具有非对称波动性溢出的指数型时空GARCH模型

《Spatial Statistics》：Exponential spatiotemporal GARCH model with asymmetric volatility spillovers

　　

摘要

本文介绍了一种时空指数广义自回归条件异方差（时空E-GARCH）模型，该模型通过纳入非对称波动性溢出效应，扩展了传统的时空GARCH模型，并将时间序列E-GARCH模型推广到具有瞬时、可能的非对称波动性溢出的时空环境中。该模型允许波动性动态在时间和空间上具有依赖性，能够捕捉金融冲击如何在不同时间、空间和网络结构中传播。我们建立了该模型的理论性质，推导出平稳性条件和矩存在性结果。在估计方面，我们提出了一个拟最大似然（QML）估计器，并通过蒙特卡罗模拟评估其有限样本性能。在实证研究中，我们将该模型应用于金融网络，特别分析了股票市场中的波动性溢出效应。我们比较了不同的网络结构，并分析了瞬时波动性相互作用中的非对称效应。

引言

波动性建模对于理解和管理金融市场风险至关重要。经典的时间序列波动性模型（如GARCH模型）能够捕捉波动性随时间的聚类现象，GARCH模型在金融研究中有着悠久的历史（Engle, 1982; Bollerslev, 1986; Andersen and Bollerslev, 1998; Francq and Zakoian, 2019），但现代金融市场在资产和地区之间高度互联。通常，金融市场的维度过高，无法通过仅通过误差的（完整）协方差矩阵来体现瞬时横截面依赖性的多元时间序列GARCH模型（如多元GARCH模型、恒定条件相关性（CCC）或动态条件相关性（DCC）模型（Bauwens et al., 2006; Bollerslev, 1990; Engle, 2002）进行有效管理。此外，我们通常观察到，一个资产的风险在自回归GARCH框架下取决于网络中相邻资产的风险（即相似或“邻近”的资产）（Mattera and Otto, 2024）。因此，“邻近”股票的波动性比相隔较远的股票更相似（也可参见地理第一定律，Tobler (1970)）。Otto和Schmid（2023）将异方差模型扩展到时空领域，提出了一个整合时间和空间波动性聚类的统一框架。

同时，众所周知波动性对新闻的反应是非对称的：负面冲击（坏消息）通常比同等幅度的正面冲击（好消息）更会增加未来的波动性，这种现象被称为杠杆效应（Bekaert and Wu, 2000; BenSa?da, 2019）。传统的GARCH模型本身无法捕捉这种不对称性，这促使Nelson（1991）开发了指数GARCH（E-GARCH）模型，以便正面和负面冲击对波动性产生不同的影响。Haug和Czado（2007）还将这些E-GARCH模型扩展到连续时间E-GARCH模型。鉴于金融网络的互联性以及对冲击的非对称反应，有很强的动机去开发能够同时捕捉时空波动性溢出和非对称效应的模型。

空间模型可以根据观测数据来源于连续空间域的过程、固定的区域或网络单元集合，还是来自空间点过程（Cressie, 2015）来广泛区分。用于连续域的地理统计模型通常通过空间协方差函数来描述依赖性，并通过克里金方法支持对未观测位置的预测。相关的波动性模型包括Huang等人（2011）的随机异方差过程，以及Aouri和Otto（2025）的空间GARCH和波动性克里金框架。相比之下，空间自回归和空间计量经济模型通过从空间权重矩阵构建的空间滞后来表示依赖性（LeSage and Pace, 2009）。这种方法特别适用于区域和网络数据，因为权重矩阵可以编码地理邻近性、经济接近性或一组固定单元之间的观察到的网络连接。本文提出的模型属于这种基于权重矩阵的传统。

近年来，关于波动性溢出和空间波动性建模的研究有所增长。在此背景下，我们将时间序列E-GARCH模型（Nelson, 1991）的非对称冲击响应与基于权重矩阵的时空GARCH模型的同时空间和时间波动性依赖性相结合（Otto et al., 2024, Otto et al., 2018）。尽管最初仅作为Bera和Simlai（2005）的副产品提及，但正式的空间ARCH模型是由Otto等人（2018, 2021）引入的。独立地，Sato和Matsuda（2017）提出了空间对数ARCH模型，旨在捕捉空间过程的对数波动性中的ARCH样依赖性。这些模型为更广泛的时空波动性模型奠定了基础（参见Otto et al., 2025的综述）。当前的框架通过允许正面和负面冲击在邻近单元产生不同的同时溢出效应以及随时间的不同效应，扩展了这一文献。我们推导了平稳性和矩存在性条件，提出了一个拟最大似然估计器，并研究了金融网络中的非对称波动性传递。

为了完整性，空间和时空点过程构成了空间统计学的第三个主要分支。尽管标记点过程模型可以适应空间依赖性的标记（Schlather et al., 2004），但针对这些标记的条件波动性的空间ARCH或GARCH动态似乎尚未得到发展，这构成了未来研究的一个潜在方向。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了指数时空GARCH模型的规格，我们在2.1节分析了该过程的关键随机属性。此外，我们在2.2节讨论了基于对数似然函数的估计和推断。在3.1节中，我们报告了几个数值示例的结果以及针对有限样本的估计器性能的蒙特卡罗模拟。这些方法最终应用于来自两个欧洲市场和一个美国市场的三个金融网络示例。我们比较了不同的网络权重矩阵，并从经济/金融角度解释了估计到的非对称溢出效应。第5节总结了本文的发现，并提出了未来在具有非对称性的时空波动性建模方面的研究方向。

章节片段

模型规格

所提出的时空E-GARCH模型既可用于时空环境，也可用于在（静态）网络上观察到的随机过程。在我们的设置中，我们考虑了一个离散且有限的位置或网络节点集，表示为，并定义了时间$t$和所有位置/节点上的观测向量${\mathit{Y}}_t={\left(Y_t\left({\mathit{s}}_i\right)\right)}_{}$。在本文的其余部分，我们将位置和节点互换使用。观察到的过程定义为$${\mathit{Y}}_t=\text{diag}{({\mathit{h}}_t}^{}$$

模拟研究

在接下来的部分，我们进行模拟研究以评估所提出估计方法的性能。特别是，我们分析了数值反演过程，并评估了不同设置下QMLE的有限样本准确性。

金融市场波动性：来自NYSE、DAX和CAC 40的证据

我们提出了时空E-GARCH模型在金融网络时间序列中的实证应用，特别是关注纽约、德国和法国的股市。分析使用了29只美国股票（NYSE和NASDAQ）、德国DAX指数的36只成分股以及法国CAC 40指数的37只成分股的日价格数据。这一选择是基于这些资产在Yahoo Finance上的价格数据可用性。观测数据涵盖了从2019年10月1日到…

结论和未来研究方向

本文介绍了一种时空指数GARCH模型，它扩展了传统的波动性建模框架，以纳入空间依赖性和非对称溢出效应。除了模型规格外，我们还对其随机属性进行了理论分析，建立了严格稳定性和弱稳定性的条件，并推导出了第一和第二时刻的显式表达式。这些结果提供了对时空波动性行为的基本见解。

致谢

我们衷心感谢德国研究基金会（DFG）项目编号501539976的资助。

Ariane N. Meli Chrisko|Philipp Otto|Wolfgang Schmid