抵消。重要的是，该机制不依赖于速度选择，这与饱和吸收光谱（SAS）[24–26] 不同。相反，它涉及广泛的原子速度类别，从而增强了光深（OD）而非减少参与原子的数量。

我们研究了 ${}^{87}\mathrm{Rb}$ 中一个特定的阶梯构型，其中控制场在 780 nm 波长处驱动跃迁（$5S_{1/2} \rightarrow 5P_{3/2}$），而一束弱探测场在 C 波段通信波长 1529 nm 处测量 $5P_{3/2} \leftrightarrow 4D_{5/2}$ 跃迁。观测到的吸收特征线宽相对于多普勒宽度减少了约一个数量级，全宽半高（FWHM）约为 17 MHz，光深（OD）约为 4。我们发现专门的数值模型与实验结果吻合良好。所选择的阶梯方案特别引人注目，因为其上跃迁位于技术上重要的 C 波段通信频段。更一般地，所提出的方法可以推广到其他采用反向传播光束的阶梯系统，当上跃迁频率与下跃迁频率之比接近二分之一时可实现最佳性能。

在 C 波段通信波长的上光跃迁上同时实现大光深和窄次多普勒共振是本工作的主要成果。这种组合在简单的室温原子蒸气中同时提供了高光学深度和窄谱响应，这一区域在传统方法中一直难以实现。这一独特能力为在通信波长下运行的量子光学和非线性光学方案打开了新的机遇，包括量子光源生成、慢光协议、窄带光学滤波和相干频率转换。

本文的组织如下。在第 II 节中，我们在简化的三能级模型中分析了强次多普勒吸收的产生。在弱探测近似下，我们推导了探测吸收系数的解析表达式，并考察了其在控制场弱饱和和强饱和区域的行为。为了阐明多普勒抵消效应的物理起源，我们采用了原子-场相互作用的装饰态图像。第 III 节和第 IV 节分别描述了实验装置和数值模型，包括 ${}^{87}\mathrm{Rb}$ 的塞曼和超精细结构。在第 V 节中，我们呈现了多普勒抵消的实验观测，并与数值模拟结果进行了比较。最后，第 VI 节总结了我们的发现并勾勒了未来方向。

**II. 强次多普勒吸收的简化三能级模型**

我们考虑处于阶梯构型中的三能级原子气体 [图 1(a)]，沿共线方向与拉比频率为 $\Omega_C$ 的强控制场和弱探测场 $\Omega_P$ 相互作用。忽略碰撞，因此相干衰减率为 $\Gamma_1$ 且 $\Gamma_1$，以及 $\Gamma_{2}$ 为激发态的自发衰变率。假设系统近似为闭合系统，态 $|e\rangle$ 仅衰减至态 $|i\rangle$，且相互作用时间超过所有激发态寿命。我们假设多普勒主导区域 $\Gamma_1 \ll \Delta_D$，其中 $v_m$ 为最概然原子速度。

**图 1.** 阶梯型三能级原子激发方案在 (a) 裸态和 (b) 装饰态表示下的示意图。(a) 频率为 $\omega_C$、波矢大小为 $k_C$、拉比频率为 $\Omega_C$ 的强控制场驱动初始布居的基态 $|g\rangle$ 与中间态 $|i\rangle$ 之间的跃迁，跃迁频率为 $\omega_{ig}$。在原子静止参考系中，多普勒频移失谐为 $\Delta_C' = \Delta_C - k_C v$，其中 $\Delta_C$ 为相对于多普勒展宽跃迁中心的失谐，$v$ 为沿控制场传播方向的原子速度分量。频率为 $\omega_P$、波矢大小为 $k_P$、拉比频率为 $\Omega_P$ 的弱探测场耦合跃迁 $|i\rangle \leftrightarrow |e\rangle$，其多普勒频移失谐为 $\Delta_P' = \Delta_P \pm k_P v$，其中 $\Delta_P = \omega_P - \omega_{ei}$；上（下）符号对应共传播（反向传播）的探测场和控制场。(b) 在装饰态图像中，控制场将态 $|g\rangle$ 和 $|i\rangle$ 混合为装饰态 $|i_+\rangle$ 和 $|i_-\rangle$，二者能量差为 $\Omega_R$。装饰态与态 $|e\rangle$ 以有效拉比频率 $\Omega_+$ 和 $\Omega_-$ 以及失谐 $\Delta_+$ 和 $\Delta_-$ 耦合 [见公式 (13)–(17)]。波浪箭头表示速率为 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 的非相干自发衰变过程。

与标准的电磁感应透明（EIT）方案 [17–19] 不同，拉比频率为 $\Omega_C$ 的控制场驱动初始布居的基态 $|g\rangle$ 与空的激发态 $|i\rangle$ 之间的跃迁。因此，态 $|i\rangle$ 中的布居以及跃迁 $|i\rangle \leftrightarrow |e\rangle$ 上的相干仅在控制场存在的条件下产生；在没有控制场时（$\Omega_C = 0$），探测场在跃迁 $|i\rangle \leftrightarrow |e\rangle$ 上的吸收消失。

在我们的模型中，利用密度矩阵方程的稳态解得到的弱探测场（$\Omega_P \ll \Omega_C$）吸收系数 $\alpha_P$ 的表达式为

$$\alpha_P = \frac{k_P}{2} \frac{\Gamma_1 \left|\Omega_C\right|^2 / (\Gamma_1 + i\Delta_C')^2 \cdot \Gamma_2 / (\Gamma_2 + i\Delta_P' \pm i k_P v)}{1 + \left|\Omega_C\right|^2 / [\Gamma_1(\Gamma_1 + i\Delta_C')]} \cdot \frac{1}{\left|1 + \frac{k_P}{2} \frac{\Gamma_1 \left|\Omega_C\right|^2 / (\Gamma_1 + i\Delta_C')^2 \cdot \Gamma_2 / (\Gamma_2 + i\Delta_P' \pm i k_P v)}{1 + \left|\Omega_C\right|^2 / [\Gamma_1(\Gamma_1 + i\Delta_C')]} \cdot \frac{1}{\Gamma_2 + i\Delta_P' \pm i k_P v}\right|^2}$$

(1)

其中 $\pm$ 分别对应探测激光和控制激光的共传播和反向传播构型。这里 $\Delta_C = \omega_C - \omega_{ig}$，$\Delta_P = \omega_P - \omega_{ei}$，且 $\Omega_R = \sqrt{\Omega_C^2 + \Delta_C^2}$。

**A. 弱饱和区域**

对于 $\Omega_C \ll \Delta_D$，控制场仅与以 $v = \Delta_C/k_C$ 为中心的一个窄速度组 $\delta v \sim \Omega_C/\Delta_D$ 中的原子相互作用。探测场激发单光子 $|i\rangle \leftrightarrow |e\rangle$ 跃迁和相干辅助的双光子 $|g\rangle \leftrightarrow |e\rangle$ 跃迁。它们的干涉在探测吸收系数中产生一个多普勒自由的洛伦兹特征，半宽为

$$\gamma = \frac{\Gamma_1 + \Gamma_2}{2} + \frac{\Omega_C^2}{\Gamma_1 + 2k_C v_m \cdot \frac{k_P}{k_C}}$$

(2)

中心位于 $\Delta_P = 0$，峰值吸收为

$$\alpha_P^{\max} = \frac{k_P}{2} \frac{|\Omega_C|^2}{\Gamma_1} \cdot \frac{\Gamma_1}{\gamma} \cdot \frac{1}{1 + |\Omega_C|^2/(\Gamma_1 \gamma)}$$

(3)

在此区域中，控制场未饱和，沿传播方向 $z$ 以

$$\Omega_C(z) = \Omega_C(0) e^{-\alpha_L z/2}$$

(4)

衰减，其中线性吸收系数 $\alpha_L$ 为

$$\alpha_L = \frac{k_C}{2} \frac{\Gamma_1 |\Omega_C(0)|^2}{\Gamma_1^2 + \Delta_C^2}$$

(5)

其中 $v_m$ 和 $\Delta_D = k_C v_m$。

因此，原子被控制场有效驱动的特征区域长度为 $l_C \sim 1/\alpha_L$ 量级。由此，激发态跃迁 $|i\rangle \leftrightarrow |e\rangle$ 上可达到的光深 $\mathrm{OD}_{ie} = \int_0^{L} \alpha_P \, dz$ 不能超过

$$\mathrm{OD}_{ie}^{\max} = \frac{2}{k_P} \ln\left(1 + \frac{|\Omega_C(0)|^2}{\Gamma_1 \gamma}\right) \leq \frac{|\Omega_C(0)|^2}{k_P \Gamma_1 \gamma}$$

(6)

其中 $\mathrm{SA}_C(0)$ 是吸收介质入口处控制场的饱和参数。因此，在弱饱和区域 $\mathrm{SA}_C(0) \ll 1$ 中，控制场的快速衰减本质上限制了探测场在跃迁 $|i\rangle \leftrightarrow |e\rangle$ 上吸收的有效相互作用长度，所导致的光深保持较小，$\mathrm{OD}_{ie} \leq \mathrm{SA}_C(0)$，即使进一步增加原子密度或蒸气室长度也不会改变。

**B. 强饱和区域**

在强饱和区域 $\mathrm{SA}_C(0) \gg 1$ 中，控制场强度不再随传播距离指数衰减，而是近似线性下降。因此，在长距离 $l_C$ 内维持了中间态的显著布居，从而在延伸的相互作用区域中实现探测场吸收。然而，当 $\Omega_C$ 超过某临界值 $\Omega_C^{cr}$ 时，探测谱中出现 Autler-Townes（AT）分裂 [27]，导致形成双重结构。对于超过某临界值 $\Omega_C^{cr}$ 的拉比频率，弱饱和区域观测到的单一吸收峰分裂为对称分布于 $\Delta_P = 0$ 两侧的两个分量。分裂，定义为对应两个分量最大值的探测失谐 $\Delta_P^{(1)}$ 和 $\Delta_P^{(2)}$ 之间的间距，约等于控制场拉比频率。

$\Omega_C^{cr}$ 的值以及 AT 双重体的光谱性质强烈依赖于共线探测场和控制场波矢大小之比 $\xi = k_P/k_C$。注意，这里仅考虑共线传播。在非共线构型中，不可避免地存在附加的多普勒展宽。图 2 显示了 AT 双重体的 FWHM 作为该比值函数的变化。对于反向传播的探测场和控制场，且最优比

$$\xi = k_P/k_C \approx 1/2$$

(7)

附近（见图 2 插图），在所有所考虑的控制场拉比频率 $\Omega_C$ 值下，FWHM 保持在几个 $\gamma$ 以下，表明多普勒展宽对线宽的贡献较弱。对于中间控制场强度 $\Omega_C$（如图 2 中蓝线所示），在相当宽的波矢比范围内多普勒展宽抑制仍然存在，尽管各分量的线形偏离洛伦兹型。双重体分量表现出明显的不对称性（见图 3）。特别地，在双重体的外侧和邻近相邻 AT 分量的内侧观测到显著不同的半高宽（也见图 2 插图）。在 $\xi \to 0$ 极限下（如图 2 中红线所示），AT 分量变得更加对称，并且在满足条件 (7) 的精度高于中间控制场强度区域时，趋向于无多普勒展宽的洛伦兹线形。

**图 2.** 单个 AT 分量的 FWHM 随探测场与控制场波矢绝对值之比变化的关系，针对三个控制场拉比频率 $\Omega_C$ 值，对 $\Delta_D/\Gamma_1 = 100$ 和 $\Gamma_2/\Gamma_1 = 1$ 进行计算（实线）。变量 $\xi$ 定义为共传播时 $\xi = k_P/k_C$，反向传播时 $\xi = k_C/k_P$。对于 AT 分量在光谱上无法分辨的参数区域，相应虚线显示了所得单一光谱特征的 FWHM。作为分辨判据，我们要求 $\Delta_P = 0$ 处的信号不超过最大吸收信号（出现在 $\Delta_P^{(1,2)}$）的二分之一。插图以扩展比例显示了 FWHM；点线和虚线蓝色曲线分别指示单个 AT 分量在 $\Omega_C/\Gamma_1 = 5$ 时的内侧和外侧半高宽（定义见图 3）。

**图 3.** 单个分辨的 AT 分量的线形：探测吸收系数 $\alpha_P/\alpha_P^{\max}$（归一化至其最大值 $\alpha_P^{\max}$）作为探测失谐 $\Delta_P$（相对于 AT 分量预期位置 $\Delta_P^{(1,2)}$）的函数，对三个控制场拉比频率 $\Omega_C$（$\Omega_C/\Gamma_1 = 1$，$5$ 和 $20$）。

图 4 通过直接比较未出现该效应的共传播情形，在最优条件 (7) 下以及宽范围控制场拉比频率范围内展示了多普勒抵消效应。

**图 4.** 归一化探测吸收系数 $\alpha_P/\alpha_P^{\max}$ 作为探测失谐 $\Delta_P$ 和控制场拉比频率 $\Omega_C$ 的函数，对 (a) 反向传播和 (b) 共传播构型，计算参数为 $\Delta_D/\Gamma_1 = 100$，$\Gamma_2/\Gamma_1 = 1$，$\xi = 0.5$。

图 5 在宽参数范围内展示了单个 AT 分量的归一化峰值吸收 $\alpha_P^{\max}/\alpha_{Df}$ 作为控制场拉比频率 $\Omega_C$ 的函数。在中间区域 $\Omega_C \sim \Delta_D$ 中观测到线性增加，在强场极限 $\Omega_C \gg \Delta_D$ 中，$\alpha_P^{\max}/\alpha_{Df}$ 趋向饱和，极限值为

$$\frac{\alpha_P^{\max}}{\alpha_{Df}} \to 1 - \frac{\Gamma_2}{\Gamma_1 + \Gamma_2}$$

(8)

对于 $\xi \to 0$，该极限值趋近于所有原子均制备在态 $|i\rangle$ 的多普勒自由介质所预期的吸收。

**图 5.**

单AT分量的归一化峰值吸收随控制场拉比频率Ω的变化关系，以多普勒宽度ΓD为单位表示，针对反向传播配置。曲线为...、...和...时计算得出。C. 基于dressed态的多普勒抵消效应图像

数值模拟中基于公式(1)观测到的多普勒增宽抑制现象，可以很方便地在dressed态形式主义中理解。与其使用由强场Ω耦合的两个"裸"态|1?和|2?，不如引入dressed态基

(9)
(10)

更为方便，其中混合角θ定义为

(11)

角θ选择在区间[0, π/2]内，使得cosθ和sinθ均为正值。按照这一约定，dressed态|2??始终具有比|1??更高的能量。在极限Ω→0下，dressed态退化为裸态：|1??对应|1?，|2??对应|2?。dressed态|1??和|2??的能量由下式给出

(12)

一般情况下，由于裸态|3?的有限寿命，两个dressed态之间存在耦合，从而在它们之间诱导残余相干性。然而，在大拉比频率Ω的区域，能量间隔ΔE远大于衰变率Γ，这种相干性可以忽略不计。在这种情况下，探测场与原子系统在这些跃迁上的相互作用可以视为与两个独立的有效二能级系统的相互作用，产生AT双峰的两个分量[见图1(b)中此情况的激发方案]。

要表征每个分量的线型，需要知道有效探测场耦合Ωeff、有效失谐Δeff、dressed态布居数Neff以及态之间的相干性的弛豫率Γeff。所有这些都显式地依赖于原子速度v。为确定起见，我们考虑有效二能级跃迁|1??→|3?，并假设控制场共振，Δc = 0。相关参数形式为

(13)
(14)
(15)
(16)
(17)

对于参数如公式(13)–(17)所给的有效二能级系统，线性吸收系数表示为

(18)

该表达式与标准武伊特线型仅通过有效失谐的非寻常速度依赖性而不同。由有效失谐的定义(14)可知，对于反向传播的探测场和控制场、共振控制场Δc = 0，以及特定的波矢比值，探测场失谐取形式

(19)

因此，探测场失谐对原子速度的线性依赖性被抵消，而剩余的速度依赖性变为v的二次项。因此，在大控制场拉比频率的极限下Ω ? Γ，多普勒增宽完全可忽略不计。考虑到Ω很大时混合角趋近于π/2，发现每个双峰分量的线型为纯洛伦兹型，半高全宽(HWHM)为Γ，峰值吸收系数由公式(8)给出。

虽然在渐近区域（Ω ? Γ）的多普勒增宽抑制可以从dressed态共振条件直接得出，但在实验相关的中间区域（Ω ~ Γ）中窄共振的持续存在要明显不清楚得多。在此区域中，对共振有贡献的原子速度范围不由一维麦克斯韦-玻尔兹曼分布决定，而主要由dressed态与激发态耦合的速度依赖性决定，如公式(18)中的因子所描述，以及由布居数的速度依赖性决定。因此，观测到的线的主要贡献来自于速度满足特定条件的原子。此外，对于Δc = 0，速度为v的原子失谐量为

(20)

由麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布诱导的有效失谐分布因此高度不对称：对于负失谐Δeff < 0，概率密度恒为零；而对于Δeff > 0，它具有约ΓD/Ω的特征宽度。所得吸收谱形由宽度为Γ的窄洛伦兹线与宽而不对称的分布的卷积给出，因此它本身关于标称线中心也是不对称的。尽管与单个AT分量相关的分布具有约ΓD/Ω的宽度，该分量的HWHM远小于ΓD/Ω。这种减少源于的强烈不对称性，其中f(0)远大于其他值。结果是，如果我们考虑确定的、中心在Δp = 0的分量，其在Δp < 0一侧的翼对该方向的多普勒增宽不敏感：吸收谱形保持洛伦兹型，HWHM仅由弛豫率Γ决定。AT分量在Δp > 0一侧的翼表现出较大的HWHM；然而，它仍由Γ控制，因为零速度附近原子的贡献占主导。在AT图像中，纵向速度小的原子映射到接近AT共振的有效失谐Δeff ≈ 0，产生宽度约为Γ的窄贡献。此类原子的数目按比例缩放为

(21)

得出对AT分量中心吸收系数的贡献为

(22)

相比之下，AT分量中心附近的快原子贡献为

(23)

由于Ω ? Γ，这比Γ小得多。因此，从AT分量中心向两侧失谐增加时吸收的减小主要是由于慢原子贡献的减少。这解释了为什么多普勒增宽和功率增宽都不决定单个AT分量的全高宽。相反，宽度仍与Γ成正比，仅差一个数值因子。因此，在中间区域，单个AT分量内原子速度与有效失谐之间的不对称映射导致相对于最大值处的不对称共振谱形。然而，AT分量两侧的HWHM均受弛豫率Γ控制，而不是由Ω或多普勒宽度ΓD决定。

我们强调，在实验相关的中间区域，其中线宽主要由慢原子的贡献决定，亚多普勒线宽在比渐近区域（非常大的控制场拉比频率）大得多的波矢比值范围内持续存在。因此，在现实的操作条件下，所提出的方案不需要精确的波长匹配。

III. 实验装置

我们研究了两个激光场（控制场和探测场）与??Rb原子在梯级构型中的相互作用，涉及5S?/?→5P?/?→4F?/?的跃迁。相应的超精细能级方案如图6(a)所示。控制激光在780.2 nm波长下工作，驱动5S?/?→5P?/?跃迁，并通过单独的蒸汽池锁定到循环跃迁5S?/?(F=2)→5P?/?(F=3)的频率。探测激光在1529.4 nm波长下，扫描跨越5P?/?→4F?/?跃迁。对于此配置，波矢幅值之比接近多普勒抵消的最佳值kc/kp = λp/λc ≈ 2。

图6. (a)??Rb的超精细能级方案。5S?/?和5P?/?能级的超精细间隔（MHz）取自参考文献[28]，而4F?/?能级的间隔取自参考文献[29]。自发发射速率（MHz）取自参考文献[30]。驱动下跃迁的控制场锁定到5S?/?(F=2)→5P?/?(F=3)跃迁（室温下多普勒宽度ΓD ≈ 8 MHz），而探测场扫描跨越5P?/?→4F?/?共振（ΓD ≈ 0.4 MHz）。(b) 实验装置示意图。波长为1529.4 nm的探测光聚焦进入蒸汽池，透射信号由光电二极管(PD)检测。波长为780.2 nm的控制光可安排为与探测光束同向传播或反向传播。使用光束挡块在共传播和反传播控制-探测配置之间切换。LP: 长通滤波器；BP: 带通滤波器。

控制光束和探测光束在无缓冲气的无镀膜铷蒸汽池中空间重叠。实验中使用同位素富集的??Rb。除了减少来自??Rb的不需要的谱重叠外，使用同位素富集的??Rb池最大化了参与期望跃迁的原子比例。这增加了可达到的光学厚度，从而增强了给定蒸汽温度下观测到的信号。池的长度为75 mm，直径为19 mm，可进行温度控制。测量在室温（约300 K）和升高的温度（约350 K）下完成。控制场可从任一方向施加，相对于探测光束形成共传播或反传播几何构型[图6(b)]。使用光束挡块选择控制场的传播方向，使两种配置之间的直接比较成为可能。在我们的实验条件下，不需要磁屏蔽或剩余磁场的主动补偿，因为我们研究的兆赫兹级吸收特征仅受典型环境磁场的微弱影响。

在探测频率扫描期间，透射探测功率由可变增益放大光电二极管记录。实验光学厚度通过对存在控制场时的探测透射T(ω)与不存在控制场时记录的透射T?(ω)进行归一化获得，后者作为参考。从两个信号中减去光电二极管的暗电流。由于两个信号沿探测路径经历相同的光学损耗，这些损耗在归一化时相互抵消，确保提取的吸收仅反映原子系综的贡献。然后根据公式(24)将透射转换为OD：

(24)

反传播和共传播控制光束在池中心的束腰半径分别为wc ≈ 1.5 mm和wc ≈ 2.0 mm，而探测光束束腰半径为wp ≈ 0.3 mm。在探测光束和控制光束进入蒸汽池之前，均通过单模式光纤进行空间滤波，形成定义良好的高斯输入谱形。控制光束被特意选择为比探测光束宽得多，以确保与探测光束相互作用的原子在探测区域内经历近似均匀的控制场拉比频率。所有光场均为线性偏振，偏振轴相互平行。

IV. 数值模型

本工作中研究的??Rb中的实际梯级系统比第II节中分析的理想化三能级模型复杂得多，我们仅引入该模型以阐明梯级构型中多普勒抵消的基本机制。为了准确预测在电信号波长处产生的窄谱特征的性质，并实现与实验数据的定量比较，我们开发了全面的数值模型来计算在强控制场驱动和弱探测场探测下??Rb蒸汽的光学厚度。

该模型明确考虑了多普勒增宽、原子的多能级超精细结构、塞曼子能级、光泵浦效应，以及光场在传播过程中的空间演化。这种方法在微观原子响应和实验中测量的宏观吸收光谱之间建立了直接联系。

A. 光场的传播

蒸汽池入口处的探测场建模为高斯光束，其波前曲率选择为在没有控制场的情况下光束束腰位于池中心。其通过原子介质的传播通过数值求解近轴近似下的标量波动方程描述，介质具有空间非均匀的复吸收系数。假设探测场足够弱，以致可以忽略饱和效应。

控制场在同一理论框架内自洽处理。在池入口处，它建模为聚焦于池中心的高斯光束，其传播在近轴近似下计算，包括吸收和色散效应。由于原子介质在控制场波长处的大光学厚度，光束在通过蒸汽传播时经历显著的空间重塑。

特别是，该模型自然纳入了诸如由于吸收的径向非均匀饱和引起的非线性光阑效应等非线性的效应，以及由于空间变化的控制场强度引起的折射率径向变化导致的非线性聚焦和去聚焦。这些效应在确定控制场在蒸汽池内的空间结构中起着关键作用，从而决定相互作用区域中原子经历的有效拉比频率Ω(r)和探测场。

因此，理论模型并不假设池内固定高斯光束谱形：仅输入场取高斯型，而它们在空间非均匀原子介质中传播时的衍射和横向重塑是自洽计算的。

B. [原文在此处截断]

原子响应与吸收系数
探测场与控制场的局域吸收系数均通过对强控制场与弱探测场相互作用下的原子密度矩阵方程的稳态解计算得到。该计算完整考虑了 与 能级的超精细结构，包括所有磁子能级。光学场假设均为线偏振。
该模型的一个关键简化假设是外部磁场不存在。因此，具有不同磁量子数 的状态之间的相干性被忽略。尽管如此，由于光抽运作用，磁子能级之间的布居分布变得强烈非均匀。这一重分布通过引入由相应 Clebsch-Gordan 系数决定的磁子能级之间的自发衰变率而被显式地考虑在内。
基态 与 的 磁子能级的布居弛豫由一个与原子穿越激光束相关的单一速率 唯象地描述。密度矩阵元 的弛豫项写为
(25)
其中 ，而 为穿越高斯光束的平均渡越时间。由于基态超精细分裂远小于热能 ，平衡布居与 和 无关，从而给出 。然而，在存在强控制场时，必须修正 与 态布居相等的假设。控制场与 跃迁共振，从中发生自发衰变后原子唯一地回到 。但在足够高的控制场强度下， 能级的离谐激发变得显著，使衰变进入 基态能级组成为可能，从而导致介质被高效地光抽运。
在低密度、光程 较小的蒸气管中，原子在单次穿越过程中被光抽运后，通常会在壁碰撞之后弛豫回热平衡，然后再进入相互作用区域。相反地，在大 和高控制场功率下，原子在连续两次穿越之间可能并未完全弛豫。此外，相互作用区中的原子所散射的光子可被正在接近光束的原子重新吸收，从而使原子系综产生全局的光学取向，尽管直接的光-原子相互作用仅发生在空间上有限的区域内。为考虑这一效应，我们引入光抽运的唯象描述，即令 态磁子能级的平衡布居 依赖于控制场功率
(26)
其中 为控制场功率， 为唯象参数。其数值通过对齐高控制功率下的数值结果与实验数据来确定，得到 。该唯象描述捕捉了在大光程和强控制场下实验中观察到的基态超精细能级布居再分布的关键特征。
C. 多普勒平均与数值实现
另一个重要的简化假设是忽略光场动量转移对原子速度分布的修正。这之所以合理，是因为相关过程发生在非常不同的时间尺度上。光抽运可产生长寿命的非平衡自旋布居，但原子速度上的任何扰动则弛豫得要快得多，通常发生在原子连续两次穿越相互作用区域之间。因此，当原子返回相互作用区域时，其速度仍可良好地由标准麦克斯韦分布描述。在上述假设下，我们对给定纵向速度 的原子数值求解密度矩阵方程的稳态代数方程组。利用所得的光学相干，计算对应多普勒频移失谐下的吸收系数。总吸收系数通过对热速度分布取平均得到。由于光学场在传播过程中会演化，吸收系数必须在每个传播步重新计算。为显著加速计算，我们使用预计算的吸收系数查找表进行插值，该表针对一组离散的拉比频率计算得到。对控制场和探测场均采用相同的处理方法。在这一框架下，多普勒展宽的抑制自然地由强控制场下速度依赖的原子响应产生。数值模型因此能够识别导致所观测到的次多普勒和无多普勒特征的原子速度类，并在微观密度矩阵动力学与宏观吸收光谱之间建立起定量联系。本工作中数值模型的进一步细节以及所使用的仿真代码可在公开访问的仓库[31]中获得。
V. 实验结果与理论比较
本节给出共传播与反传播两种构型下实验透射光谱与数值模拟之间的定量比较。图 7 给出了探测场 随其与 跃迁失谐变化的共传播和反传播束构型测量结果，测得于四个控制场功率下。
图 7. 蒸气管中探测场（波长 1529.4 nm）的光程 随其与 跃迁失谐的变化。左（右）面板对应反传播（共传播）构型。给出四个控制场功率 ，1、10 和 50 mW 的数据(a)–(d)。实验数据以圆点表示（蓝色：室温， ；红色：加热管， ），相应颜色的实线代表数值模拟结果。
在低控制功率（ ）下，两种构型的吸收轮廓非常相似。主要差别是反传播构型中的共振线宽约为共传播情形的 1.5 倍窄。值得注意的是，在控制功率极低的极限下，简单的三能级模型预言共传播与反传播几何构型之间的线宽比为 [见式(2)]。然而，在 的控制激光功率下，Autler-Townes 劈裂与共振线宽相当，因而仍不足以完全分辨出两个分量。这一效应与渡越时间展宽相结合，使实验中观测到的线宽比降低至约 1.5。
随控制功率增大，反传播构型从 mW 开始呈现出可分辨的 AT 双线结构。分辨良好的双线各分量（对于 mW）呈现不对称性，这与简化的三能级模型预言一致。最大测得光程 ， 在 mW 时达到。在此区间，可观察到光程随管温升高而显著增强的现象。相反地，对于共传播构型，随着控制功率增加，吸收轮廓显著展宽，而峰值 保持较小，在 mW 时仅达到 。
理论预测的 使用前文所述模型计算得到，唯象光抽运参数取 mW。在此选择下，光抽运仅对最高控制功率 mW 的计算谱产生显著影响，如图 7 所示。总体而言，数值模拟再现了所考虑各构型的主要实验趋势。
图 8 给出了室温以及中等加热管条件下，反传播控制-探测构型中峰值 随控制激光功率的变化。实验中峰值 以及 AT 分量的半高全宽 通过对测得的 随探测失谐 的光谱进行高阶多项式拟合得到。该程序给出 对失谐的平滑依赖关系，据此可数值地确定最大位置、峰值 与 。尽管各个 AT 分量通常是不对称的，我们仍用相应的半高半宽（或 ）值来表征其宽度，作为谱线宽度的统一度量；这些共振相对于多普勒展宽谱线仍明显更窄这一结论与所采用的线宽约定无关。图 8 和图 9 中代表实验数据所用符号的大小大于 与 的统计不确定度。
与简化的三能级模型的预言（见 fig 5）不同，峰值 在约 10 mW 的控制功率处出现显著极大值。该功率对应约 60 MHz 的 AT 劈裂，远小于多普勒宽度 。进一步增加控制功率时，峰值 下降，而非像简化模型所预言的那样饱和于某一恒定水平。此行为主要可归因于原子被光抽运进入未耦合的基态 [另见式(26)]。
图 8. 反传播控制-探测构型中峰值 随控制激光功率的变化，测得于两种不同管温（蓝色：室温， ；红色：加热管， ）。实线（虚线）表示数值模拟，方块（圆点）代表 AT 双线右（左）分量的实验数据。
图 9. 反传播控制-探测构型中 AT 双线分量的 随控制激光功率的变化。图例同图 8。
图 7 与图 8 所示实验数据与数值计算结果的比较总体上吻合良好。主要在大光程处观察到的偏差，很可能至少部分归因于实验中所用的探测场相对较强，而模型假设探测束的饱和参数为零。室温数据采用探测功率 。相比之下，为在大光程（ ）下保持可接受的信噪比，加热管实验中的探测功率取为 ，这与饱和功率 相当。后者利用关系
(27)
实验确定，其中 表示 AT 双线单个分量的峰值光程，适用于 。对于实际的 值，因此预期测量到的峰值 相比理想弱、非饱和探测的情形会降低百分之几十。残余偏差还可能源自若干因素的叠加，包括未补偿的残余磁场、模型中对基态布居弛豫的简化处理，以及激光束在管壁窗口上的非受控反射，此外还有探测束在光学元件上的散射，它们可导致小部分探测光未经与蒸气相互作用便到达光电探测器。
吸收特征的 作为控制功率的函数绘于图 9 中。计算值与实验 值均随控制功率增加而增大，但观测到的展宽仍远低于多普勒宽度。该增加的主要贡献来自控制场在管内的轴向强度分布不均匀，原因为其被吸收。这种空间变化导致谱分量的非均匀展宽，因为每个分量的峰值频率位置由控制场的局域拉比频率决定。实验与计算 值之间的剩余偏差最可能与相对较高的探测功率 引起的额外功率展宽有关，该效应在数值模型中并未包含。
VI. 讨论与结论
从利用铷蒸气在电信 C 波段范围内产生窄而强吸收谱特征的角度看，本工作表明在反传播构型中，控制激光功率约 10 mW 时性能极具前景。在此条件下，室温下峰值 略高于 1，半高全宽约 11 MHz。对于 的中等加热管，峰值 升至约 4，而 仍相对较小，约 17 MHz。在相同控制功率下，共传播构型的吸收特征展宽强烈，接近多普勒宽度。在这种情况下，最大 保持较低，室温下仅约 0.3，加热管下约 1。这些观测结果清楚地表明了反传播几何构型在实现窄而强吸收特征方面的优势。
对于许多基于热原子蒸气的潜在量子应用，所需的 远大于此处所演示的数值。由于所开发的数值模型能够定量描述实验观测结果，因此可用于预测在更高管温区间可达到的 ，其预期将超过当前实验装置可达的极限。

图10(a)展示了不同控制激光功率下，AT双峰右分量的峰值光学深度（OD）随温度变化的计算结果。图10(b)给出了在AT双峰良好分辨的情况下，FWHM随温度的变化关系。仿真使用了实验中蒸气池和激光束的几何参数。原则上，通过增加相互作用长度（例如使用更长的蒸气池或串联池）也可以提高光学深度。然而，在存在强传播效应和径向非均匀饱和的情况下，改变池长通常并不等价于在恒定相互作用长度下改变原子密度。在本实验中，改变蒸气温度因此提供了一种更简单且更实用的控制参数。对于给定的控制激光功率，升温初始阶段会导致OD增加，这与饱和铷蒸气压的增长一致。然而，超过某一温度后，控制场的吸收增强使其在池内传播过程中强度衰减至接近饱和功率，在到达池末端之前即已如此。在此之后，控制场呈现指数衰减。结果是控制场在池内几乎被完全吸收，进一步升温不再导致探测场OD的增加。因此，AT分裂沿传播方向的位置依赖性逐渐增强。这种空间非均匀性导致观测到的探测共振有效展宽，即便光学深度仍在增加。由此产生的中间传播区域因此代表了最大化光学深度与保持最小线宽之间的折中。重要的是，如图10(a)所示，当控制激光功率在10–25 mW范围内时，这一效应并不从根本上限制可达到的OD。在此范围内，模型预测OD值可超过10并接近15。OD从10增加到15伴随着FWHM从约20 MHz增加到30–35 MHz，具体取决于控制激光功率。这些估算表明，所提出的生成高吸收和窄谱特征的方法可以远超此处实验可实现的OD范围。这类窄的高OD吸收线有望用于实现基于反聚束效应的量子光源，该效应在冷原子系统中已有预测和演示[32,33]。

图10. 不同控制激光功率下，AT双峰右分量(a)峰值OD和(b)FWHM的计算温度依赖关系。FWHM仅对AT双峰良好分辨的控制功率予以展示。

总之，我们展示了一种在梯形型激发方案中对强非简并波长实现多普勒抵消的方法。在此方法中，强控制场对下跃迁进行缀饰，当波长比满足特定条件时可产生最优的窄吸收特征。从理想化的三能级模型出发，我们确定了三种对应于强、中间和弱控制场的不同工作区域。我们在??Rb中原型实现了该方案，其中上跃迁位于1529 nm，属于通信波段，因此对通信应用具有直接意义。由于真实原子系统的超精细结构，最佳性能在中间控制场区域实现，允许使用适中的激光功率工作。在此条件下，我们观测到峰值OD值超过4，线宽仅为自然线宽的五倍左右，与多普勒非均匀展宽谱线相比，线宽缩减约十倍。至关重要的是，如此大的OD值无法仅通过加热蒸气池获得，而是本文所述多普勒抵消机制的直接体现。在此区域，广泛的原子速度类别在几乎相同的共振条件下对吸收有贡献。结果是，梯形系统的上跃迁吸收既显著窄于多普勒宽度，又强于多普勒展宽的下跃迁吸收。

最后，我们开发了一个专用数值模型，纳入了偏离理想三能级系统所带来的主要展宽机制。实验观测与模型预测吻合良好。对池体加热时，预期OD可进一步增加而不会引起显著的额外展宽。

所提出的方法在保留室温原子蒸气简单性和实用性的同时，实现了窄的原子吸收特征。我们强调，所提方案并非旨在实现传统频率参考。相反，其关键优势在于在原子梯形方案中同时实现上跃迁的窄谱特征和大的光学深度。我们表明，这一组合可以在热原子蒸气中以通信波段波长实现，从而在技术上重要的光谱区域开辟了相干和非线性光-物质相互作用的新机遇。