Fermatean模糊集与Fermatean中智集及其扩展的近期进展：一项综合性综述

《Journal of Hazardous Materials Advances》：Recent advances in Fermatean-based neutrosophic sets and their extensions: A comprehensive review

　　

摘要专业翻译 Fermatean模糊集（Fermatean fuzzy sets, FFSs）作为直觉模糊集和Pythagorean模糊集的有效扩展被提出，已成为处理复杂决策环境中不确定性的有力工具。由于其增强的不确定信息表征能力，FFSs吸引了各学科研究者的广泛关注。随后，中智概念（neutrosophic concepts）的融合推动了Fermatean中智集（Fermatean neutrosophic sets, FNSs）的发展，通过真值、不确定性和假值隶属度进一步改进了不确定性的表征。本综述对2019年至2026年间Fermatean基模型的理论发展和应用进行了全面分析。研究考察了FFSs、FNSs及其高级扩展的演进，包括区间值（interval-valued）、粗糙（rough）、球型（spherical）、复（complex）和多值（multi-valued）框架。研究特别关注了Fermatean环境下发展的聚合算子（aggregation operators）、相似性和距离测度、排序方法以及多准则决策（multi-criteria decision-making, MCDM）方法论。此外，基于Scopus数据库进行了文献计量分析，以考察发表趋势、领先作者、贡献国家、机构、学科领域和高被引出版物。为更深入地洞察研究格局，研究人员使用VOSviewer进行了高级文献计量分析，包括合著分析、关键词共现分析、引文分析、文献耦合分析和共被引分析。这些分析揭示了Fermatean基研究的协作结构、主要研究主题、有影响力的出版物、当前研究流和知识基础。结果显示，Fermatean基研究显著增长，尤其是2021年之后，反映了其在不确定性建模和智能决策支持系统中日益增长的重要性。最后，研究识别了现有研究空白并指出了有前景的未来方向。特别是，多值Fermatean中智集（Multi-Valued Fermatean Neutrosophic Sets, MVFNSs）和多值复Fermatean中智集（Multi-Valued Complex Fermatean Neutrosophic Sets, MVCFNSs）等先进结构为人工智能、医疗保健、可持续性评估和复杂决策问题的进一步理论发展和实际应用提供了重要机遇。

论文主体内容专业总结

1. 引言

不确定性、模糊和不精确信息广泛存在于现实问题中，包括医学诊断、工程管理、人工智能、风险分析、交通系统和多准则决策（MCDM）。经典数学模型往往不足以有效表征模糊、不一致和不完整的信息。Zadeh（1965）引入模糊集理论，奠定了不确定性建模的基础。Atanassov（1999）通过直觉模糊集扩展了该框架，同时考虑隶属度和非隶属度。Yager（2013）进一步通过Pythagorean模糊集扩展了该框架。随后，Smarandache（2005）引入中智集，独立表征真值、不确定性和假值信息。

这些发展促使Senapati和Yager提出Fermatean模糊集（FFSs），其提供了比直觉模糊集和Pythagorean模糊集更宽的不确定信息表征域。FFSs已被应用于各类决策问题，如公共交通投资税收评估、移动基站选址、多目标运输问题、智慧城市商业智能策略排序等。在理论工具方面，研究者发展了加权平均和几何聚合算子、基于系数的相似性测度、Spearman相关测度、距离测度以及BWM–VIKOR框架等。

Fermatean模糊概念与中智环境的融合催生了Fermatean中智集（FNSs），其同时表征Fermatean约束下的真值、不确定性和假值信息。研究者已提出Fermatean中智矩阵、相似性分析、粗糙Fermatean中智集、距离测度以及集成WINGS和AHP–EWM方法等。

模糊和中智理论向复值域的扩展使周期性和相位相关信息得以表征。研究者引入了复Fermatean中智图、复Fermatean中智集、复Fermatean模糊集距离测度以及多值复Fermatean中智EDAS方法等。

此外，研究者提出了多种Fermatean中智扩展以增强高度不确定和复杂信息的建模能力，包括区间值Fermatean中智数、区间值Fermatean中智集、概率区间值Fermatean犹豫模糊集、球型Fermatean中智模型和广义对称Fermatean中智模糊矩阵等。

2. 材料与方法

研究数据收集自Scopus数据库，检索使用TITLE-ABS-KEY字段，检索词为"fermatean" AND "fuzzy"，时间限定为2019至2026年，数据收集日期为2026年6月5日。初步识别771条记录，经筛选后排除4条中文文献、10条仅涉及模糊方法而未涉及Fermatean概念以及2条重复记录，最终保留755篇出版物。其中567篇出版物获得超过一次引用，专门用于基于引用的分析。

方法论包含四个阶段：文献检索、筛选与选择、文献计量分析（包括发表和引文趋势、关键词共现、共被引、文献耦合和协作网络）、以及理论与应用贡献的系统综述。

3. Fermatean中智集的演进与扩展

FNSs已成为表征决策环境中不确定性、不确定性和不一致性的灵活框架。研究者不断扩展经典FNSs模型以提高其表征更复杂和更现实信息的能力。主要扩展包括：经典Fermatean中智集、区间值Fermatean中智集、粗糙Fermatean中智集、犹豫Fermatean中智集、球型Fermatean中智集、复Fermatean中智集、多值Fermatean中智集（MVFNSs）和多值复Fermatean中智集（MVCFNSs）。各扩展在表征能力、数学复杂度、可解释性和计算成本方面存在权衡，没有单一扩展可被视为普遍最优，模型选择取决于不确定性性质、决策复杂度、可解释性要求和可用计算资源。

3.1 聚合算子

聚合算子提供了组合不确定信息的不同机制。加权算子简单且易于解释，而Hamacher、Einstein和混合算子为复杂不确定信息提供了更大灵活性。但不同算子可能产生不同的聚合结果，算子选择应考虑信息保持、计算效率、鲁棒性和对输入变化的敏感性。

3.2 相似性、距离、相关性和熵测度

相似性和距离测度支持比较和排序，相关性测度分析关系，熵测度量化和不确定性。测度选择可能影响比较、排序或准则权重结果。许多现有测度主要通过数值示例或小数据集验证，其鲁棒性、判别能力、计算效率和大规模验证仍需进一步研究。

3.3 Fermatean中智环境下的决策方法

决策是Fermatean中智理论的主要应用领域。多种经典和高级MCDM方法已被扩展到Fermatean中智环境，包括TOPSIS、VIKOR、EDAS、WASPAS、MULTIMOORA、PROMETHEE、CODAS、ARAS、MABAC和COPRAS。没有单一MCDM方法普遍优越，其适用性取决于决策结构、不确定性特征和所需解释。最终排序可能对准则权重、归一化、距离测度、偏好参数和聚合机制敏感，因此方法选择应考虑排序稳定性和敏感性。

3.4 现有方法的批判性比较

现有Fermatean基方法在不确定性处理能力、计算要求、优势和局限性方面存在差异。聚合算子提供灵活的不确定信息集成，相似性和距离测度支持不确定备选方案间的比较和判别。TOPSIS实现基于理想解的排序，VIKOR提供折中解，EDAS评估相对平均绩效的备选方案，WASPAS结合加性和乘性机制。但灵活性增加可能带来额外的数学和计算复杂度，最终排序可能对准则权重、归一化程序、聚合算子、距离测度和决策参数敏感。

4. Fermatean中智集的应用

FNSs已被越来越多地研究用于表征复杂决策环境中的不确定、不完整、不确定和冲突信息。现有研究已证明Fermatean基模型在MCDM、医学诊断、模式识别、可持续性评估和工程决策问题等领域的适用性。从环境和危险物质角度，Fermatean基模型尤为相关，因为此类决策问题通常涉及不确定测量、不完整监测数据、冲突环境指标和主观专家评估。然而，专门针对危险物质和环境问题的应用仍相对有限。

危险风险评估涉及识别、评估和排序与危险物质、暴露条件、储存和处理实践以及意外释放情景相关的风险。环境污染评估需要利用多个监测指标评估空气、水或土壤污染，测量可能受采样限制、测量误差、空间变异和不完整观测影响。毒理学风险评估需联合考虑毒性、暴露、持久性、生物累积和潜在生态效应等因素。修复规划中的修复策略选择可能取决于有效性、处理成本、实施时间、技术可行性、环境影响和残余风险。危险废物管理涉及处理、运输、回收、恢复和处置相关决策，需同时考虑安全、环境影响、成本、技术可行性和监管要求。环境质量评估涉及与空气、水、土壤、生态条件和可持续性相关的多个指标。环境决策支持系统可能需要整合监测数据、专家意见、环境指标和多个管理备选方案。

Fermatean基MCDM在危险物质和环境决策中的潜在应用需要系统的实证验证，包括真实数据集、透明的不确定性表征、敏感性分析、排序稳定性评估、鲁棒性分析以及与既有MCDM方法的比较。

5. 结果与讨论

5.1 年度发表分析（2019–2026）

Fermatean基研究呈明显上升趋势。2019至2020年发表量较低，分别为5篇和6篇。2021年起逐步增长，2021年32篇，2022年82篇。2023至2025年进入大幅增长阶段，从150篇增至200篇。截至2026年6月5日已记录85篇。

5.2 作者生产力分析

D. Pamucar以32篇出版物位居首位，M. Deveci和M. Akram各24篇，P. Rani和A.R. Mishra各22篇，M. Kiri?ci 21篇，T. Senapati和E. Ayyildiz各18篇，M.K. Sharma 17篇，S. Broumi 14篇。

5.3 机构贡献分析

主要贡献机构来自塞尔维亚、印度、土耳其、巴基斯坦和中国台湾等国家和地区。

5.4 国家研究分布

印度研究产出最高，其次为中国、土耳其、巴基斯坦和沙特阿拉伯。

5.5 文献类型分析

期刊论文占总出版物80%以上，表明该领域主要通过同行评审期刊传播。

5.6 学科领域分析

计算机科学、数学和工程构成主导研究领域。

5.7 资助分析

国家资助机构和大学级资助计划是该领域研究支持的重要来源。

5.8 引文分布分析

755篇出版物中567篇获得至少一次引用，累计获得14,511次引用，平均每篇25.59次引用。引文分布高度不均，少数出版物获得不成比例的大量引用。3篇出版物获得251次以上引用。51.15%的被引出版物引用次数少于11次，20.81%介于11至25次之间。

5.9 高被引出版物分析

被引次数最高的出版物包括：Senapati和Yager（2020b）关于Fermatean模糊集的开创性工作（1041次引用）、Senapati和Yager（2019a）关于聚合算子的研究（423次引用）、Senapati和Yager（2019）关于加权乘积法的研究（303次引用）等。

5.10 高级文献计量分析

使用VOSviewer进行了合著分析、关键词共现分析、引文分析、文献耦合分析和共被引分析，从作者、组织、国家、关键词、文献、被引参考文献、被引来源和被引作者等多个层面揭示了Fermatean基研究的协作结构、概念结构、科学结构、当前研究流和知识基础。