无源量子互连：基于腔辅助光子散射的多路复用远程纠缠产生

《Physical Review Applied》：Passive quantum interconnects: Multiplexed remote entanglement generation with cavity-assisted photon scattering

　　

我们提出了一种基于腔辅助光子散射（CAPS）的时间-波长复用远程原子-原子纠缠生成协议。该协议旨在实现高速率和保真度，同时对各种操作缺陷具有鲁棒性，包括百分比级别的光子杂质、时序和腔参数抖动以及原子穿梭时间等辅助时间开销。我们通过对原子-腔动力学的综合解析和数值建模来评估该协议，其中包括状态相关的脉冲延迟效应、光子时间杂质、原子-腔系统参数波动以及通过共享腔模式产生的原子间串扰。基于实际的原子-腔系统性能，我们预测即使在不需要腔内量子比特复位的情况下，也能实现2×10? s?1的成功原子-原子贝尔对生成率，相对于基于双光子干涉的协议有了显著提升，预测 heralded 保真度为0.999。我们进一步表明，通过采用波长复用，可以进一步提高预测速率，同时保持保真度。

一、引言

构建大规模容错量子计算机是量子技术的核心目标之一。由于量子纠错带来的开销[1,2]，解决各类经典不可计算问题所需的物理量子比特数量估计超过百万。在单个单体设备中构建这样的系统面临着巨大的技术和架构挑战。通过光链路互连较小量子处理器的模块化架构提供了一种有前景且实用的解决方案[3–5]。除了可扩展性之外，高性能光互连还启用了广泛的应用，如盲量子计算[6]、长基线量子传感[7,8]和长距离量子通信[9]。此类互连的关键性能指标是远程纠缠量子比特对的生成保真度和速率。高保真度可以减少容错运行所需的纠缠纯化大开销[10]，而高速率则确保模块间门执行的充分带宽[5]。

对于原子量子比特平台，如中性原子和囚禁离子，传统的光子发射协议通过原子状态相关的单光子发射进入不同模式（如偏振、时间二进和频率模式）来进行，经过分束器上的双光子干涉后被检测，以 heralded 方式生成原子量子比特的最大纠缠态，成功概率的实际上限为50%[11,12]。借助光学腔，预计可以实现高保真度和高速率[5,13,14]；然而，这需要对两方的原子-光子耦合强度进行精细调节[13,15]，小心管理发射诱导的反冲效应[15]，需要具有严格模块间同步要求的快速、高功率激发激光脉冲[13,15]，以及多轮纠缠试验[5,13,16]。

为解决这些挑战，一种有吸引力的远程纠缠生成替代方案基于单侧腔的反射光脉冲，用于实现原子和光量子比特之间的受控相位翻转门[17–20]，我们称之为腔辅助光子散射（CAPS）协议。该协议具有若干关键优势，包括对各种缺陷的鲁棒性，包括网络中原子-腔参数的不匹配和波动、无需快速原子激发脉冲即可操作、更高的成功概率，以及无需模块间同步[21,22]。CAPS门的灵活性还允许更广泛的应用，包括 heralded 存储器加载、光子-光子门、非破坏性光子检测和远程原子-原子门[23–28]。

尽管具有这些优势，基于CAPS的远程纠缠生成协议在传统框架内被认为需要极高品质的光学腔才能实现高保真度操作[29–31]。此外，介导纠缠的单光子不完美性（在实际实现中固有的）尚未得到充分研究，使得在实用条件下的评估仍未明确。CAPS基组网络操作的保真度目前已知会随较短的光脉冲迅速降低，导致保真度-速率权衡具有不利的标度特性[17,32]。时间复用操作在多原子系统中已知可将纠缠生成速率提高几个数量级，与单原子网络节点相比[5,13,16]，但对基于CAPS的方法是否实际可行尚不清楚。

为解决这些问题，我们开发了一个全面的理论框架来设计和评估高速率、高保真度的基于CAPS的原子-光子相互作用。该框架纳入了各种缺陷，如光子波包从腔反射时的损耗和群延迟、光子混合时间模式的影响（光子杂质）、腔和光子光谱偏移、输入光子的有限光谱宽度，以及时间复用操作中多个原子耦合到腔时腔模式诱导的串扰；迄今为止尚无此类理论框架可用，我们进一步通过开发基于CAPS的多节点网络综合评估流程，纳入了此前被忽视的几个关键挑战。这使我们能够提出具体的协议来缓解这些误差源，此外还能识别出克服实际实现限制并减少所需硬件的新的基于CAPS的协议（例如，通过消除对独立光子源的需求），并在实际条件下展示其性能。

因此，我们的工作同时提升了基于腔的量子互连性能，并减少了与常用的双光子干涉协议相比所需的硬件性能。通过建立容忍不同设备参数和广泛缺陷的异步"被动"量子互连，我们提出的协议使得大规模量子网络的可扩展实现成为可能。

二、高保真度腔辅助光子散射

在本节中，我们首先回顾传统CAPS协议，并将若干最近的进展整合到一个共同框架中，以改善CAPS操作的保真度，同时给出一个可实验实现的用于误差缓解技术的光学布局。图1(a)展示了传统设置下的CAPS协议。一个入射的偏振编码光量子比特被送到偏振分束器（PBS），PBS首先将两个偏振分量分开：垂直偏振分量被PBS反射并路由到腔镜（虚线箭头）。从腔反射后再次通过PBS，垂直偏振分量与经标准反射镜（虚线箭头）路由回来的平行偏振分量重新组合。在单侧腔内，一个具有内部态的三能级原子通过与腔模式共振的跃迁耦合到腔模式。当腔、光子和原子跃迁都共振时，如果原子处于基态，从腔镜反射的光子将获得π相位偏移。结合图1(a)中展示的光学布局，可以在无需同步的被动方式下实现原子和光量子比特之间的受控相位（cz）门，我们称之为CAPS门[17]。此后，除非另有说明，我们可以将光子基态重新标记。

图1. 高保真度CAPS门。(a) CAPS协议。一个三能级原子的跃迁与单侧光学腔共振耦合，耦合速率为g。腔以速率与传播模式接口，内部损耗速率为κ?，原子激发态的衰减速率为γ。入射的偏振编码光量子比特（上方）在第一个偏振分束器（PBS）处被分开：初始的垂直偏振分量通过四分之一波片（QWP）路由到单侧腔，从腔反射并返回器件朝向输出端口（虚线箭头），而平行偏振分量首先透射通过PBS、QWP和反射镜，然后从PBS反射以与另一个偏振模式重新组合（虚线箭头）。总体而言，该协议在原子量子比特（编码在基态）和光量子比特之间实现了cz门[17,33]。(b) 使用修改后的光学布局（绿色矩形）实现的高保真度CAPS门。通过半波片（HWP）对初始垂直偏振模式引入可控的光子损耗；单光子探测器（SPD）在扰原子量子比特的情况下heralded门失败（见正文）。引入校准的路径延迟以抵消腔色散引起的脉冲延迟效应。(c) 原子态的腔反射率作为失谐的函数（蓝色）和态（绿色），满足等式(2)和(6)且κ?优化的腔-电动力学系统。两者在κ处匹配（虚线）。(d) 腔反射时的相位偏移。在Δ=0处，相位差恰好为π，且两条斜率匹配（虚线）。

下面，我们通过识别并消除几个主导误差源，提出一种高保真度CAPS协议，使用修改后的布局[图1(b)]。共振耦合原子-腔系统的原子状态相关反射函数由下式给出[32,34,35]：

(1)

其中是入射光子频率相对于原子跃迁的失谐。其他参数的定义见图1。在此，我们解析研究了g的零阶和一阶误差，它们构成CAPS门中的主导噪声源，以及通过调节系统参数对其的缓解。高阶效应由后续数值模拟评估。

与光子时间包络无关的零阶误差代表总光子损耗和不平衡的原子状态相关损耗，即和。为消除该误差，可以调节输出耦合强度，这可以通过调节（有效）腔镜透射率来实现，调整为[29]：

(2)

这使得损耗平衡，如图1(c)所示。特别地，在共振处：

(3)

这里，C是内部合作性，量化了原子-腔系统的内部损耗受限品质[36]。通过调节态的反射振幅（必要时），可以消除零阶误差。

一阶误差源于原子量子比特相关的脉冲延迟，导致反射光子不完全重叠，从而在具有实际有限持续时间的脉冲下的CAPS操作中引发显著误差[32]（见附录A和图7）。该误差也可以通过调节耦合速率来消除[32,37]：

(4)

从而产生原子状态无关的脉冲延迟[见图1(d)]：

(5)

为确保垂直和平行偏振光子也重叠，我们进一步引入平行偏振光子的校准延迟，使用如图1(b)所示的光学布局。

通过调节原子衰减和腔内部损耗速率之间的比值，可以满足等式(2)和(4)中g的两个独立要求：

(6)

这可以通过适当设计谐振腔长度实现[32]；这是因为g强烈依赖于长度（g∝√L），而κ?对于不同腔长度保持恒定，且对于传播损耗可忽略的光学腔设计也是如此[5,38–40]。最优腔长度由下式给出（见附录A以及参考文献[32]）：

(7)

其中σ?是共振吸收截面，A_eff是有效模式面积，c是光速。所得最优值通常在厘米到几十厘米的范围内，代表了多种腔实现（如角腔[41,42]、法布里-珀罗腔[38,43]和纳米光纤腔[39,44]）的典型工作范围，其中许多具有后制造长度调节能力。这使得CAPS门中的若干主导误差可以被消除，即使在真实腔品质及脉冲持续时间下也能实现显著的门保真度提升（详见附录A的性能分析）。为了在更相关的设置中展示这一点，我们在以下各节中呈现远程原子-原子纠缠生成的性能分析；我们讨论和开发的协议总结于表I中，以供参考。

表I. 通过光子在两个量子比特上生成远程纠缠的协议总结。符号η_ph和η_at分别表示单试中光子源的发射概率和原子-光子纠缠源的发射概率。

| 协议 | 成功概率 | heralded保真度 | 硬件要求 |
|------|----------|----------------|----------|
| 远程cz门 | [式(8)] | 见参考文献[29,30] | 光子源，两个原子-腔系统 |
| 顺序CAPS[图2] | [式(12)] | [式(13)] | 光子源，两个原子-腔系统 |
| 发射-CAPS[图3] | [式(21)] | [式(23)] | 两个原子-腔系统 |
| 双光子干涉[图3] | [式(24)] | [式(19)] | 两个原子-腔系统 |

图2. 使用CAPS门的远程纠缠生成。(a) 基于腔-电动力学光子源的基于CAPS的远程纠缠生成示意图。原子-腔系统提供一个单光子，被路由到其他腔以介导原子-原子纠缠。耦合到源腔的原子具有三个能级，其中激发激光用于从基态激发到激发态，原子从该态衰减到基态，或衰减到其他态，分支比为β，其中非期望的衰减导致光子再激发诱导的杂质。(b) 发射光子的自相关函数，源系统参数为κ=和κ?=，拉比频率被设定以产生具有τ的的高斯波包光子。

虚线作为视觉辅助，用以突出右上区域的小尾巴。(c) 两个主要本征模式和本征值分别为. 第一模式与期望的高斯函数（虚线）高度吻合，而第二模式则表现出显著偏差。(d) 基于序贯CAPS门、纳入光源不完美性后的远程纠缠生成成功概率，其中表征了三个腔量子电动力学系统，且。点线表示解析上界。(e) 所生成贝尔对的失真度。由表征的更大光源不完美性会恶化所生成的贝尔态；增大可将失真度压制到以下，即使对于较高的也是如此，从而在保真度与成功率之间形成权衡。III. 通过序贯CAPS门实现远程原子-原子纠缠生成在建立了现实不完美条件下的优化CAPS门基本单元之后，我们接下来通过分析序贯CAPS门实现远程纠缠生成[21]（见图2(a)）来考察这些误差在协议层面的影响。我们首先假设可以获取理想的单光子源，并利用其在两个腔量子电动力学系统（Alice和Bob）中对原子量子比特进行远程纠缠生成。随后我们将分析推广到不完美光子源（如原子-腔系统）这一更现实的假设，如图示。传统上，通过CAPS实现的远程原子-原子操作被设计为条件性远程cz门：这通过一个辅助光子依次从两个腔系统反射实现，中间放置一个半波片（HWP）用于实现Hadamard门；光子探测 heralds 远程原子-原子cz门的成功执行[21,29,30]。若双方拥有相同内部协同因子c的原子-腔系统，则在长脉冲极限下（即光子谱宽趋于无穷小的极限），最大成功概率为(8)。相比之下，在大多数分布式操作中，对最大纠缠量子比特对的简化heralded生成通常已足够作为资源态来执行远程操作，如可传态的远程cnot门[5,45,46]。为此，两个腔之间的半波片可配置为角度，即我们用比特翻转门替换光子Hadamard门，通过抵消中额外的损耗因子来提高成功概率，下文将作说明。此处Alice（A）和Bob（B）各自将原子量子比特制备为，光子处于。对于足够长的脉冲，使得反射函数可近似为其共振振幅，整个系统演化如下：(9)其中和代表贝尔态。在此过程中，当光子被路由至两个腔系统时，光子的每个偏振分量仅与腔反射一次。在基上对光子进行测量，将以的概率将远程双量子比特态投影到贝尔态上(10)，相比式(8)中含的传统方案有所改进。A. 辅助光子的有限谱宽超越理想化的长脉冲极限，我们通过考虑具有频率谱的单光子纯态，引入光子有限谱宽效应，由此得到的光子发射概率为。经过两个腔的连续反射后，对于光子态的探测器点击 heralds 原子-原子纠缠态的成功生成：(11)探测概率为(12)其中为在频率条件下（未归一化的）双量子比特态（显式形式见附录D 1）。因此，总成功概率为，条件平均保真度为(13)B. 对非同一系统的鲁棒性在实际情况下，Alice和Bob可能拥有性能不同的原子-腔系统，这由反射函数和表征。即便如此，只要Alice和Bob独立地校准其本地延迟线，使其与式(5)中腔引起的脉冲延迟相同，并通过调节半波片角度进一步调整镜路振幅（见图1(b)），我们的协议可在的领头阶重现理想的贝尔态投影；投影后的原子态为(14)这表明，通过调节镜路振幅以满足，可以在成功概率为的条件下恢复理想贝尔态。C. 纯度不完美光子在现实单光子源中，如量子点、原子发射器和带光子探测的自发参量下转换[47]，所发射光子更好地由混合量子态描述。对给定的传播模式，一个至多包含一个光子的量子态可由时间自相关函数表征[48]（更多细节见附录C）：(15)其中为传播模式的瞬时湮灭算符，满足。本征模分解(16)提供了光子布居如何在模式基中分布的信息；光子态是一种经典混合，其中模式被占据的概率为。因此，总保真度和成功概率可通过将替换为来计算，其中为的傅里叶变换。最后，利用任意函数的如下关系(17)我们可以直接从自相关函数计算序贯CAPS协议的保真度和成功概率，而无须进行本征模分解。D. 实用光子源：光学腔中的单原子作为示例性光子源，我们考虑基于腔量子电动力学的源。如图2(a)所示，一个简单的三能级型原子处于光学腔中，经典激光场以时变拉比频率驱动跃迁，用以控制激发振幅。同时，跃迁以耦合强度与腔模耦合，使光子发射进腔场并以速率从腔泄漏出来。激光与腔耦合的这种相干组合，能够以高概率生成具有明确时间轮廓（如高斯形状）的单光子[49,50]。在这种情况下，所生成光子主要的不完美来源是再激发：激发态原子自发辐射回到，随后被再次激发以发射具有与期望不同的时间轮廓的光子。这导致混合时间模式、纯度降低[51–53]。为定量分析再激发效应，我们数值模拟源原子-腔系统所遵循的主方程，直接获得的值（计算方法细节见附录C）。我们在图2(b)和2(c)中展示了示例结果，以清晰说明再激发过程的影响。此处，时变拉比频率遵循文献[50]中的解析表达式，可生成具有高斯波包的光子。在无再激发（分支比）情况下，自相关函数应呈现二元高斯函数。然而，有限的导致由于再激发效应而在右上出现一个小尾巴，即被扰乱的时间模式延迟了光子激发。式(16)中对的本征模分解进一步揭示了不同时间模式的分数占据情况，如图2(c)所示。光子源信息通过关系(17)输入整体性能评估，如图2(d)和2(e)所示。此处，控制脉冲再次整形为生成具有高斯时间包络的光子，对时间模式失配有鲁棒性[54]，宽度为。对于成功概率，图2(d)展示了通过在著名的远程双量子比特门设置中用门替换光子Hadamard门来生成贝尔态所带来的增强。这也表明总成功概率饱和于到，其中(18)对于更大的分支比，光子生成概率增加[36,55]，但光子纯度降低导致失真度增加（见图2(e)）。即使在较高的情况下，显然更长的光子脉冲可使失真度低于；我们强调这是在具有单光子迹纯度为（在=30和）的现实光子源下评估的——展示了基于CAPS的协议对不完美光子源的内在鲁棒性。这与双光子干涉方案形成鲜明对比，后者需要接近 unity 的单光子纯度，因为保真度由下式确定（推导见附录D，以及文献[58,59]）(19)相比之下，CAPS框架即便存在现实的、非理想光子源，仍能保持高保真度，从而实现失真度跨数量级的改进，例如双光子干涉低于0.99，而CAPS协议可达水平（对上文情况）。IV. 硬件高效的混合发射-CAPS协议图3. 混合发射-CAPS组网的性能。(a) 由原子-光子纠缠生成和存储加载构成的配置示意图。(b)、(c) 纳入初始原子-光子纠缠生成过程不完美性后的混合组网成功概率与失真度。系统参数与图2(d)和2(e)相同，由此得到的原子-光子纠缠生成概率上界通过对将分别替换为而由(18)得到。虚线显示光子干涉组网的性能以供参考，使用相同的原子-腔系统生成原子-光子纠缠。在图(b)中，点线显示成功概率上界。根据上一节的结果，我们提出一种硬件更高效的原子-原子纠缠生成协议，其灵感来自CAPS对有限光子杂质的内在鲁棒性。在该协议中，第一个腔用于生成原子-光子纠缠，第二个腔作为存储加载接口，与第一个原子纠缠的光子在此加载，从而heralded生成远程原子-原子纠缠。这消除了上一节协议所需的独立光子源，同时完成生成远程纠缠原子对的任务。所提出的混合组网如图3(a)所示。对于第一个腔中的原子，我们考虑一个简单的四能级系统[60]。对腔耦合原子施加时变激发激光以生成原子-光子纠缠，得到。光子被发送至Bob的腔，随后使用CAPS门执行量子比特传态，即Bob侧的CAPS门后接光子的基测量[35]以及对Bob量子比特施加Hadamard门，从而根据探测结果得到原子-原子贝尔态之一（存储加载细节见附录B）。更具体地说，对于具有频率轮廓的光子，对于光子态的探测器点击将两个原子投影到(20)探测概率为(21)其中，。这里，代表由反射函数(1)的频率依赖性引起、作用于Bob量子比特的误差算符，其显式形式为（细节见附录D）(22)使得通过校准镜反射率为，可完全消除对保真度的一阶效应。与上一节类似，该协议也表现出对光子杂质的鲁棒性。为说明这一点，我们使用自相关函数(15)表征所发射光子，进行端到端性能评估（细节见附录C）。在图3(b)和3(c)中，我们展示了包含光源不完美性效应的端到端成功概率和平均保真度，(23)以及对应的基于双光子干涉的协议性能[12]，其中两个腔配置为通过光子发射创建原子-光子纠缠，随后在中间用分束器和光子探测器在贝尔基上测量光子对（细节见附录D）。混合组网的成功概率远高于基于光子干涉的组网，主要原因在于它避免了基于双光子干涉的贝尔测量50%上界[61]；对于原子-光子纠缠生成概率，双光子干涉协议的成功概率为(24)而混合协议的成功概率约为。此外，图3(c)显示混合组网对光子杂质高度鲁棒——这是序贯CAPS组网也具备的特性——因为这两种协议都不依赖双光子干涉。（一个时长远短于激发态寿命、且较大的激发脉冲可实现高保真度的基于光子干涉的组网，尽管光子发射概率大幅降低[13]。）V. 时间与波长复用CAPS组网图4. 复用CAPS操作。(a) 时间复用操作的示意图。

为了高效利用信道，大量原子（原子数 $N$）被并行搬运到腔体中，随后对所有除一个原子外的原子施加隐藏光束，该原子与一个时域宽度为 $\tau$ 的入射光子执行CAPS门操作。在首个光子到达的时间窗口 $T$ 之后，切换隐藏光束模式，使另一个原子可以与下一个入射光子相互作用。当所有原子与各自的光子相互作用完毕后，原子阵列被搬出腔体，同时新阵列被引入腔体模式以进行下一批操作。对于较大的 $N$，这种操作具有极高的效率，而当 $N$ 较大时网络速率趋于饱和[见图(c)]。(b) CAPS门中串扰引起的保真度损失，使用公式(E4)评估（实线），与公式(26)给出的近似表达式（虚线）吻合良好。对于高内部协作性 $C_{\text{int}}$，选择 $\Delta$ 可以将串扰误差控制在 $\eta_{\text{xt}}$ 以下。(c) 远程纠缠生成速率(27)，采用时间复用混合发射-CAPS联网（图3），在不同 $N$ 值下的变化。这里我们使用表II中总结的现实参数，该参数受 $N$ 个原子耦合到低损耗纳米光子腔的启发。虚线表示本征速率 $R_0$。

尽管上述CAPS方案表现出高性能和对错误的鲁棒性，但量子网络的现实实现面临额外的时间和操作约束，显著限制了整体网络性能。例如，对于中性原子[62]和囚禁离子[63]等囚禁原子平台，需要将初始化后的量子比特搬运到腔体中，这会产生高达数百微秒的搬运时间延迟 $\tau_{\text{sh}}$，并将纠缠生成速率限制在 $R_0 / \tau_{\text{sh}}$ 的范围内，比由成功概率和光子脉冲持续时间给出的上界慢几个数量级[5,13,16]。一种实用的解决方案是利用承载大量可独立寻址原子的腔体进行时间复用操作[62]，近期已提出可操作超过200个原子的近中期设计方案[5,13]。高保真度时间复用操作的关键要求是仔细管理串扰效应，可以通过对旁观者量子比特施加可调谐激光束引起的交流斯塔克位移来实现[13,64]。在本节中，我们首先分析了在大量失谐于腔体共振的旁观者原子存在下CAPS门的串扰误差，得到了时间复用CAPS操作所需失谐量的简单解析表达式。然后我们将分析扩展到波长复用的情况，利用自然可用的多个共振频率，这些频率由自由光谱范围分隔。这些模式被良好地隔离，但仍可通过大的交流斯塔克位移来访问，从而允许基于CAPS的联网以低串扰方式在单个光学腔中进行并行操作。

表II 时间复用CAPS联网参数总结。

参数 | 符号 | 数值

单原子操作参数：本征精细度 $\mathcal{F}$ = 2000；自由光谱范围 $\delta\nu$ = 0.97 GHz；内部协作性 $C_{\text{int}}$ = 89；腔体长度 $L$ = 11 cm [由公式(7)]；原子衰减速率 $\gamma$ = 0.24 MHz；内部腔体损耗速率 $\kappa_i$ = 0.24 MHz [由公式(6)]；外部耦合速率 $\kappa_e$ = 3.2 MHz [由公式(2)]；原子-光子耦合速率 $g$ = 3.2 MHz；光子脉冲宽度 $\tau$ = 310 ns；分支比 $\beta$ = 0.35；杂质误差 $\epsilon_{\text{imp}} = 10^{-4}$；成功概率 $P = 0.67$；本征速率 $R_0$ = 430 kHz。

时间复用操作：搬运时间 $\tau_{\text{sh}} = 4$ μs；原子数 $N = 56$；光移 $\Delta = 3.9$ GHz；串扰误差 $\eta_{\text{xt}} = 10^{-3}$ [由公式(26)]；总速率 $R = 200$ kHz [图4(c)]。

A. 时间复用

在时间复用操作中，我们在腔中准备 $N$ 个原子，仅对其中一个执行CAPS门操作，我们将其标记为目标原子索引 $n$，而其余 $N-1$ 个原子被移离共振，偏移量为 $\Delta$，如图4(a)所示。此操作对每个目标原子 $n$ 重复，$n$ 从1到 $N$，允许每个原子尝试一次CAPS门操作。在这种情况下，当 $n \neq j$ 时的反射系数为

$$r_n(\omega) = r_c(\omega) + \sum_{j=1}^{N} \frac{i g^2}{\omega - \omega_a - \Delta_j} + \frac{i g^2 N}{\omega - \omega_a + i\kappa/2 + iN g^2 / \kappa} \tag{25}$$

其中 $n$ 计数处于状态 $|1\rangle$ 的旁观者原子数量，最后一项 $r_{\text{xt}}$ 代表由于旁观者原子与腔体模式之间残余耦合而产生的串扰效应。

为量化串扰引起的保真度损失，我们将CAPS门建模为作用在光子量子比特和 $N$ 个原子寄存器上的量子信道（正式定义见附录E）。这里我们考虑足够长的脉冲，使得无串扰时信道保真度为 $\mathcal{F}_0$，其中反射振幅校准为 $r_c$；串扰引起的误差因此由存在串扰效应时的保真度损失来量化，$\mathcal{F}_{\text{xt}}$。对于 $\Delta \gg \kappa$，所得保真度损失近似为（推导见附录E）

$$\mathcal{F}_{\text{xt}} \approx \frac{N-1}{4} \left(\frac{\kappa}{\Delta}\right)^2 \tag{26}$$

这与适用于有限失谐的精确结果非常吻合，如图4(b)所示。由于公式(26)描述了作用在 $N$ 个原子和一个光子上的操作保真度，因此对于参与单次CAPS门的单个原子，相关的平均保真度度量约为 $\mathcal{F}_0 \cdot \mathcal{F}_{\text{xt}}^{1/(N-1)}$。

在时间复用操作中，$N$ 个量子比特先通过量子比特搬运等方式在腔中准备，然后依次对每个原子应用CAPS门，同时将可调寻址隐藏激光束切换到其余 $N-1$ 个原子上，之后再将其移出以进行后续操作。在这项工作中，我们考虑时间复用的最简单情况，即每个量子比特只与信道相互作用一次，对于 $N$ 量子比特寄存器，总共需要 $N$ 次CAPS方案，而腔内量子比特重置可以进一步增强整体纠缠生成速率[5,13,16]。在这种情况下，$N$ 次CAPS操作后每个原子累积的误差约为 $\eta_{\text{xt}}$。假设搬运时间 $\tau_{\text{sh}}$，原子数 $N$，脉冲间隔为 $\tau_{\text{pulse}}$，（这确保两个连续光子时域模式的重叠低于 $\epsilon_{\text{pulse}}$。）以及远程纠缠方案的成功概率 $P$，所得网络速率为

$$R = \frac{P}{N \tau_{\text{pulse}} + \tau_{\text{sh}}} \tag{27}$$

而本征速率为 $R_0 = P / \tau$。

这使得我们可以评估实现所需网络速率所需的 $N$；然后确定所需的失谐 $\Delta$。为了具体评估，在图4(c)中，我们使用表II中的参数展示了混合发射-CAPS方案的估计速率，该方案受使用 $^{87}$Rb 原子的通信波段（$D_1$）跃迁耦合到低损耗纳米光子腔的启发[5,39]。由于我们没有实现腔内量子比特冷却和重置，腔内原子不需要反馈操作；对联网速率的主要时间消耗来自原子搬运时间 $\tau_{\text{sh}}$；单原子操作的速率为 $R \approx R_0 / 65$，比本征速率 $R_0$ 小65倍。相比之下，使用 $N=56$ 个原子可以将总速率有效地提高到200 kHz。在这种情况下，根据公式(26)，实现串扰误差 $\eta_{\text{xt}} = 10^{-3}$ 所需的光移为 $\Delta \approx 3.9$ GHz。由于旁观者原子在理想操作中保持基态，在 $|S\rangle$ 和另一个激发态之间的跃迁上照射隐藏光束可以实现大的光移，并具有良好的散射误差标度，这在量子比特测量[64,65]和量子比特门[66]中已得到证明。更具体地说，对于 $N=56$ 个原子，通过利用 $|S\rangle$（$^{5}S_{1/2}$）到 $^{5}P_{3/2}$ 跃迁在 $\Delta$，大约1 GHz的隐藏光束失谐将散射误差抑制到 $10^{-3}$ 以下，原子加热和退相干可忽略不计，这在参考文献[67]中通过时间复用原子-光子纠缠发射生成远程纠缠时有讨论；需要大约 $\Delta$ 的光移，大约 $\Delta$ 的适中激光功率，光束半径约500 nm。此外，11 cm腔体长度上的毫米尺度原子-光子耦合界面区域有足够空间布置 $N$ 个原子，并具有足够大的间距以确保对邻近原子的串扰可忽略不计[64]。总体而言，以200 kHz的速率生成远程纠缠，保真度损失为 $\eta \approx 10^{-2}$（包括光子杂质、多原子间串扰和隐藏光束引起的误差），使用现实的硬件设置（见表II）是可以实现的。我们最后提到，增加原子数可以进一步提高总速率，如图4(c)所示，代价是需要更大的光移。

B. 波长复用

虽然时间复用比单量子比特网络寄存器的原生实现提供更快的远程纠缠生成，但速率本质上受到原子-光子相互作用必须顺序进行这一事实的限制。这是因为我们到目前为止只考虑了特定的腔体共振，而忽略了其他通常远离原子跃迁共振的共振。

我们现在利用光学腔中可用的多个共振频率，将它们视为不同的波长信道，进一步提高单腔网络性能。特别是，我们考虑腔体足够长且自由光谱范围 $\delta\nu$ 相对较小的情况，使得原子共振可以通过激光束在不同共振模式之间移动。同样关键的是精细度足够高，确保每个模式在频谱上良好隔离；这种操作区域已在几种光学腔实现中实现，如法布里-珀罗腔[68]和纳米光纤腔[39]。

对于这种波长复用的并行联网要现实可行，来自跨信道串扰的误差必须足够低至关重要。更具体地说，我们评估了相邻模式中共振耦合的原子对目标原子-腔系统响应的影响。虽然对耦合原子-腔系统的完整多原子多模式模拟在计算上不可行，但这里我们采用传输矩阵方法[69]，我们在腔内线性化原子响应，并将整个原子-腔系统视为由 $2 \times 2$ 矩阵表示的输入-输出元素序列（详见附录F）。只要输入光最多包含一个光子[70]，这种方法可以精确评估反射函数，这与CAPS方案的定量评估兼容。

如图5(a)和5(b)所示，我们关注的是原子-腔系统的反射系数，其中有 $N$ 个原子，每个原子被不同的量偏移以耦合到腔体的不同共振模式，频率为 $\nu_n$，其中 $n$ 是中心模式索引。然后我们评估在 $M$ 个耦合到附近共振模式的旁观者原子存在下CAPS操作的平均保真度损失——类似于时间复用操作的分析——如图5(c)所示，为 $N=200$ 和本征精细度 $\mathcal{F}=2000$ 的示例情况。我们选择此作为可及区域，无论是光移能力还是腔体参数方面，我们发现跨信道串扰效应在 $\mathcal{F} > 1000$ 以下可以忽略不计；这表明每个模式可以单独处理，允许并行联网。我们注意到，即使本征精细度为500的适中值，平均跨信道串扰保真度损失仍保持在 $10^{-3}$ 以下（见附录F），使这种方法成为各种光学腔设计的诱人选择。

图5. 波长复用的CAPS操作。(a) 波长复用腔QED系统示意图，其中每个原子在 $N$ 个中通过交流斯塔克位移调节原子共振频率来耦合到不同的腔体模式。(b) 通过传输矩阵方法评估的腔体反射谱。$N$ 个原子分别分配到 $M$ 个信道中，我们绘制了所有原子准备在 $|1\rangle$（蓝线）和 $|0\rangle$（绿线）的情况下的反射率。上方的图为一个代表性模式的放大视图。(c) 波长复用CAPS门的串扰效应（详见附录F）。这里我们考虑与图4(c)时间复用操作相同的设置，关键参数总结在表II中。(d) 具有多个波长信道的时间复用纠缠生成速率。$N$ 个原子被分配到 $M$ 个信道中，并行执行每个信道的时间复用纠缠生成。

C. 整体性能

为了充分利用时间和波长复用操作，我们评估分区复用[5]，其中在每个波长信道上对多个独立操作量子比特组执行时间复用操作。我们设置腔中总原子数为 $N$，这些原子被分配到 $M$ 个可用于并行纠缠生成尝试的光学信道中。然后我们考虑以速率 $R$ 并行执行 $N/M$ 个原子的时间复用操作，得到总网络速率 $R_{\text{tot}} = M R$。可实现的纠缠生成速率绘制在图5(d)中，显示随着 $N$ 增加，总速率 $R_{\text{tot}}$ 迅速增加，在几百个原子和10个信道下接近 $R_0$，比单信道操作提高近5倍，无需额外的腔体或原子。这种方案的成功整合将显著提高单个光学腔的网络性能；因此，它是替代物理信道复用的诱人选择，后者需要多个光学腔来扩展网络速率[5,14]。

VI.

[原文在此处中断，后续内容不完整]

## 结论与展望

综上所述，我们已建立起基于CAPS的原子-光子门操作，将其作为高速率、高保真量子网络的一项有前景的基本单元，并验证了其对实验不完美性的鲁棒性。这一进展的关键在于巧妙地引入了误差消除方法，辅以对原子-腔系统光学响应的全面建模，其中包括200原子系统中用于时间复用的串扰效应。作为示例，对于某类原子的通信波段跃迁[5,13,67]，我们估算在 heralded fidelity（预示保真度）为0.999的条件下，速率可达____，且每个原子仅需一轮纠缠生成尝试。这与先前研究的时间复用操作形成鲜明对比，后者需要通过反复的量子比特重初始化和冷却经历多轮尝试才能达到高速率[5,13,16]；而基于CAPS的方案仅依赖光频移激光束即可实现远程纠缠生成，无需高功率激发激光器及其他复杂的量子比特控制——因此，我们预测这将成为腔体量子互连的一项可行方案。我们进一步证明，利用光学腔体天然可访问的多模式波长复用技术，可以在不增加模块内硬件复杂度的前提下扩展网络性能。

我们最后就CAPS操作的进一步改进、其对网络化容错量子计算机设计的启示以及在长距离量子通信中的应用，提出几点看法。

CAPS门的性能提升预计可以通过采用已在双光子干涉方案中提出或应用的技术来实现。一个典型例子是利用光子检测时间信息：当协议结束时检测到光子，其时间信息能够揭示所生成原子-原子纠缠误差特性的丰富细节。对于基于光子干涉的网络方案而言，检测时间信息可以提供所生成Bell对的误差概率和误差偏差[13]，并提供通过检测时间滤波实现显著误差抑制的途径[15]。鉴于本工作中所研究的CAPS不保真度来源同样具有时间依赖性，预计该方法对CAPS协议同样有效；这有望成为实现超越本工作所分析性能的关键要素。

基于CAPS的量子网络相较于双光子干涉方案的性能提升，且无需快速、高功率激发激光器，可能会从根本上改变多处理器容错量子计算机的架构设计[5]。仅需原子穿梭和光频移光束即可实现被动互连运行，加之纠缠蒸馏的高效性[5,10,71]，预期模块布局将获得更大的灵活性。此外，当前的高成功概率使得仅用一轮纠缠生成尝试即可保持良好的网络速率，从而消除了仅为上一轮失败的原子进行重置所需的复杂条件排序[5,13]。因此，涉及逻辑纠缠生成的完整系统设计[14,72]将因基于CAPS的远程纠缠生成方案在简洁性和性能上的优势而变得更加高效。

最后，附录B中讨论的多路复用CAPS存储加载方案对于长距离量子通信——包括量子中继器运行——同样是一种强有力的方案，这得益于CAPS门对光源和信道波动的鲁棒性、改进的成功概率和高保真度（详见附录A）。例如，基于CAPS网络的一种变体方案——以纠缠光子对源替代单光子源（另见附录D）——在极端损耗通信环境中具有显著优势，包括卫星到地面下行辅助量子网络[73]。