无平衡点的基于贝塞尔曲线的混沌映射族

《Mathematics and Computers in Simulation》：Families of Bézier curve based chaotic maps without equilibria

　　

- 提出了两类混沌映射，通过贝塞尔曲线进行描述。
- 第二类映射可以生成无平衡点的映射，因此属于具有隐藏吸引子的映射家族。
- 提供了三个映射实例。观察到类反单调性和鲁棒混沌等现象。

**引言**

混沌理论是自然科学中最广泛的科学领域之一。它涵盖了众多学科中出现的混沌现象的描述，如化学、经济学、工程学、机器人学、生物学等[1], [2], [3]。除了对复杂现象进行建模外，混沌系统还被用作确定性、高熵源，应用于伪随机数发生器、加密、S盒设计、安全通信、水印、路径规划、优化及其他领域[3], [4], [5], [6]。在这些应用中，混沌系统可以生成不可预测的时间序列，用于提高算法在安全性度量或设计其他方面指标上的性能。鉴于混沌在如此多领域的出现，人们不断努力开发新的混沌系统。其目标要么是模拟自然现象，要么是开发具有特定属性组合、适用于当前应用的系统。此外，纯粹出于数学兴趣开发混沌系统也在不断进行，以期揭示与混沌相关的新现象。

在设计新的混沌系统时，可以根据期望的动力学特性考虑多种技术。理想情况下，设计不应仅关注创建单一系统，而应开发一族混沌系统，这些系统可以通过一种共同的技术来构建。通常，设计方法是在现有文献的基础上进行，通过考虑已有的函数，如Logistic映射[7]、分段映射[8], [9]、模运算映射[10]或其他类型的函数[11]，来创建新的系统族。例如，一个与混沌映射设计密切相关的主题是混沌化[12]。它指的是设计能够与文献中任何其他已有映射组合的函数的过程，以获得新的混沌映射。理想情况下，这些新映射应该比其种子映射具有更复杂的混沌行为。这可以通过更高的Lyapunov指数值或其他新属性来体现，如鲁棒混沌、映射域控制、无平衡点等，具体取决于特定混沌化技术的目标。

在混沌建模研究的众多主题中，引起关注的一个系统族是具有隐藏吸引子的系统。它包括没有任何平衡点的混沌系统、具有无穷多个平衡点的系统以及具有稳定平衡点的系统。该族系统最初在连续时间域中被研究，在过去十年中有很多贡献[13], [14], [15]。最近，离散时间映射具有隐藏吸引子的构造引起了关注[16]。具体而言，无平衡点映射类别是近年来许多研究的主题。

为实现无平衡点的混沌映射，人们考虑了多种技术，使用不同类型的非线性函数来构造混沌映射。从几何上讲，平衡点代表映射函数图像与坐标平面上对角线之间的交点。因此，目标是设计函数图像不与对角线相交的映射。

作为一维（1D）映射的近期例子，在该主题最早的工作之一[17]中，提出了一族映射，它是Logistic映射的分段版本，每个子函数分别位于对角线上方和下方。该技术在[18]中得到推广，通过添加缩放因子来改变Logistic函数的形状。示例中考虑了Logistic和帐篷型非线性。[19]中提出了[17]中映射族的另一种变体，具有幅度控制。[20]中提出了一族分段映射，每个子函数分别位于对角线上方和下方。每个子函数考虑了多种类型的非线性函数，如多项式、余弦、正弦和指数函数。[21]中提出了另一族分段映射，对每个子函数进行重新缩放使其不与对角线相交。考虑了Logistic和帐篷非线性及其组合。[22]中提出了分段线性映射，并在[23]中用FPGA实现。随后在[24]中使用模运算函数对[22]中的映射族进行了修改。[25]中提出了一种无平衡点混沌化方法，利用映射值、种子函数的缩放和偏移参数，与模运算函数进行组合。示例中测试了正弦、tanh和模运算种子函数。[26]中对其中一些映射进行了比较分析。

关于二维（2D）映射，[27]中使用模1运算函数设计了一个无平衡点的2D映射。该映射基于Arnold猫映射。[28]中使用二次非线性设计了两个2D映射。[29]中使用忆阻器设计了一个2D映射族。利用不同的非线性开发了四种映射变体。

以上简短列表几乎涵盖了无平衡点离散映射主题的所有贡献。显然，该主题正在引起关注，但鉴于迄今为止只有少数研究工作，仍有大量技术有待探索。

贝塞尔曲线构成了非常广泛的代数曲线家族[30], [31], [32], [33]。它们是参数曲线，意味着其坐标使用Bernstein多项式作为基函数，描述为参数$t \in [0, 1]$的函数。通过一系列称为曲线控制点的点，可以方便地定义和控制其形状。改变这些点会改变曲线的形状。这些控制点的数量很少。例如，一条三次贝塞尔曲线仅由四个控制点定义，一般而言，$n$次曲线由$n+1$个控制点描述。因此，描述一条贝塞尔曲线所需的信息量是最小的。

除了描述曲线之外，通过控制点描述贝塞尔曲线还提供了一系列关于曲线形状的信息。例如，了解控制点可以提供关于曲线所在区域的信息，以及关于端点处插值和切线的信息[30], [31], [32], [34]。因此，通常通过适当调节控制点来实现一些曲线设计规格是很容易的。总之，其设计自由度使贝塞尔曲线成为计算机辅助几何设计的优秀工具。这就是为什么多年来，贝塞尔曲线在制造[35]、轨迹规划[36], [37], [38]、机器人学[39]及更多领域[40]找到了大量应用。由于其广泛的应用数量，还开发了这些曲线的多种改进形式，以进一步提高其几何控制性和对实际问题的适应性[41], [42]。

受贝塞尔曲线极具吸引力的形状控制特性的启发，本文提出将其用于构建无平衡点的混沌映射。贝塞尔曲线被约束在其凸包内，这使得容易推导充分条件，使得贝塞尔曲线不会与坐标平面上的对角线相交，这可应用于设计无平衡点的映射。本文提出了两类映射，分别使用贝塞尔曲线的$x$和$y$坐标来推导描述映射的递推公式。第一类映射通过单条贝塞尔曲线描述。该映射族通过用于定义映射的贝塞尔曲线的控制点进行参数化。第二类映射是分段的，每个子函数通过不同的贝塞尔曲线描述，可以是相同或不同次数的。对于该映射族，通过适当调节映射的控制点，可以获得无平衡点的映射。因此，第二类映射属于具有隐藏吸引子的映射类别。据作者所知，这是首次考虑将贝塞尔曲线用于混沌映射构建的工作，也是首批研究无平衡点映射的工作之一，补充了第1.2节中综述的内容。

对于所提出的映射族，提供了三个实例进行研究。第一个实例属于第一类映射，通过三次曲线定义。随着第三个控制点坐标的变化，数值计算其平衡点。此外，随着第三个控制点坐标的变化，系统表现出反单调性和危机现象，由其分岔图所证实。对于第二类映射，提供了两个实例。第一个映射由两条三次贝塞尔曲线定义，第二个映射由一条三次曲线和一条二次曲线定义。两个映射都没有平衡点，因此具有隐藏吸引子。此外，随着控制点坐标的变化，两个映射都表现出鲁棒混沌行为，由分岔图中无周期性所证实。

本文其余部分结构如下。第2节介绍关于贝塞尔曲线的一些预备信息。第3节介绍并研究第一类贝塞尔映射。第4节介绍并研究第二类分段贝塞尔映射。第5节展示两类映射的实例。最后，第6节对研究结论和未来研究方向进行讨论。

**贝塞尔曲线**

本节提供关于贝塞尔曲线的一些预备信息，相关内容可在教材[30], [31], [32]中找到。许多与贝塞尔曲线相关的MATLAB代码也可在[33]中找到。

**定义1** 一个$n$次二维贝塞尔曲线由以下公式描述：
$$C(t) = \sum_{i=0}^{n} B_i^n(t) \cdot P_i = B_0^n(t) \cdot P_0 + B_1^n(t) \cdot P_1 + \cdots + B_n^n(t) \cdot P_n$$

或者等价地，对于每个坐标：
$$C_x(t) = \sum_{i=0}^{n} B_i^n(t) \cdot P_{i,x} = B_0^n(t) \cdot P_{0,x} + B_1^n(t) \cdot P_{1,x} + \cdots + B_n^n(t) \cdot P_{n,x}$$
$$C_y(t) = \sum_{i=0}^{n} B_i^n(t) \cdot P_{i,y} = B_0^n(t) \cdot P_{0,y} + B_1^n(t) \cdot P_{1,y} + \cdots + B_n^n(t) \cdot P_{n,y}$$

**贝塞尔混沌映射**

公式(1)中描述的贝塞尔曲线是控制点$P_i \in \mathbb{R}^2$的2D曲线，由变量$t$参数化。本文的目标是将这些曲线转化为如下形式的1D混沌映射：
$$z_i = f(z_{i-1})$$

其中$z_i \in [0, 1]$是映射的状态，$f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$是映射的非线性函数。因此，为了将贝塞尔曲线(1)转化为递推1D公式(8)，映射的前值$z_{i-1}$将充当$x$坐标，而当前值$z_i$将充当$y$坐标。

**分段贝塞尔映射**

继上述映射族(9)之后，可以构建导致无不动点的变体。为实现这一目标，将映射族(9)推广为一段贝塞尔映射族，由两条独立的曲线组成，每条曲线由其自己的控制点描述。该映射族描述如下。

**定义3** 分段贝塞尔曲线映射族定义如下：
$$z_i = \begin{cases} \sum_{i=0}^{n_1} B_i^{n_1}(t_x) \cdot P_{i,y}, & z_{i-1} \in [0, b], \quad t_x \text{ 满足：} \quad z_{i-1} = \sum_{i=0}^{n_1} B_i^{n_1}(t_x) \cdot P_{i,x} \\ \sum_{i=0}^{n_2} B_i^{n_2}(t_x) \cdot Q_{i,y}, & z_{i-1} \in (b, 1], \quad t_x \text{ 满足：} \quad z_{i-1} = m + \sum_{i=0}^{n_2} B_i^{n_2}(t_x) \cdot Q_{i,x} \end{cases}$$

**数值实例**

本节提供三个映射实例并进行研究。

**结论**

本文将贝塞尔曲线作为构造混沌映射的设计工具。提出了两类映射。一类映射由单条贝塞尔曲线函数描述，而第二类映射是分段的，由两条不同次数的贝塞尔曲线函数组成。通过适当调节贝塞尔曲线的控制点，第二类映射将没有平衡点，因此属于具有隐藏吸引子的映射家族。提供了三个映射实例进行

**作者贡献声明**

Lazaros Moysis：撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 原稿，软件，方法论，调查研究，形式分析，概念化。Marcin Lawnik：撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 原稿，验证，监督，调查研究，形式分析。George Fragulis：监督。

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