收缩实汉克尔矩阵补全及其关联的有向子图

《Linear Algebra and its Applications》：Contractive real Hankel matrix completion and associated directed subgraphs

　　

## 摘要

我们研究了压缩实Hankel矩阵补全问题，并确定了在什么情况下一个部分指定的Hankel矩阵可以具有实压缩补全。我们的方法在分块矩阵框架内对Parrott定理进行了改进，使我们能够描述部分Hankel矩阵的补全可行性如何依赖于其较小的Hankel子矩阵的压缩行为。然后我们将这些解析条件与指定条目模式所对应的有向图的结构联系起来。特别是，对于良定的Hankel模式，我们通过图论术语刻画了具有图 $G(P_n)$（$n \geq 1$，参见下文定义）的推广性质(B)，即通过确定保证实压缩Hankel补全存在的精确有向子图。这为所考虑的一类部分Hankel矩阵的补全问题提供了完整解决方案，并阐明了分块矩阵构造、压缩延拓和底层图组合特征之间的相互作用。

## 引言

部分矩阵是一个矩形数组，其中某些条目已指定，而其他条目未确定。部分矩阵的补全是对未指定条目取值的一种选择。如果一个部分矩阵的每个完全确定的子矩阵（通过选择行和列得到）的算子范数至多为1（即为压缩算子），则该部分矩阵称为良定的。特别地，如果部分Hankel矩阵是良定的，则称其为压缩部分Hankel矩阵。压缩实Hankel矩阵补全问题问的是：给定一个压缩部分实Hankel矩阵，是否存在一个压缩实Hankel补全？一个具有压缩实Hankel补全的压缩部分实Hankel矩阵称为可解的。由于压缩算子的任何子矩阵本身也是压缩算子，可解性的必要条件是所有的子矩阵都是压缩算子。

对 $m, n \in \mathbb{N}$，令 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 表示所有 $m \times n$ 实矩阵的集合。设 $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$，定义部分Hankel矩阵

$$H_n \equiv H_n(a_1, a_2, \ldots, a_n; x_1, \ldots, x_{n-1}) := \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ a_2 & a_3 & \cdots & a_n & x_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & a_n & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2} \\ a_n & x_1 & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1} \end{pmatrix}$$

其中 $x_1, \ldots, x_{n-1} \in \mathbb{R}$ 为未指定的条目。对 $1 \leq p \leq n$ 和 $1 \leq q \leq n$，令 $H_{p \times q}$ 表示 $H_n$ 的一个连续 $p \times q$ 子矩阵。我们考虑部分Hankel矩阵 $H_n$ 的以下推广性质。

我们说 $H_n$ 具有推广性质(A)，如果每个满足 $pq \leq (n-1)^2$ 的 $H_{p \times q}$ 都具有实压缩补全。

$H_n$ 具有推广性质(B)，如果对任何满足 $pq \leq (n-1)^2$ 且具有压缩补全的 $H_{p \times q}$，将其左侧扩展向量 $A \in M_{p \times 1}(\mathbb{R})$ 后的扩展矩阵 $(A, H_{p \times q})$ 也具有压缩补全。

$H_n$ 具有推广性质(C)，如果每个满足 $pq \neq n^2$ 的 $H_{p \times q}$ 都具有实压缩补全。

### 子章节：具有应用背景的问题

在压缩实矩阵类中研究补全问题，部分地受到了加权稀疏恢复问题中稀疏（或稠密）矩阵以及推荐系统中具有部分条目的评分矩阵的应用所启发（[6]、[10]、[13]），这些在数据和计算机科学领域均有涉及。它也受到Parrott定理（见引理4.1）以及相关研究（[2, 问题1.1和1.7]、[7]、[11]）的启发，这些研究涉及C. Foias关于Hankel补全提出的问题和C. R. Johnson提出的问题。

### 主要结果

考虑以下受Parrott定理（见引理4.1）和研究（[4]、[14]）部分启发的压缩实矩阵补全问题。

**定理3.1** 设 $A$ 和 $B$ 为压缩实矩阵。考虑实矩阵 $X$ 和 $Y$，其条目初始未指定，以及分块矩阵

$$T = \begin{pmatrix} X & A \\ B & Y \end{pmatrix}$$

则 $T$ 具有实压缩补全（即可以选择未指定的条目使得 $\|T\| \leq 1$）当且仅当两个分块矩阵

$$\begin{pmatrix} X \\ B \end{pmatrix} \quad \text{和} \quad \begin{pmatrix} X & A \end{pmatrix}$$

本身可以被补全为压缩算子。

## 附录

为了方便读者，我们在本节中收集了在主定理证明中使用的一些众所周知的辅助结果。全文中，令 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 为Hilbert空间。

**引理4.1**（[5]、[14, 定理12.22]）（Parrott定理）设 $P, Q$ 分别为 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 上的正交投影。假设有界线性算子

$$A: P\mathcal{H} \to Q\mathcal{K}, \quad B: P\mathcal{H} \to (I-Q)\mathcal{K}, \quad C: (I-P)\mathcal{H} \to Q\mathcal{K}$$

给定。则存在有界线性算子 $X: (I-P)\mathcal{H} \to (I-Q)\mathcal{K}$ 使得

$$\left\| \begin{pmatrix} A & C \\ B & X \end{pmatrix} \right\| = \max\left\{ \left\| \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \right\|, \; \left\| \begin{pmatrix} A & C \end{pmatrix} \right\| \right\}.$$

**引理4.2** [3] 对一个 $n \times n$ 矩阵 $M$，如果……

## 生成式AI及AI辅助技术声明

在本文撰写过程中，作者使用了ChatGPT来提高稿件的语言和可读性。在使用该工具/服务后，作者对内容进行了审阅和编辑，并对已发表文章的内容承担全部责任。

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