J-厄米特矩阵锥与一个几何平均

《Linear Algebra and its Applications》：The cone of J-Hermitian matrices and a geometric mean

　　

摘要 我们研究与不定符号矩阵 $J = I_{d_{p,q}}$ 相关联的正 $J$-Hermite 矩阵锥 $\mathcal{P}_J$。我们证明了 $J$-指数映射是双射的，并利用它来分析 $\mathcal{P}_J$ 的代数和几何结构。通过一个与正定矩阵锥的典范识别，我们为 $\mathcal{P}_J$ 赋予了一个自然的黎曼结构。在此设定下，我们将 $J$-几何平均定义为测地线的中点，并证明它可以被唯一地刻画为 Riccati 型方程的解。

引言 定义两个正定矩阵的几何平均的问题首先由 Pusz 和 Woronowicz [18] 通过谱方法得到了令人满意的解答。他们将其定义为
$$A \sharp B = A^{1/2}(A^{-1/2} B A^{-1/2})^{1/2} A^{1/2}.$$
随后，基于 Kubo 和 Ando [14] 对算子平均的系统研究，这个平均的加权版本可以自然地定义为 $t \in [0,1]$ 时
$$A \sharp_t B = A^{1/2}(A^{-1/2} B A^{-1/2})^t A^{1/2}.$$
从那时起，这个平均从许多不同的视角得到了研究。例如，Ando-Hiai 不等式 [1] 指出
$$A \sharp_t B \leq I_{\text{id}} \implies A^p \sharp_t B^p \leq I_{\text{id}}, \quad (p \geq 1).$$
这个不等式有若干应用，从 Golden-Thompson 不等式到 Furuta 不等式。

在另一个方向上，正定矩阵的加权几何平均从黎曼几何的视角得到了研究。在 [6] 中，Bhatia 和 Holbrook 将加权几何平均建立为连接正定矩阵锥中两点的测地曲线。与这一视角密切相关的是一些事实：CAT(0) 空间中存在唯一的质心。在这种意义上，几何平均被实现为质心
$$A \sharp B = \operatorname{arg}\min_{X \geq 0}(\delta^2(X, A)^2 + \delta^2(X, B)^2).$$
这种视角自然地引出了多元几何平均，但本文不涉及这个话题。感兴趣的读者可参阅 [15] 以获取更多细节。

然后是关于将几何平均的定义推广到正定矩阵以外的其他空间的问题。例如，Hiai 和 Kosaki 将定义推广到了正 $\tau$-可测算子和 Haagerup 的 $L_p$ 空间中的正元素 [11]。在 Choi、Kim 和 Lim 的近期论文 [7] 中，他们为单幂矩阵的加权几何平均提供了一个二项式公式。在此，我们引用 [17] 中的工作，其中他们通过 Lie 论方法建立了非紧型对称空间的几何平均。

谱方法在这些构造中是关键成分，但它依赖于谱定理，因而依赖于算子的自伴性。当算子不是 Hermite（甚至不是正规的）时，谱方法不再适用，正算子平均的经典理论也不再可行。然而在许多应用中，这一限制并不具有约束性，因为算子通常是自伴的。

在相对论或不定度量的设定中，相关的算子通常不具有通常 Hilbert 空间意义上的自伴性。例如，在 Minkowski 空间中，Lorentz-Hermite 算子起着类似于量子理论中 Hermite 算子的作用。这推动了替代框架的发展，将平均的理论推广到 Krein 空间，超出正定的情况，我们在本文中对几何平均这一问题进行探讨。这个问题已在 [8] 中研究过。然而，他们未能通过算子论技术将该理论推广到此设定。算子论技术在不定设定中的失效促使了一种基于 Lie 论和表示论工具的结构方法，使我们能够获得通过经典谱方法无法得到的显式公式和全局几何描述。在 Krein 空间上研究矩阵分析主题并非新鲜事物，例如可参阅 [2]、[3]、[4] 等文献。

设 $\mathbb{D} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}\}$，设 $J$ 是 $\operatorname{Mat}(n) := \operatorname{Mat}(n \times n, \mathbb{D})$ 中的矩阵 $J = \operatorname{diag}(I_p, -I_q)$，其中 $p + q = n$。利用 $J$，我们在 $\operatorname{Mat}(n)$ 上定义一个对合 $A \mapsto A^\sharp := JA^*J$，其中 $A^* = \overline{A^t}$，它在不定设定中起到伴随的作用。我们用 $\mathfrak{p}_J := \{X \in \operatorname{Mat}(n), X^\sharp = X\}$ 表示 $J$-Hermite 矩阵的实向量空间，并令 $\mathfrak{p} = \{X \in \operatorname{Mat}(n), X = X^*\}$。令 $\mathcal{P}$ 为 $\mathfrak{p}$ 中给定的子集 $\mathcal{P} := \{X \in \mathfrak{p}, X \text{ 是正的}\}$。众所周知，指数映射 $\exp: \mathfrak{p} \to \mathcal{P}$ 是良好定义且双射的。在本文中，我们在 $\mathfrak{p}_J$ 中定义了一个与 $\mathcal{P}$ 类似的对数。然而，指数映射限制在 $\mathfrak{p}_J$ 上不是单射的，因此这不是我们工作中的处理路径。

在 $\mathfrak{p}_J$ 中，我们区分一个开锥
$$\mathcal{P}_J := \{A \in \mathfrak{p}_J, JA \text{ 是正的}\},$$
我们称之为 $J$-正矩阵锥（在 $\mathfrak{p}_J$ 中）。虽然 $\mathcal{P}_J$ 对乘法不稳定，但它具有若干类似于经典正定 Hermite 矩阵锥 $\mathcal{P} := \exp(\mathfrak{p})$ 的性质。特别地，$\mathcal{P}_J$ 对逆稳定，且群 $\operatorname{GL}(n)$ 通过合同变换在 $\mathcal{P}_J$ 上迁移地作用。

在此，我们希望将我们的结果与 [17] 中获得的结果进行对比。虽然空间 $\mathcal{P}_J$ 同构于一个非紧型对称空间，但从 [17] 的研究来看，从计算角度来看如何进行尚不清楚。最明显的例子是四元数情形，其中黎曼度量来自缩减迹而非通常的迹（见附录 A）。他们的构造依赖于 Lie 代数层面的经典指数映射，而后者的全局双射性在 $J \neq I_n$ 的不定设定下不成立。因此，我们的工作应被视为与 [17] 的互补。

本文中一个中心角色由线性映射 $\Phi_J: \mathfrak{p}_J \ni X \mapsto JX \in \mathfrak{p}$ 扮演，它限制为 $\mathcal{P}_J$ 与经典正锥 $\mathcal{P}$ 之间的光滑双射。这一识别使我们能够将 $\mathcal{P}$ 的分析和几何结构转移到 $\mathcal{P}_J$。特别地，我们定义 $J$-指数映射为
$$\exp_J(X) := J\exp(JX), \quad (X \in \mathfrak{p}_J),$$
它给出了从 $\mathfrak{p}_J$ 到 $\mathcal{P}_J$ 的全局微分同胚。双射性立即从 $\mathfrak{p}$ 上经典指数映射 $\exp$ 的双射性和线性同构 $\Phi_J$ 得出。其逆映射 $\log_J$ 提供了一个自然框架，通过从 $\mathcal{P}$ 的经典几何拉回，在 $\mathcal{P}_J$ 上定义测地线和黎曼结构。

在集合 $\operatorname{Mat}(n)$ 上，我们用 $\bullet$ 表示由
$$X \bullet Y = XJY, \quad (X, Y \in \operatorname{Mat}(n))$$
给出的乘法。这个乘法是结合的，且满足 $X \bullet J = J \bullet X = J$。此外，矩阵 $A$ 可逆当且仅当存在矩阵 $B \in \operatorname{Mat}(n)$ 使得 $A \bullet B = B \bullet A = J$，且 $B = JA^{-1}J$。这个乘法使我们能以特别简单的形式定义测地线。

我们用 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $\mathcal{P}$ 上的黎曼度量
$$\langle U, V \rangle_P = \tilde{\operatorname{tr}}(P^{-1}UP^{-1}V), \quad (P \in \mathcal{P}, U, V \in T_P(\mathcal{P}) \cong \mathfrak{p}),$$
其中 $\tilde{\operatorname{tr}}: \operatorname{Mat}(n) \to \mathbb{R}$ 定义为
$$\tilde{\operatorname{tr}}(X) = \begin{cases} \operatorname{tr}(X) & \text{如果 } \mathbb{D} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} \\ \operatorname{Re}(\operatorname{tr}(X)) & \text{如果 } \mathbb{D} = \mathbb{H} \end{cases}$$
并令 $\omega := \Phi_J^*\langle \cdot, \cdot \rangle$ 为黎曼度量拉回到 $\mathcal{P}_J$ 的结果。在第 5 节中，我们证明了以下定理。

**定理 1.1** 设 $A, B \in \mathcal{P}_J$。映射 $\gamma: [0,1] \to \mathcal{P}_J$ 由
$$\gamma(t) := A^{1/2}_J \bullet (A^{-1/2}_J \bullet B \bullet A^{-1/2}_J)^t_J \bullet A^{1/2}_J, \quad (t \in [0,1])$$
给出，它是 $\mathcal{P}_J$ 中关于 $\omega$ 从 $A$ 到 $B$ 的测地线方程，其中 $X^t_J$ 是 $\mathcal{P}_J$ 中由
$$X^t_J = \exp_J(t \log_J(X)), \quad (X \in \mathcal{P}_J)$$
给出的矩阵。

在此设定下，我们引入 $J$-几何平均作为 $\mathcal{P}_J$ 中测地线的中点，即
$$A \sharp_J B := A^{1/2}_J \bullet (A^{-1/2}_J \bullet B \bullet A^{-1/2}_J)^{1/2}_J \bullet A^{1/2}_J, \quad (A, B \in \mathcal{P}_J).$$
我们的主要结果表明，这个平均具有一个与 Pusz-Woronowicz 构造平行的显式封闭公式，并满足基本性质，如在 $\operatorname{GL}(n)$ 下的合同不变性、关于 $J$-Loewner 序的单调性，以及在识别 $\Phi_J$ 下与经典几何平均的相容性。

理论框架在第 2 节中建立，谱方法在第 3 节中引入。在第 4 节中，我们引入了我们情形中的 $J$-Loewner 序。在第 5 节中，我们研究 $J$-正矩阵锥上的测地曲线并得出 $J$-正矩阵加权几何平均的定义，我们在第 6 节中研究其基本性质并得出最终结论。在附录 A 中，我们给出正四元数 Hermite 矩阵锥的构造。

**$J$-Hermite 矩阵的锥**

设 $\mathbb{D} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}\}$，设 $\iota$ 是 $\mathbb{D}$ 上的对合，定义为 $\iota(X) = \overline{X}$；特别地，对于 $\mathbb{D} = \mathbb{R}$，$\iota$ 是平凡的，而对于 $\mathbb{D} = \mathbb{H}$（见附录 A.1），我们有
$$\iota(X := a + ib + jc + kd) = a - ib - jc - kd, \quad (X \in \mathbb{H}).$$
设 $V$ 是一个右 $\mathbb{D}$-模，$\dim_{\mathbb{D}}(V) = n$，设 $B$ 是 $V$ 上的非退化 $(\iota, 1)$-Hermite 形式，即对所有 $x, y, z \in V$ 和所有 $\alpha, \beta \in \mathbb{D}$，
$$B(x, y\alpha + z\beta) = B(x,y)\alpha + B(x,z)\beta, \tag{2}$$
$$B(x\alpha + y\beta, z) = \overline{\alpha}B(x,z) + \overline{\beta}B(y,z), \tag{3}$$
$$B(y, x) = \overline{B(x,y)}, \tag{4}$$
$$\operatorname{Rad}(B) := \{y \in V, B(x,y) = 0, (\forall x \in V)\} = \{0\}.$$
我们用 $\operatorname{End}(V) := \operatorname{End}_{\mathbb{D}}(V)$ 表示 $V$ 上线性映射的集合，即
$$\operatorname{End}(V) := \{T: V \to V, T\text{ 是线性的}\}.$$

**$\mathcal{P}_J$ 上的 $J$-指数映射及其性质**

设 $\exp_J: \mathfrak{p}_J \to \mathcal{P}_J$ 为第 (4) 式中定义的 $J$-指数映射。如第 2 节所述，映射 $\exp_J$ 是双射的。令 $\log_J := \exp_J^{-1}: \mathcal{P}_J \to \mathfrak{p}_J$ 为 $\exp_J$ 的逆。特别地，我们有
$$\log_J(X) = J\log(JX), \quad (X \in \mathcal{P}_J),$$
其中 $\log: \mathcal{P} \to \mathfrak{p}$ 是 $\exp: \mathfrak{p} \to \mathcal{P}$ 的逆。

**定义 3.1** 对所有 $t \in \mathbb{R}$ 和 $X \in \mathcal{P}_J$，我们用 $X^t_J$ 表示 $\mathcal{P}_J$ 中由
$$X^t_J = \exp_J(t\log_J(X))$$
给出的矩阵。若 $t = 1/2$，则矩阵 $X^{1/2}_J$ 是 $X$ 的 $J$-平方根。

**注 3.2** 对所有 $A \in \mathcal{P}$ 和 $t \in \mathbb{R}$，我们用 $A^t$ 表示 $\mathcal{P}$ 中由
$$A^t = \exp(t\log(A))$$
给出的矩阵。我们有如下性质。

**锥 $\mathcal{P}_J$ 上的 Loewner 序**

本节我们从回顾 $\mathcal{P}$ 上 Loewner 序的定义开始。首先，我们用 $\mathcal{P}_0$ 表示 $\mathfrak{p}$ 中正半定 Hermite 矩阵的集合，即
$$\mathcal{P}_0 := \{X \in \mathfrak{p}, BJ(Xu, u) \geq 0, (u \in \mathbb{D}^n)\}.$$
特别地，$\mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}_0$，若 $X \in \mathcal{P}_0$，我们记 $X \geq 0$。

$\mathcal{P}$ 上的 Loewner 序是偏序，定义为
$$A \preceq B \iff B - A \in \mathcal{P}_0,$$
即 $B - A$ 是正半定 Hermite 矩阵。等价地，$A \preceq B$ 当且仅当 $v^*(B-A)v \geq 0$ 对所有非零 $v \in \mathbb{D}^n$ 成立。

**注 4.1** 该序在合同变换下是封闭的。确实，若

**锥 $\mathcal{P}_J$ 上的测地线**

本节我们从回顾 $\mathcal{P}$ 上正 Hermite 矩阵锥的一些经典结果开始（$\mathbb{D} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ 时参见 [5]，$\mathbb{D} = \mathbb{H}$ 时参见附录 A）。对每个 $P \in \mathcal{P}$，我们将切空间 $T_P\mathcal{P}$ 与 $\mathfrak{p}$ 识别。$\mathcal{P}$ 上的黎曼度量定义为
$$\langle U, V \rangle_P = \tilde{\operatorname{tr}}(P^{-1}UP^{-1}V), \quad (U, V \in T_P(\mathcal{P}) \cong \mathfrak{p}),$$
其中 $\tilde{\operatorname{tr}}: \mathbb{D} \to \mathbb{R}$ 定义为
$$\tilde{\operatorname{tr}}(X) = \begin{cases} \operatorname{tr}(X) & \text{如果 } \mathbb{D} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} \\ \operatorname{trd}(X) & \text{如果 } \mathbb{D} = \mathbb{H} \end{cases}$$
其中 $\operatorname{trd}$ 是第 (16) 式中定义的缩减迹。

如 [5] 和定理 A.20 所述，连接 $\mathcal{P}$ 中 $P$ 和 $Q$ 的唯一测地线为
$$\gamma(t) = P^{1/2}(P^{-1/2}QP^{-1/2})^t P^{1/2}.$$

**锥 $\mathcal{P}_J$ 上的几何平均**

本节我们从回顾 [14] 关于 $\mathcal{P}$ 上几何平均的主要结果开始（注意 [14] 的结果是针对 $\mathbb{D} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ 的；四元数情形的类似结果可在附录 A 中找到）。对两个矩阵 $A, B \in \mathcal{P}$ 和 $t \in [0,1]$，我们用 $A \sharp_t B$ 表示 $\operatorname{Mat}(n)$ 中由
$$A \sharp_t B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^t A^{1/2}$$
给出的矩阵，并令 $A \sharp B = A \sharp_{1/2} B$。如第 (9) 式所述，$A \sharp_t B \in \mathcal{P}$ 对所有 $t \in [0,1]$ 成立。

本节的目标是给出我们锥 $\mathcal{P}_J$ 上几何平均的类似物。我们指出，通过

Jose A. Franco | Allan Merino