一种新颖的方法论，用于解决在多支座地震激励作用下现有饱和土-结构相互作用方程中存在的解不稳定性和尺度不一致性问题

《Soil Dynamics and Earthquake Engineering》：A novel methodology to resolve solution instability and dimensional inconsistency in existing fluid-saturated soil-structure interaction equations under multi-support seismic excitations

　　**摘要**
现有的用于大规模多支撑结构地震响应分析的流体饱和土-结构相互作用（FSSI）公式存在两个长期存在的挑战：秩不足（奇异系统矩阵）和维度不一致性（物理单位不兼容）。这些问题共同导致了数值不稳定，并削弱了物理可解释性，从而限制了当前FSSI分析方法的可靠性和适用性。为了克服这些关键挑战，我们提出了一些新的核心策略，并通过严格的验证程序来支持这些策略。
（1）一种新的对称正则化方法在控制方程的两侧引入了对称辅助项，其系数η1和η2经过了严格推导。这种方法确保了与原系统的完全等价性，同时消除了系数矩阵的秩不足和奇异行为。
（2）一个颠覆性的概念框架将流固动态相互作用重新表述为统一的单相公式，提高了结构的透明度、物理可解释性和维度一致性，同时保持了数学严谨性，并为复杂的耦合现象提供了直观的见解。
（3）在正常和低渗透性条件（例如粉粘土、淤泥）下进行的全面数值验证表明，与传统的FSSI公式相比，所提出的框架具有更优异的稳定性和效率。重要的是，我们的结果不仅揭示了传统FSSI公式在低渗透性介质中的固有虚假振荡，还指出了其原因和数学起源。这项研究从根本上解决了传统FSSI方程分析中存在的长期计算不稳定性和物理单位不兼容性问题，为更健壮和准确的流体饱和FSSI建模奠定了基础。

**引言**
背景与需求：大型基础设施项目——特别是那些深埋在地下且具有长距离多支撑系统的海洋或河流环境中的项目——需要全面可靠的地震性能评估。具体来说，这些评估需要边界积分的土-结构相互作用（SSI）分析，其中明确考虑了空间变化的地震激励。为了达到这种严谨性并确保基于物理的地震响应评估，将流固耦合效应（特别是流体饱和土壤中的孔隙压力）纳入控制动力学方程是必不可少的。
**限制与研究目标：**然而，目前用于模拟这些系统的数学模型（即方程）通常存在显著的限制。特别是，纳入孔隙压力效应会增加系统的维度，从而增加系数矩阵的阶数和响应向量的维度。这种维度的增加带来了两个关键的计算挑战：首先，它导致系数矩阵的秩不足（容易导致对孔隙压力自由度的数值约束不足，尤其是对于粉粘土和粘土土壤）；其次，它在响应向量中引入了物理单位的不兼容性（即单位不匹配）。因此，解决这两个关键问题是本研究的核心目标。

**当前研究的不足与改进**：
一方面，矩阵奇异性使得地震分析中常用的直接积分方法和模态分解及响应谱分析方法无法应用。具体影响和当前的研究进展如下：
（1）对直接积分的影响：刚度矩阵的奇异性加剧了收敛约束，尤其是在零元素比例较高的稀疏矩阵中，可能导致Newmark-β方法中的非物理时间历史振荡。尽管Huang提出了改进措施，但它增加了计算成本并降低了低频数值精度。
（2）对模态分解和响应谱方法的影响：奇异性使得模态分解失效，因为这种技术需要求解自然频率（即特征值）和模态形状（即特征向量），而这依赖于一个非奇异矩阵。由于模态分解是响应谱方法（RSM）的直接基础，奇异性也使得RSM无法应用。
另一方面，系统响应向量中的维度异质性（即物理单位不兼容）会导致物理结果的误解。在传统的结构动力学中，同一响应向量中的元素保持维度一致性（例如仅由加速度、速度或位移组成）。然而，流体饱和土-结构相互作用（FSSI）的引入从根本上破坏了这种一致性。交叉耦合效应在单个向量中引入了不兼容的时间导数阶数——例如，速度与孔隙压力配对，或加速度与孔隙压力时间导数配对。此外，这些项与结构位移共同作用，进一步加剧了向量的维度异质性。

**本文的贡献**：
为了解决上述问题，本研究做出了三个关键贡献：
第一，我们提出了一种基于对称辅助项的正则化方法，用于处理传统的奇异系数矩阵，该方法在保持数学等价性的同时减轻了长期存在的计算不稳定性。
第二，我们提出了一个新的视角和框架，将流固耦合重新表述为单相模型，确保状态变量和算子的物理维度一致，同时保持数学严谨性并提高物理可解释性。
第三，在标准和高渗透性条件下的数值验证证实了解决方案的稳定性和准确性，有效解决了传统FSSI公式中的固有时间历史振荡行为。

**文章结构**：
本文的其余部分结构如下：第2节回顾了FSSI控制方程并总结了其局限性。第3节提出了一种全秩正交方法，用于重新表述FSSI系统，从而解决了解决方案不稳定性的问题。第4节提出了一种将双相模型转换为单相模型的新视角，从而解决了单位异质性问题并便于直观解释。第5节验证了两种基于EM的时域分析方法。第6节用于讨论，第7节总结了研究。

**耦合FSSI方程的起源**
u-p饱和多孔介质-结构系统的双相动力学方程由Biot基于基本平衡定律推导出来，并通过Galerkin方法离散化。相应的物理量在表1中定义，详细公式见附录A。

**当前流体饱和土-结构相互作用（FSSI）模型的定义**
当前的流体饱和土-结构相互作用（FSSI）模型由方程（2）定义。

**正交全秩FSSI系统的构建**
本节提出了一种通过创新构建全秩刚度相关矩阵的方法，以实现三个关键目标：（1）解决溶液不稳定性（如第2.2.1节所讨论的第一个问题）；（2）保证结果的准确性；（3）确保重构的矩阵满足系统的正交性——使其不仅适用于直接积分方法，还适用于其他动态分析方法（例如模态叠加和响应谱分析）。

**等效单相模型的建立**
本节提供了一种新的视角，以重新理解固体-流体动力学耦合方程（方程（26）），从而显著促进物理直观解释。
在FSSI系统的有限元离散化中，位移场和孔隙压力场使用相同的形状函数插值，每个节点都与两个相的自由度相关联。虽然固相响应（例如位移）在物理上是清晰的，但流相响应（例如孔隙压力）则不然。

**数值验证**
本节的目标是在两种条件下（常规和低渗透性）数值验证两种提出的基于等效模型（EM）方法的优势（准确性和数值稳定性）。此外，本节还旨在展示传统方法在低渗透性条件下的数值解的振荡行为。

**主要贡献**：
本研究的主要贡献有四点：
（1）提出了一种全秩矩阵技术，用于解决系数矩阵的奇异性问题，从根本上确保了可解性，同时保持了数学等价性；
（2）提出了一种新的视角和重构框架，通过 align 所有状态变量和微分算子的物理维度，将两相动力学方程转换为单相形式，保持了数学严谨性。

**结论性评论**
具有深埋、大规模多支撑系统的重大基础设施项目需要全面可靠的地震性能评估。然而，当前的流体饱和土-结构相互作用（FSSI）公式存在两个固有的局限性：（1）秩不足；（2）维度不一致性。这些问题不仅导致时域积分中的数值不稳定（从而使得模态分解失效），还影响了CRediT作者的贡献声明：
刘国欢：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源提供、方法论、资金获取、正式分析、概念化。
王海阳：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、数据管理、概念化。

**利益冲突声明**
我们声明与任何可能不恰当地影响我们工作的其他人或组织没有任何财务和个人关系，也没有任何产品、服务或公司的专业或其他个人利益可能会影响我们所呈现的观点或手稿的评审。

**致谢**
本工作得到了中国国家自然科学基金（授权号51978461）的支持。
刘国欢 | 王海阳
天津大学水力工程智能建造与运行国家重点实验室，天津，300350，中国