PIMA：一种面向复杂动力系统的流形自适应序列框架

《Knowledge-Based Systems》：PIMA: A manifold-adaptive sequence framework for complex dynamical systems

　　

• 提出了PIMA，一种面向参数化偏微分方程的流形自适应序贯框架。
• 集成Mamba架构与自适应模块，实现时间与参数维度的稳定性。
• 学习从参数空间到解流形的连续映射。

引言
偏微分方程（PDEs）是理解复杂动力系统的基础，其应用无处不在，涵盖流体力学与固体力学到生物学等领域[1], [2], [3], [4]。因此，PDEs的数值求解构成了科学与工程计算的关键组成部分[5]。传统的数值方法如有限差分法和有限元法通常依赖于网格离散化和迭代求解器，往往带来高昂的计算成本[6], [7]。为克服这些局限性，物理信息神经网络（PINNs）作为一种高效、无网格求解的新范式应运而生[8]。通过将控制方程的残差直接嵌入损失函数，PINNs有效规避了对网格生成的依赖[9], [10]。

然而，现有的基于PINN的方法仍面临重大挑战。首先，在处理复杂的时间依赖动力系统时，当前方法缺乏对时间因果性的显式建模，导致误差随时间累积。为此，序贯PINNs应运而生，主要基于RNNs和Transformers等序列模型构建，部分缓解了因果性缺失的问题。尽管取得了一定成功，但这些方法通常仅在特定物理配置下进行训练。在广泛应用的场景如设计优化和不确定性量化中[11]，物理参数如扩散系数和粘度可能在一定范围内变化。仅在固定参数点上训练使模型局限于拟合离散参数，而非学习从参数空间到解空间的连续映射[12], [13]。因此，微小的参数扰动可能导致误差急剧上升或稳定性崩溃[14]。为增强参数适应性，现有研究尝试将物理参数作为辅助输入或采用元学习技术。然而，这些方法仍然局限于拟合离散训练参数，因为它们未建模参数空间与解空间之间的内在关系。

为解决上述挑战，受参数化PDEs解的数学特征启发，我们提出了一种流形自适应序贯建模框架。Cohen和DeVore的逼近理论建立了参数化PDEs的解集在高维函数空间中形成低维流形的事实，如图1所示，并且允许时空坐标与参数变量的可分离表示[15]。为显式利用这一底层结构，我们的框架集成了流形嵌入编码器（MEE）与流形自适应模块（MAM）。MEE纳入Mamba模块以捕获动力学演化中的时间因果性，联合编码时空坐标和物理参数，构建具有参数适应性的通用低维潜流形。与此同时，MAM显式学习从参数空间到解流形几何的非线性映射，实现对潜表示的精确动态调制。通过MEE与MAM的协同运作，我们的框架将传统物理信息神经网络的逐点范式转变为对整个解流形的连续感知与逼近。

实验结果表明，我们的框架在训练范围内实现了更优的预测精度，并有效缓解了长期动力学中的误差累积。值得注意的是，误差分布表现出显著的平稳性，避免了物理参数变化时传统模型典型的精度尖峰或不稳定性。此外，通过MAM有效捕获从参数空间到解流形的映射，模型对超出训练域的外推未见参数仍保持优异的泛化能力。本文的主要贡献总结如下：

1. 我们建立了一个通用的参数化框架PIMA用于求解复杂的时间依赖动力系统，展示了在精度和泛化能力上显著超越当前最优基线的性能。
2. 基于参数化PDEs解流形的视角，我们开发了结合MEE与MAM的协同架构，实现对解流形的连续刻画与精确逼近。
3. 我们在三个代表性的一维PDE基准以及更具挑战性的参数化二维Burgers方程上进行了系统实验，评估低维与复杂非线性动力系统。结果表明，我们的框架不仅实现了数据拟合，还学习了从参数到解的映射，展现出优异的稳定性与外推泛化能力。

章节摘要
逐点物理信息学习
传统PINNs通常采用多层感知机（MLPs）建模从时空坐标（??,??）到解??的直接逐点映射[8]。虽然通用性较强，但近期的理论研究揭示了该逐点架构的内在局限性。神经正切核分析表明，全连接网络表现出固有的频谱偏差，优先收敛于低频分量而难以处理高频振荡[16]。

物理信息神经网络
考虑定义在有界时空域??×[0,??]上的一般参数化非线性PDEs形式。控制方程可描述为：
???[???(??,??);??]=0, ??∈??, ??∈[0,??]
其中???(??,??)表示PDEs的解，???[?;??]表示由物理参数??控制的非线性微分算子。为确保解的唯一性，上述方程通常受初始条件和边界条件的约束。

现有模型在参数扰动下的不稳定性
尽管当前最优的时间物理信息模型在固定参数下能很好地逼近动态解，但其在连续参数空间上的性能高度不稳定。如图3所示，当物理参数经历微小扰动时，如PINNsFormer和PINNMamba等单参数模型的预测误差常表现出非平滑跳变。这一现象表明，当前方法并未真正学习从参数空间??到解空间的映射。

PIMA框架
在处理表现出强非线性特征的系统时，完全独立于参数的固定基通常具有有限的表达能力。因此，难以使用有限维度高效捕获流形的复杂几何结构。为增强逼近效率，我们提出了一种参数自适应的可分离表示，将近似解重新定义为：
????(??,??;??)?[???(??)⊙???(??,??;??)]+???(??)
其中???(??,??;??)...

实验设置
我们在三个代表性的时间依赖动力学基准上进行系统评估：反应方程、对流方程和反应-扩散方程，这些方程均被确认受到失效模式的影响[18]。性能与标准PINN[8]、P2INN[36]、PINO和PI-DeepONet进行对比，如表1所示。为确保可比性，所有模型采用相同的采样策略，PINO在无标记解数据的情况下进行训练。对于每个参数...

结论
本文介绍了PIMA，一种求解复杂动力系统的新颖流形自适应框架。通过集成MEE与MAM，PIMA显式刻画了参数化PDEs的解流形，同时利用Mamba架构确保稳健的长期时间建模。在反应、对流、反应-扩散以及二维Burgers等基准上的实验评估表明，PIMA在精度和...方面始终优于当前最优基线。

CRediT作者贡献声明
李文靖：撰写——审阅与编辑、可视化、方法论、数据整理。
王飞：撰写——审阅与编辑。
韩成雷：数据整理。
刘凌潇：数据整理。
徐微智：撰写——审阅与编辑。
王大：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢
本工作部分由中科院计算技术研究所国家专用集成电路系统设计重点实验室基金（编号：CLQ202402）资助，部分由中国山东省自然科学基金（编号：ZR2024MF073）资助，部分由中国山东省重大科技创新工程项目（编号：2025S0101-01954）资助。

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