无限二面体群的群代数中的幂等元

《Linear Algebra and its Applications》：Idempotents in the group algebra of the infinite dihedral group

　　

**摘要** 设 ?? 为一个特征不同于 2 的代数闭域。我们给出一个简短而初等的证明，表明无限二面体群 ??∞ 的群代数 ?? = ????∞ 恰好有六个对合元素的共轭类（等价地，幂等元的共轭类）。作为应用，我们重新得到了 Burman 和 Buzási 关于有限生成无穷维不可分解投射 ??-模的分类结果：我们证明存在且仅存在四个这样的（右）??-模（同构意义下），每个都形如 eR，其中 e 是一个幂等元。

**引言** 在这篇短文中，我们考虑一个特征不同于 2 的代数闭域 ??，并研究群代数 ?? = ????∞ 中的对合元素，其中 ??∞ 是无限二面体群 ??∞ = ???, ?? | ??2 = ??2 = 1?。我们使用初等的线性代数技术来分类 ?? 中对合元素的共轭类。主要结果如下定理。

**定理 1** 代数 ?? 恰好有六个对合元素的共轭类，分别是 ?1、1、???、??、??? 和 ?? 的共轭类。元素 ?? ∈ ?? 是幂等元当且仅当 2?? ? 1 是对合元素，且两个元素 ??, ??′ ∈ ?? 共轭当且仅当 2?? ? 1 与 2??′ ? 1 共轭，因此定理 1 等价于断言 ?? 恰好有六个幂等元的共轭类，分别是 0、1、?? := (1???)/2、1??? = (1+??)/2、??′ := (1???)/2 和 1???′ = (1+??)/2 的共轭类。

群 ??∞ 和代数 ?? 因许多原因而有趣，其中一些具有表示论的性质。例如，群 ??∞ 可以将每个由两个对合元表示的群作为其商群，包括每个有限二面体群和无限循环群，因此 ?? 的表示论与这些群的表示论密切相关。此外，代数 ?? 同构于两个半单代数 ????? 的直积 ????? ? ?????，即二阶循环群 ??? 的群代数。值得注意的是，在所有有限循环群的群代数的自由积中，?? 是唯一的具有无限表示类型但对有限维单模的维数有全局上界的代数；见 [3, 命题 5.4]。更一般地，在所有有限多个非平凡有限维半单 ??-代数的自由积中，?? 也是唯一的具有温和表示类型的代数；见 [2, 定理 7.3]。此外，?? 的有限维模范畴可以实现为 4-子空间圈图 ???? 的正则模范畴的子范畴，因此有限维不可分解模都是单序列模，且单模的集合由四个一维模和一个二维单模的单参数族组成；见 [2, 例 7.2]。

自然地，人们会问 ?? 中的幂等元在共轭意义下有哪些。除其本身有趣之外，共轭类的分类也揭示了 ?? 的表示论，特别是 ?? 的无穷维（右）模（见注 5）。在此方向上作为应用，我们利用定理 1 证明，在同构意义下，模 ????、(1???)??、??′?? 和 (1???′)?? 构成不可约幂等元 ?? 形如 ???? 的不可分解投射 ??-模的完备且无冗余的列表（推论 4）。值得注意的是，此处的无冗余性并不能直接从定理 1 得到，因为幂等元 ??, ??′ 之间的同构 ???? ? ??′?? 并不能保证 ?? 和 ??′ 共轭 [5, 引理 2.2]。由幂等元 ?? 产生的 ???? 形模之所以重要，是因为每个有限生成的不可分解无穷维投射 ??-模均已知具有这种形式 [1, 定理 1]。因此我们的结果表明，存在且仅存在四个有限生成的无穷维不可分解投射 ??-模（同构意义下），它们与 ?? 的原幂等元的共轭类之间存在自然的单射对应。我们指出，虽然此单射对应的存在性也可从 [1, 定理 6] 得到，但该定理的证明涉及对 ??-模限制到 ???? 的仔细分析，其中 ?? 是 ??∞ 中由元素 ???? 生成的无限循环子群。相比之下，定理 1 允许我们通过更简单的论证推导出该单射对应，而无需依赖于 ??。

我们注意到，在我们将本文的早期草稿上传至 arXiv 后，C. Pazzis 向我们指出代数 ?? 是一个自由 Hamilton 代数的例子。我们的定理是其结果 [4, 第 10 节] 的一个特例。

**小节片段**

**预备知识和主要结果** 设 ?? = ?????, ?? | ??2 = ??2 = 1?。令 ?? = ??，?? = ????，令 ?? = ??[??, ???1] 为对应的 Laurent 多项式环。注意 ?? 也可以表示为 ?? = ?????, ?? : ??2 = 1, ???? = ?????1?。特别地，?? 由形如 ??? 和 ?????（其中 ?? ∈ ?）的元素张成，且每个元素 ?? ∈ ?? 可以唯一地写成 ??(??) + ????(??) 的形式，其中 ??, ?? ∈ ??。容易验证 ?? 通过如下单同态嵌入到 ???×?(??) 中：

??: ?? → ???×?(??)，??(??) + ????(??) ? \[ \begin{pmatrix} ??(??) & ??^*(??) \\ ??(??) & ??^*(??) \end{pmatrix} \]

其中 ^* : ?? → ?? 是对合环……

**定理 2 的证明** 在本节中，我们利用 (2) 中的嵌入 ι 将 ?? 与其在 ???×?(??) 中的像等同起来。令

??_{??,??} = \[ \begin{pmatrix} 0 & ????^{???} \\ ????^{??} & 0 \end{pmatrix} \]

集合 {??_{??,??} : ?? ∈ {1, ?1}, ?? ∈ {0, 1}} 与集合 {??, ???, ????, ?????} 相同。为证明定理 2，只需证明 ?? 中每个满足 ??2 = 1 且 ?? ≠ ±1 的元素 ?? 恰与共轭于集合 {??_{??,??} : ?? ∈ {1, ?1}, ?? ∈ {0, 1}} 中的唯一一个元素。

设 ?? ∈ ?? 如上所述。由于 ??2 = 1，?? 的最小多项式 ??_??(??) 整除 ??2 ? 1 = (???1)(??+1)；因此 ??_??(??) 等于 ???1、??+1 或 ??2?1。在前两种……

**致谢** I.D.、C.P. 和 D.W. 得到了加拿大自然科学与工程研究委员会的部分支持，资助号分别为 RGPIN-2026-06160、RGPIN-2026-05988 和 RGPIN-2024-05714。此外，C.P. 和 D.W. 得到了加拿大国防学院研究计划的部分支持，I.D. 得到了保加利亚科学基金的部分支持，资助号为 KP-06-N92/5。

Ivan Dimitrov | Charles Paquette | David Wehlau | Tianyuan Xu