相空间可调的三维混沌映射及其在彩色图像跨通道加密中的应用

《Mathematics and Computers in Simulation》：Phase-space-tunable three-dimensional chaotic map and its application in cross-channel encryption of color images

　　

•应用具有可调相空间的超混沌映射于安全通信。
•Soma立方体的空间构型实现跨通道像素置换。
•三元编码实现灰度信息的跨通道耦合。
•安全性分析证实了对常见密码学攻击的强抵抗力。

引言
随着互联网和云存储技术的快速发展，海量图像数据被广泛应用于社交媒体、智能监控和远程医疗等领域。近年来，一些研究人员针对云应用提出了新颖的图像保护策略，例如保留缩略图的加密方法，该方法在加密图像中保留了一定量的低分辨率视觉信息[1]，[2]。这使得用户无需完全解密即可初步识别图像内容，从而提高了云图像管理和检索的效率。然而，最近的研究表明，某些针对缩略图保留方案结构设计的密码分析方法能够部分恢复图像内容[3]。因此，此类方法仍存在潜在的安全风险，可能无法满足高安全场景的隐私保护需求。相比之下，传统图像加密方法通常将原始图像转换为具有类噪声特征的密文图像，使攻击者难以提取任何有意义的视觉信息，从而提供更强的安全保护。然而，尽管传统通用加密算法在理论上提供了较高的安全性，但其固有的结构特性往往导致计算复杂度高、处理效率低，并且难以有效消除图像数据中的内在相关性，特别是在处理高维或大规模图像时。

为解决这些问题，研究人员开发了各种图像隐私保护技术，包括数字水印[4]、可逆数据隐藏[5]、视觉密码术[6]、量子加密[7]和基于混沌的加密[8]，[9]。在这些方法中，混沌系统近年来受到了广泛关注，因为它们能够在数值演化过程中产生高度复杂的动态行为，从而有效增强加密过程的复杂性。例如，Yao等通过引入新的控制参数和叉积项，将一个三维连续混沌系统扩展为四维系统，使该系统具有更复杂的轨道结构和更强的混沌特性[10]。然而，它也面临高维混沌系统的常见缺点，如结构复杂和实现成本高，这限制了其在资源受限或实时环境中的适用性。为克服这些局限性，Zhang等通过耦合正弦映射和切比雪夫映射构建了一个新颖的二维混沌映射[11]。该系统在保持结构简洁和实现灵活性的同时，在较宽的参数范围内表现出超混沌行为，从而缓解了高维连续混沌系统在受限场景中的实际应用限制。然而，由于它由两个相对简单的一维映射组成，在当前计算能力下，该系统仍然可能受到预测或分析攻击的威胁。为了更好地平衡结构简洁性和安全性，Verma等提出了一种新的三维混沌映射，其在测试参数范围内表现出整体超混沌行为[12]。然而，其吸引子在相空间中分布不均匀，空间覆盖率不足，存在空洞区域和密集簇。当参数范围进一步扩大时，会出现明显的周期窗口。因此，设计在结构简洁性和安全性之间取得平衡的混沌系统仍具有重要的研究价值和实际意义。

图像数据在结构特性上与传统文本数据有着根本性的不同，透彻理解图像结构对于加密算法的设计至关重要。数字图像是通过对连续光学场景进行空间采样和量化而生成的，将人眼感知的光或颜色信息转换为离散的像素矩阵。彩色图像基于人眼视觉系统对红、绿、蓝三种基本色的感知，通过R、G、B通道强度值的线性组合重建自然场景的颜色。与灰度图像仅在二维空间域内表现出局部像素相关性不同，彩色图像不仅在每个通道内具有空间相关性，在通道之间也存在着显著的统计依赖关系，即一个通道的变化趋势在一定程度上可以从其他通道中预测。因此，在置换阶段，有效降低通道内和通道间相关性的同时隐藏可见信息，是加密算法设计的关键。Tang等利用混沌序列控制像素置换过程，将混沌序列的二进制表示分为三部分，分别生成行、列和通道索引，实现跨通道像素置换，有效降低了通道内和通道间的相关性[13]。然而，该方法需要为每个像素生成独立的位置索引，导致在处理高分辨率或大规模图像时计算复杂度高、处理效率有限。相比之下，Darani等分别对彩色图像的RGB通道进行预处理，并以逐行的方式交错排列[14]。然后利用混沌序列控制行和列的循环移位，将置换操作从三维空间转化为二维平面。虽然这一策略在一定程度上简化了复杂的三维操作，但置换后的图像仍然保留了残余的纹理特征，需要多轮置换才能达到期望的扰乱效果。Xin等提出了一种类似鲁比克方块的跨通道置换策略，将RGB图像视为三维像素立方体，沿x-z、x-y和y-z三个正交平面进行切片[15]。每个切片矩阵进一步分解为若干同心环，通过在每个环内进行循环移位实现像素重排。然而，由于像素只能在固定的环结构内移动，置换范围受到固有约束，可能导致扰动不均匀和局部结构残留。因此，需要在多个正交平面上进行重复的置换操作，这在一定程度上不可避免地增加了算法的计算复杂度。Chen等提出了另一种基于Peano空间填充曲线的跨通道置换策略，以3×3×3立方体作为基本空间单元，通过递归扩展二维Peano曲线来构建三维遍历路径，从而实现RGB分量之间的跨通道置换[16]。然而，多级递归路径构造和空间坐标映射过程引入了相当大的计算开销。

为消除明文图像的固有统计特性并增强其对外部攻击的抵抗力，研究人员提出了各种基于扩散的加密策略。例如，Sun等将Fibonacci Q矩阵与中心扩散算法相结合，建立密文像素之间的层次依赖关系，使灰度信息从图像中心逐层向外扩散[17]。受核裂变中能量释放机制的启发，Lai等提出了一种类裂变扩散策略，模拟裂变过程中能量的多方向传播，实现像素信息沿行和列方向的并行扩散[18]。此类层次扩散机制增强了算法的雪崩效应，使明文中的微小扰动能够快速传播到整个密文空间，从而有效抵抗差分攻击。然而，由于扩散过程的层次传播特性，前序层的密文像素会对多个后续像素产生累积影响。虽然这种过度耦合增强了扩散效果，但也削弱了算法对噪声或裁剪等局部破坏性攻击的鲁棒性，因为部分密文的损坏可能导致解密过程中广泛的误差传播。为缓解密文像素间的过度耦合，Sun等进一步提出了一种多方向动态扩散策略，其中每个密文像素仅依赖其左、左上和上方邻居[19]。这种方法有效减少了密文像素间的过度耦合，并增强了算法的稳定性和对局部破坏性攻击的抵抗力。然而，该策略仍然局限于单通道扩散，无法实现彩色图像的跨通道信息耦合。为克服这一局限性，Wang等提出了一种循环移位扩散策略，在通道内部和通道之间引入循环移位操作，使像素强度变化能够跨通道传播，实现全局像素扩散和通道间信息耦合[20]。

基于上述分析，本文针对现有彩色图像加密方案在结构设计和安全性能方面的不足，充分考虑彩色图像的结构特性，提出了一种兼具高安全性和高性能的彩色图像加密算法。本研究的主要贡献如下：（1）为平衡混沌系统的结构复杂度和安全性，我们设计了一种具有可调相空间和更强混沌特性的三维混沌映射。其吸引子在相空间中均匀分布，并在整个参数范围内保持超混沌行为。动力学分析和安全评估的结果验证了其在安全通信系统中的实际适用性。（2）为有效降低通道内和通道间的相关性，我们创新地将Soma立方体的结构特性应用于彩色图像的跨通道像素置换。基于其空间构型，设计了一种新颖的置换方案，将置换操作从传统的二维平面扩展到三维空间，有效破坏了像素间的空间相关性并隐藏了图像的视觉信息。（3）为实现全局像素扩散和跨通道信息耦合，我们提出了一种基于三元编码系统的位级双向扩散加密策略。该策略实现了空间域中的双向信息传播和全局耦合，增强了扩散过程的雪崩效应，进一步提高了加密算法的整体安全性。

Soma立方体
Soma立方体由丹麦科学家Piet Hein于1933年提出，是一种由七个结构不同且不对称的多立方体块组成的三维拼图。每个块由三个或四个正交连接的立方体构成，且至少包含一个非共面角，使其无法完全嵌入单一平面内。这一几何特性赋予Soma立方体丰富的空间构型和高度复杂的解空间。数学分析表明，

三维超混沌映射
尽管传统低维混沌映射在理论研究和实际实现方面具有某些优势，但其有限的混沌复杂度、较弱的不可预测性和相对简单的动态行为，往往使其容易受到现有的分析技术和攻击方法的威胁。这在一定程度上削弱了其在信息安全等高安全需求应用中的实用价值。

xi+1 = cos(2π(yi(1?zi) + 4αxi))
yi+1 = sin(2π(xi(1?zi) + 4βyi))
zi+1 = r·cos(2π(xi

所提出的加密和解密方案
所提出的彩色图像加密方案的具体实现工作流程如图7所示，该流程由三个主要阶段组成：初始参数生成、跨通道像素置换和位级扩散加密。在初始参数生成阶段，通过设计的参数生成机制获得初始参数x0、y0、z0、VDF、VDR和VID。基于这些参数，所提出的三维超混沌映射被用于

实验与安全分析
为确保计算稳定性和结果的可复现性，本研究中的所有实验均在MATLAB环境中进行。外部密钥设置为e1=2.56，e2=6.13，e3=4.89，α=5，β=4，r=3。测试图像选自CVG-UGR图像数据库，该数据库被广泛应用于图像处理、加密、隐写和图像融合等领域的算法评估和性能验证。如图10所示，所选图像展现出

结论
本文提出了一种兼具高安全性和高效率的彩色图像加密算法。通过在算法设计中应用Soma立方体的空间构型和三元编码系统，该方法实现了跨通道像素置换和通道间信息耦合，有效解决了现有彩色图像加密方案在结构设计和安全性能方面的不足。为缓解高维

CRediT作者贡献声明
Ming Yao：撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论。
Hongwei Deng：撰写——审阅与编辑、监督、经费获取。
Zhong Chen：撰写——审阅与编辑、监督。
Zhiwen Zheng：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢
本研究由中国湖南省自然科学基金（2023JJ50096）、湖南省科技计划项目（2016TP1020）以及湖南省"十四五"重点学科和应用型特色学科（湘交统〔2022〕351号）资助。

Ming Yao | Hongwei Deng | Zhong Chen | Zhiwen Zheng