在小噪声渐近条件下对粗糙过程的漂移估计：QMLE方法

《Stochastic Processes and their Applications》：Drift estimation for rough processes under small noise asymptotic : QMLE approach

　　摘要
我们考虑一个随机Volterra方程的解Xε，其漂移函数中包含一个未知参数θ?。Volterra核在接近零时是奇异的，其行为类似于K0(u)=cuα^(-1/1)u>0，其中α属于(1/2, 1)。假设扩散系数与ε→0成正比。基于Volterra过程的离散观测数据（其网格大小h→0），我们构建了一个拟极大似然估计量。主要步骤是评估从Volterra核的反演中重建半鞅路径时所产生的误差。我们证明了这种误差随h^(-1/2)的增加而减小，无论α的值如何。然后，我们可以引入一个显式的对比函数，当ε→0时，该函数能够提供一个高效的估计量。

引言
最近，许多研究致力于具有分数阶导数的微分随机方程。这类方程的结构为CD0+αXt=b(Xt)+a(Xt)dBt/dt，其中CD0+α是α属于(1/2, 1)的Caputo导数，B是一个标准布朗运动。通过反演Caputo导数，这些方程可以表示为积分形式。这种操作产生了类似于（2）中给出的Volterra方程的特例，具有特定的核K（例如参见[1]）。分数阶时间导数方程（1）是描述物理学、数学金融或生命科学等领域中出现的记忆特性的合适模型。关于Volterra方程应用的参考文献包括[2]以及其中的确定性情况，或者[3]、[4]、[5]，这些文献是在能量或金融建模的背景下进行的。

由布朗运动驱动的随机Volterra模型的概率特性首次在开创性论文[6]、[7]中得到研究，这些论文处理的是非奇异核的情况。该模型通过考虑更一般的半鞅[8]、奇异核[9]、非Lipschitz系数[10]、[11]、无限维设置[12]、[13]，或与粗糙路径理论[14]的联系而被扩展。对应于（1）的具有奇异核的Volterra方程生成了所谓的“粗糙”过程，因为解X的H?lder平滑指数α^(-1/2)小于布朗运动的规则指数1/2。这些粗糙过程被广泛研究为金融资产波动性的模型（[15]、[16]、[17]、[18]）。在这些随机波动性模型中，路径粗糙度的估计问题在[19]、[20]中得到了讨论，其中Hurst指数α^(-1/2)是根据价格过程的观测值来估计的。

在这项工作中，我们旨在解决关于模型（1）的漂移函数估计的统计问题。更正式地，我们考虑一个具有核K的Volterra方程的粗糙过程解，其中Xtε=X0ε+ε∫_0^t K(t-s)a(Xsε)dBs+∫_0^t K(t-s)b(Xsε,θ*)ds，θ?是我们想要估计的参数。我们假设核K是奇异的，在接近0时的行为类似于K0(u)=1Γ(α)u^(-1/1)u>0。我们的设置使得该过程接近于一个确定性Volterra模型，因为我们假设噪声渐近地为0（ε→0）。目标是从在某个固定区间[0, T]上对Xε的离散采样中估计漂移函数中的参数θ，其中采样步长h→0。在半鞅模型的框架下，小噪声渐近性已经成为了许多研究的主题（参见[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]）。

从Xε的连续观测中，理论上可以计算出Caputo导数CD0+TXε，进而可以观察到半鞅过程Ztε:=ε∫_0^t a(Xsε)dBs+∫_0^t b(Xsε,θ*)ds。因此，根据Girsanov定理，这个模型的极大似然估计量是显式的。在Volterra Ornstein-Uhlenbeck模型的背景下，这种方法被用于[36]中，以便在T→∞时估计漂移参数。估计量的一致性在[36]中得到了证明。与之相关的工作是[27]，其中构建了一个非最优的漂移函数轨迹拟合估计量。在这里，我们不假设可以获取Xε的连续观测值，这在实践中是不可能的，因此也无法使用精确的极大似然方法。本文解决的第一个问题是根据观测值（Xihε）i=0,?,?T/h?重建过程Zε。我们证明了存在某个基于观测值的进程（Ztε,(h)）t，对于所有p≥1和所有ε∈[0, 1]，有E[|*|Ztε,(h)?Ztε^p]≤c(p)(ε^p/2+hα^p)。

需要强调的是，这种近似结果的速率是非常尖锐的，因为如果ε是常数，它提供了h^(-1/2)阶的近似（见定理3.1），这是半鞅的经典欧拉速率。然而，这种近似是基于对具有H?lder规则性α^(-1/2<1/2)的粗糙过程Xε的抽样。因此，由于奇异核K的反演，我们的近似过程中采样误差得到了减少，从而产生了平滑效果。接下来，使用这个重建的Zε作为第一步，我们构建了一个对比函数，用于估计漂移参数。相应的估计量是渐近高斯的，其速率是ε^(-1)，渐近方差由Fisher信息的倒数给出（见定理4.2和注释4.4）。需要强调的是，为了处理重建误差和对比函数引起的偏差，需要对h有一个快速抽样条件，即h=o(ε^1α^2)。在小噪声渐近的背景下，这种条件并不令人惊讶（例如参见[25]中的扩散情况）。

本文的结构如下。第2节我们给出了模型的假设。第3节我们介绍了通过离散反演Volterra核的近似程序。第4节展示了其在漂移系数统计估计中的应用。第5节我们提供了蒙特卡洛研究，以评估估计量的实际质量。附录包含了技术结果。

模型
我们设（Ω,F,P）为一个概率空间，配备了一个满足常规条件的过滤器F=(Ft)?≥0。在这个空间上，我们定义了一个r维的标准F-布朗运动B。在这个空间上，我们将（Xtε）?∈[0,T]定义为一个d维过程，它是随机微分方程Xtε=X0ε+ε∫_0^t K(t-s)a(Xsε)dBs+∫_0^t K(t-s)b(Xsε,θ*)ds的解。这里，X0ε=x0∈R^d，a:R^d→R^d?R^r，b:R^d×Θ→R^d。这里，我们使用张量积R^d?R^r来表示大小为d×r的矩阵集合。

参数θ?

奇异算子的近似反演
在本节中，我们建立了关于如何反演核K的理论上限

统计应用
在本节中，我们假设Xε是（3）的解。过程Xε在[0, T]上被观测，采样步长等于h＞0，并假设h→0。设Xtε,(h)=Xφ^h(t)ε，并表示Ztε,(h)=L*(X·ε?x0)(t)=∫_0^t L(t-s)(Xφ^h(s)ε?x0)ds。根据前一节，过程Zε,(h)是半鞅Ztε:=ε∫_0^t a(Xsε)dBs+∫_0^t b(Xsε,θ*)ds的近似。我们基于对这个半鞅的近似观测来估计θ。Zε通过Zε,(h)的近似误差是

数值模拟
在本节中，我们通过蒙特卡洛实验探索了估计量在有限样本上的行为。特别是，我们关注调节参数k的选择效果。我们考虑了一个线性模型Xtε=X0ε+ε∫_0^t K(t-s)dBs+∫_0^t K(t-s)(θ_0Xsε+θ_1)ds。由于这个模型的简单结构，估计量可以通过解一个2×2的系统来明确给出，[Δ∑_j=0^(N?1)(XjΔε)^2 Δ∑_j=0^(N?1)XjΔε Δ∑_j=0^(N?1)XjΔε NΔ][θ^0,ε θ^1,ε]=[∑_j=0^(N?1)(Z(j+1)Δε,(h)?ZjΔε,(h))XjΔε ∑_j=0^(N?1)(Z(j+1)Δε,(h)?ZjΔε,(h))]。

真实值

未引用的引用
缺失的引用
表A2、表A5、表A8
Arnaud Gloter | Nakahiro Yoshida