带输入饱和和推进器错位的自由飞行空间机器人流形上鲁棒跟踪控制

《Journal of the Franklin Institute》：On-manifold robust tracking control of a free-flying space robot with input saturation and thruster misalignment

　　

## 摘要

本文针对具有多重约束（如参数不确定性、外部扰动、输入饱和和喷管失准）的自由飞航天机器人的非线性动力学与可微流形上的跟踪控制问题展开研究。不同于因奇异性、歧义性和复杂性问题而受限的全局参数化建模方法，本研究利用矩阵李群和李代数对机器人动力学进行唯一、全局且解析的表述。通过在 SE(3)×?? 上设计构型误差函数，在可微流形的切丛上推导出跟踪误差动力学。随后，提出了一种几何终端滑模控制（GTSMC）策略，以实现参数不确定性和外部扰动存在下的预定时间轨迹跟踪。此外，为提高控制算法在实际航天机器人中的适用性，本文还针对航天任务中常见的执行器饱和和喷管失准问题进行了处理。最后，通过数值仿真验证了所开发的几何控制方案的有效性和性能。

## 引言

自由飞航天机器人通常具有全驱动基座并配备单臂或多臂机械臂，是支撑广泛应用的关键使能技术[1]，包括目标捕获与迁移[2]、[3]、在轨服务与制造[4]、[5]、[6]，以及小行星采样与采矿[7]。航天机器人通常被视为多体系统，其各部件之间存在动力学耦合，因此机器人系统的动力学建模和控制综合面临挑战。若进一步深入考虑参数摄动、外部扰动和执行器限制等问题，则问题将变得更加难以处理[1]、[8]、[9]。

为捕获机器人的非线性动力学，应建立适当的建模方案来描述机器人刚体的构型（即位置和姿态）。Rodrigues参数、欧拉角和单位四元数常被用于姿态表示[10]、[11]。尽管这些方法有效，但在使用某些特定姿态表示时，会遇到运动学奇异性和歧义性问题，因为任何最小的三参数表示都无法全局覆盖姿态空间，而过度参数化的表示则构成姿态空间的双重覆盖。幸运的是，特殊欧氏群 SE(3)及其李代数 se(3) 提供了一种统一的框架，可在无奇点、无歧义的情况下捕获刚体的平移和定向行为[12]。更重要的是，利用该形式，速度和变换均在体固定坐标系中表示，刚体运动引起的几何非线性被从运动方程中消除，因此所获得的动力学模型的非线性程度相较于经典公式显著减弱。此外，固定基座机械臂的某些重要性质，如有界性性质和反对称性性质，对于用几何方法建模的浮基航天机器人模型仍然成立。SE(3) 实际上是一个 4×4 矩阵集合，构成一个非线性流形。非线性流形指的是在每个点邻域内局部类似于欧氏空间的弯曲拓扑空间[13]。相应地，SE(3) 上的跟踪误差描述与线性空间中的描述有显著差异。为确定 SE(3) 上实际构型与参考构型之间的误差，通常采用两种几何方法：一种是利用 SE(3) 的对数映射，以指数坐标形式建立构型误差向量[14]；另一种是在 SE(3) 上适当定义构型误差函数，并从误差函数的导数中推导以切空间表示的构型误差向量[15]、[16]。基于构型误差定义，然后可利用定义在 se(3) 上的伴随作用构造速度误差向量。基于以指数坐标或构型误差函数的梯度向量表示的速度误差和构型误差，已提出了多种几何控制算法，如比例-微分（PD）控制[14]、[15]、自适应控制[17]、[18]、反步控制[19]、动态面控制[20]，以及滑模控制（SMC）[21]、[22]、[23]、[24]。

SMC 是一种鲁棒控制技术，能够通过施加不连续控制作用来改变非线性系统的动态行为[25]。由于 SMC 对未知但有界扰动（如参数不确定性和外部扰动）不敏感，它已被确定为广泛非线性系统类别鲁棒控制的有效解决方案[26]。然而，采用线性滑模面的经典 SMC 仅能使闭环系统达到渐近稳定。为缩短调节时间，终端滑模控制（TSMC）通过引入非线性滑模面，为闭环系统提供有限/固定/预定时间稳定性，从而进一步提出[27]。与经典 SMC 相比，TSMC 具有更高的鲁棒性和更好的控制性能。由于这些优势，许多优秀的研究论文报告了 TSMC 在机器人和航天器领域的应用[28]、[29]、[30]、[31]。然而值得注意的是，这些研究都是在欧氏空间中演化的动力学系统上进行的，显然不适用于 SE(3) 上存在的系统。为解决这一问题，已开发了基于指数坐标描述构型误差的几何终端滑模控制（GTSMC）算法[21]、[22]、[23]。显著的是，当在这些控制方案中使用指数坐标时，研究人员总是获得一个特殊的误差运动学方程，其系数矩阵的特征值趋于无限接近于零，从而使终端滑模面（TSS）的有限/固定时间稳定性难以实现。因此，研究者进一步寻求一种能确保系统状态位于 TSS 上时具有指定调节时间的 GTSMC 方法[24]。尽管如此，与现有 GTSMC 研究中涉及的有限/固定时间稳定性相比，预定时间稳定性是控制系统的更优选择，因为其给出的调节时间与初始条件无关，且可直接视为控制参数[32]、[33]。据我们所知，为航天机器人设计预定时间 GTSMC 策略仍然是一个开放问题。

另一方面，众所周知，执行器是控制系统中的关键设备，在完成控制任务中起着至关重要的作用[34]。在自由飞航天机器人中，机械臂通常由安装在关节上的电机驱动，而基座航天器可能由各种执行器驱动，如反作用飞轮、控制力矩陀螺、磁扰器及喷管。鉴于大多数航天机器人被设计用于执行近距离操作，在这些场景中，机器人与目标之间相对轨道运动的时间和空间尺度与机器人与目标之间相对姿态运动的时间和空间尺度没有显著差异，因此使用喷管来实现基座航天器轨道和姿态操纵的统一执行器配置是一个很好的选择[35]。然而在实际中，喷管可能存在的安装偏差对航天机器人的控制构成潜在威胁，因为它们会导致轨姿耦合，进而加剧机器人动力学的非线性[22]、[35]。除喷管失准外，航天机器人面临的另一个挑战是执行器饱和的存在，如果处理不当，可能导致控制性能下降甚至失稳等问题[19]、[22]、[29]、[36]、[37]、[38]。显然，执行器的物理约束使自由飞航天机器人的几何控制成为一个挑战。

受前述讨论的启发，本文首次尝试开发一种鲁棒 GTSMC 策略，以实现 SE(3) 上自由飞航天机器人的预定时间轨迹跟踪。与之前关于航天机器人的研究相比，本文的主要亮点在于：

（1）基于所构建的几何动力学，在 SE(3)×?? 上新设计了构型误差函数，以推导存在于可微流形切丛上的跟踪误差动力学，为几何控制设计奠定了基础。

（2）提出了一种涉及几何终端滑模面（GTSS）的新型 GTSMC 方案，以实现航天机器人在预定时间内跟踪参考轨迹。

（3）与本文先前工作[20]中仅适用于运动学非冗余操作器的几何控制策略不同，所开发的方案对具有任意数量旋转关节的操作器均有效。此外，为确保几何控制器在苛刻环境条件下的鲁棒性，本研究考虑了参数不确定性、外部扰动、输入饱和和喷管失准等问题。

本文其余部分结构如下。第2节推导 SE(3) 上演化的航天机器人的非线性动力学并给出控制目标。第3节表述跟踪误差动力学，并据此开发一种 GTSMC 方案，以实现关节空间中的预定时间轨迹跟踪。第4节通过数值仿真评估几何控制算法的跟踪性能。最后，第5节对本文进行总结。

## 记号说明

设 ?、??、?? 和 ???? 分别为非负整数集、正实数集、n 维实向量和 m×n 维实矩阵集合。E(0) 表示维度相容的单位（零）矩阵。|·| 表示标量的绝对值。‖·‖ 表示向量或矩阵的2-范数。符号函数定义为 sgn(·)。对角矩阵用 diag{···} 表示。对于由标量 k?, k?, ···, k? 组成的集合，最大（最小）元素用 max{k?, k?, ···, k?}（min{k?, k?, ···, k?}）描述。对于矩阵 K，其转置、逆、Moore-Penrose 伪逆、迹和最大（最小）特征值分别用 K?、K?1、K?、tr(K) 和 χ_max(K)（χ_min(K)）表示。对于几何描述，矩阵李群 SE(3)（SO(3)）称为特殊欧氏（正交）群，其李代数用 se(3)（so(3)）表示；(·)∧ 是将 ??（?3）映射到 se(3)（so(3)）的帽算子；(·)∨ 是将 se(3)（so(3)）映射到 ??（?3）的v算子；Ad_χ 是将速度扭转变换从一个坐标系到另一个坐标系的伴随映射；ad_χ 是 Ad_χ 的微分，即伴随映射；关于李群和李代数的更详细信息见文献[39]及其参考文献。

## 系统描述与控制目标

图1给出了待控制的自由飞航天机器人的示意图，该系统包含一个刚性基座航天器和一个配备 n 个旋转关节的刚性机械臂。基座航天器由安装在其上的一组喷管全驱动，机械臂由旋转关节驱动。为描述机器人的位姿，在图中建立了坐标系，即惯性坐标系{I?}、位于质心（CoM）的体坐标系{I_s}，以及...

## 控制设计与稳定性分析

本节首先以几何方式表述机器人的构型和速度误差，并在 SE(3)×?? 上建立构型误差函数，由此推导误差运动学和动力学。随后，开发了一个具有预定时间稳定性的非奇异 GTSS，并基于该 GTSS 进一步提出了一种鲁棒 GTSMC 律，以在苛刻工作条件下实现预定时间轨迹跟踪。

## 数值仿真

本节通过数值仿真评估所提出的几何控制策略的有效性。所研究的自由飞航天机器人由一个六自由度（6-DOF）基座航天器和一个6-DOF机械臂组成，其初始构型如图4所示。在图中，惯性坐标系{I?}和体坐标系{I_s}及{I_i'}（i=1,2,···,6）被标出以识别机器人的运动，其中蓝色、绿色和红色带箭头的线分别表示 z、y 和 x 轴...

## 结论

本文针对参数不确定性、外部扰动、输入饱和和喷管失准存在的情况下，提出了自由飞航天机器人轨迹跟踪的几何控制解决方案。

机器人的非线性动力学用李群 SE(3) 和李代数 ????(3) 的语言来表示，其优势在于避免了其他表示方法中存在的奇异性、歧义性和复杂性等问题。在描述跟踪

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许世东：撰写——原始草稿、可视化、验证、指导、软件、资源、项目管理、方法学、调查、资金筹措、数据管理。
文浩：撰写——审阅与编辑、指导、资金筹措、数据管理。

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作者声明，他们没有已知的、可能对本论文所报道的工作产生影响的竞争性经济利益或个人关系。

许世东 | 文浩