摘要
持久性、共存性以及边界跨临界继电器通常在数学流行病学、生态学、种群动力学和化学反应网络理论中通过模型特定的分析加以研究。尽管这些领域所探讨的问题密切相关，但它们大体上各自独立发展。这种分离现象在一方面体现为：生态学的化学静态系统和梯度静态系统文献中对多菌株流行病模型的提及非常有限，尽管一旦引入化学反应网络理论中的虹吸概念，两者就被揭示为非常相似；另一方面则体现为：生态流行病学中的下一代矩阵和入侵图在化学反应网络理论中未被提及。我们的贡献首先是概念性、术语性和定义性的：我们为所有正常微分方程子领域中边界现象的研究提出了一个共同框架。我们引入并形式化了诸如与虹吸面相关联的再生函数和入侵函数、继电器图、继电器表以及边界跨临界继电器等概念。其中一些概念在以上某个领域中已被知晓，但在其他领域中则基本缺失，而另一些概念似乎是全新的；综合起来，它们暗示了一种用于分析正动力系统边界现象的共同语言。该框架的实用性在诸如Feng–Gavish模型的多菌株流行病模型上得到了例证，我们由此推导出了显式且可检验的条件。例如，适合度较低的菌株入侵适合度较高的菌株的平衡态是共存性的充分条件——在永久免疫下该条件无条件成立，而在其他情形下则需与一个降阶共存多项式上的显式可行性条件共同成立（对于该模型，相互入侵性也能确保持久性；入侵是否为共存性的必要条件，以及在何种显式进一步假设下某一准则或另一准则适用于更大范围的模型类，目前仍是开放性问题）。我们的方法基于四个支柱：（i）虹吸（化学反应网络中的概念）几何，即前向不变坐标面对应于虹吸，而无病面为极小虹吸的交集；（ii）最近确立的一个事实，即虹吸面上的横截Jacobian块是Metzler矩阵，这使得其Perron特征向量的作用成为焦点；（iii）一个分岔定理，将边界跨临界入侵继电器处的特征值穿越与相邻面上正分支的涌现联系起来；（iv）下一代矩阵，这是数学生态学的概念：在虹吸面上，可通过正则分裂定义下一代矩阵，并通过将其谱半径与1比较来判定入侵性。
