高阶可变增长条件的广义 Campanato 空间的双对偶空间

《Journal of Functional Analysis》：Bipredual spaces of generalized Campanato spaces with variable growth condition of higher order

　　

**摘要**

本文源于近期关于广义Campanato空间的研究，该类空间定义在可测函数空间模去常数函数的线性子空间中。通过考虑模去更广义的多项式空间，本文旨在引入能够衡量高阶函数光滑性的函数空间。本文所考虑的空间是模去固定阶多项式线性空间所得到的商空间。本文还讨论了相关的广义Hardy空间。对偶性作为本文的主要主题，重点关注双预对偶。

此外，本文引入了广义Hardy空间，并证明其对偶空间恰好是本文定义的广义Campanato空间。本文考虑的一个闭子空间恰好是本文讨论的Campanato空间的双对偶（即对偶的对偶）。本文还给出了双预对偶空间的刻画。

作为副产品，本文给出了Coifman和Weiss所证以下事实的一个更简明的证明：用于定义Hardy空间的原子，其可积指数不影响Hardy空间的定义。本文最后给出了若干例子。

**引言**

函数的某些性质可以通过对特定阶多项式进行消去的条件来描述。例如，H?lder–Zygmund空间（与Lipschitz空间有较大重叠）描述了函数的连续性和可微性。与$C^k$类（$k \in \mathbb{N}$）相比，H?lder–Zygmund空间在偏微分方程或概率论等数学的不同领域中更为自然地出现。$BMO(\mathbb{R}^d)$（有界平均振荡空间）也出现于奇异积分算子不具有$L^\infty$有界性的情形中，作为对此缺陷的补偿。

基于上述事实，第一作者将$BMO(\mathbb{R}^d)$和$\alpha \in (0,1)$阶Lipschitz空间推广到广义Morrey–Campanato空间的框架中[57]。第一作者考虑了模去常数函数的函数空间。本文的目标是系统研究这些函数空间，特别是我们打算研究模去特定阶多项式的函数空间。

本文旨在系统研究广义Campanato空间的双预对偶空间，以及广义Campanato空间中元素到$C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$的距离。我们回顾一下，Banach空间$X$的对偶$X^*$的对偶$X^{**}$称为$X$的双对偶[62, p. 113, Definition 4]。若$X$是Banach空间$Y$的双对偶，则称$Y$为$X$的双预对偶。双预对偶在泛函分析中具有重要地位。在温和的条件下，我们将证明每个广义Campanato空间都可以实现为某个Banach空间的双对偶，这意味着广义Campanato空间具有双预对偶。

我们定义广义Campanato空间。记$B(x,r)$为以$x$为中心、半径为$r > 0$的开球。此处及下文，"球"均指形式为$B(x,r)$的开球。记$\mathcal{B}$为所有球的集合。当$x = (x_1, x_2, \ldots, x_d) \in \mathbb{R}^d$且$r > 0$时，记
$$Q(x,r) := \{y = (y_1, y_2, \ldots, y_d) \in \mathbb{R}^d : \max_{j=1,2,\ldots,d} |x_j - y_j| \leq r\}.$$
"立方体"指上述形式的紧立方体。对于立方体$Q = Q(x,r)$，记其边长为$\ell(Q)$，即$\ell(Q(x,r)) = 2r$。符号$\mathcal{Q}$表示$\mathbb{R}^d$中所有立方体的集合。符号$\mathbb{R}^+$表示开区间$(0, +\infty)$。设$N \in \mathbb{N}_0 := \{0, 1, 2, \ldots\}$。定义$\mathcal{P}_N$为所有次数不超过$N$的多项式的集合。对于局部可积函数$f$、立方体$Q$和$N \in \mathbb{N}_0$，类似地论证[48, Exercise 57(3)]，可以找到唯一的多项式$P \in \mathcal{P}_N$使得
$$\int_Q (f(x) - P(x)) \tau(x) \, dx = 0 \quad \text{对所有} \; \tau \in \mathcal{P}_N.$$
记此唯一多项式$P$为$P_Q^N f$。由定义立即可得，若$g \in \mathcal{P}_N$，则$P_Q^N g = g$。我们对球给出类似定义。符号$\mathcal{P}_N^\perp$表示所有满足以下条件的$a \in L^1(\mathbb{R}^d)$的集合：
$$\int_{\mathbb{R}^d} |a(x)| (1 + |x|)^N \, dx < \infty, \quad \int_{\mathbb{R}^d} x^\alpha a(x) \, dx = 0 \quad \text{对所有满足} |\alpha| \leq N \text{的多指标} \; \alpha.$$
若$a \in \mathcal{P}_N^\perp$，则也记作$a \perp \mathcal{P}_N$。设$E$为可测集，$f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$。若存在$g \in \mathcal{P}_N$使得$f = g$在$E$上成立，则称$f \in \mathcal{P}_N$在$E$上。

对于$1 \leq q \leq \infty$，记$L^q_{\mathrm{comp}}(\mathbb{R}^d)$为所有具有紧支集的$L^q$函数的集合。对于非负整数$N$，令
$$L^q_{\mathrm{comp},N}(\mathbb{R}^d) := L^q_{\mathrm{comp}}(\mathbb{R}^d) \cap \mathcal{P}_N^\perp.$$
类似地，若$Q$为立方体，则$L^q(Q)$为所有满足$f$在$Q$之外几乎处处为零的$f \in L^q(\mathbb{R}^d)$的集合。此时令
$$L^q_N(Q) := L^q(Q) \cap \mathcal{P}_N^\perp.$$
对于可测函数$f$和立方体$Q$，记$M^{p,N}_O(f,Q)$为$f$在$Q$上$N$阶的$p$次平均振荡，即
$$M^{p,N}_O(f,Q) := \left(\fint_Q |f(y) - P_Q^N f(y)|^p \, dy\right)^{1/p}.$$
此处及下文，$\fint$表示积分平均。更准确地说，记$|E|$为可测集$E$的测度，我们定义
$$\fint_Q f(y) \, dy = \frac{1}{|Q|} \int_Q f(y) \, dy \quad \text{对于立方体} \; Q.$$
对球$B$给出类似定义$M^{p,N}_O(f,B)$。

**定义1.1** 设$1 \leq p \leq \infty$，$N \in \mathbb{N}_0$。设$\phi: \mathcal{Q} \to \mathbb{R}^+$为函数，$f \in L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$。当$p < \infty$时定义
$$\|f\|_{L^{p,\phi}_N} := \sup_{Q \in \mathcal{Q}} \frac{1}{\phi(Q)} M^{p,N}_O(f,Q),$$
当$p = \infty$时定义
$$\|f\|_{L^{p,\phi}_N} := \sup_{Q \in \mathcal{Q}} \frac{1}{\phi(Q)} \|f - P_Q^N f\|_{L^\infty(Q)}.$$
则广义Campanato空间$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$定义为所有满足$\|f\|_{L^{p,\phi}_N} < \infty$的$f \in L^p_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$的集合。$\phi$的例子将在第7节给出。

考虑$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$中模去次数为$N$的多项式的元素，使$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$成为Banach空间。若用范数$\|\cdot\|_{L^{p,\phi}_N}$赋予空间$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$，则$f \in L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$严格意义上指的是$\{f + P : P \in \mathcal{P}_N\}$的一个代表元。在此意义上，$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$与$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)/\mathcal{P}_N$被视为等同的。最近，模去$\mathcal{P}_N$的函数空间受到了越来越多的关注。关于$N \geq 1$时模$\mathcal{P}_N$空间的应用，见[6, Theorem 1.3]。

当我们强调空间是模$\mathcal{P}_N$时，记为$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)/\mathcal{P}_N$而非$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$。这是Campanato[4], [5]所考虑的古典Campanato空间的推广；令$\phi(Q) = \ell(Q)^\lambda$，我们得到古典Campanato空间。此定义出现在[61, Definition 1.1]中。

注意此空间推广了Janson在[21]中所考虑的$BMO_\phi$。从[18, Definition 1.2]中，我们了解到广义Morrey–Campanato空间推广了$BMO(\mathbb{R}^d)$。值得注意的是，我们可以用变指数$p(\cdot)$代替$p$，如[64]中所展示的。然而，由于第5节开头讨论的原因，我们不沿着这个方向。

本质上，函数$\phi$起着连续模的作用，$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$利用$L^p$范数衡量函数的连续性和光滑性。通过引入随$x$变化的函数$\phi$，我们旨在利用根据$x$的位置进行调整的尺度来评估函数的连续性和光滑性。

最初，允许$\phi$依赖于$x$的尝试来源于第二作者和Yabuta在1985年对BMO的点态倍子的刻画[36]。引入依赖于$x$的函数$\phi$的第二重动机来自相关领域的近期发展趋势：

- 最近，包括更多广义函数在内，ReLU（整流线性单元）函数，定义为$\mathrm{ReLU}(t) := \max(0, t)$，$t \in \mathbb{R}$，已被应用于人工智能领域。
- 变指数Hardy空间$H^{q(\cdot)}(\mathbb{R}^d)$的对偶空间可以实现为$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$。此处$\phi$是某个依赖于$x$和$r$的函数。见[35, Section 6.4]。

此处及下文，我们稍微滥用一下记号。记
$$\phi(x,r) := \phi(Q(x,r)) \quad \text{对于} \; x \in \mathbb{R}^d \; \text{和} \; r > 0.$$
值得注意的是，我们不必局限于立方体。事实上，若用球代替立方体，我们将得到配备等价范数的同一个空间$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$。因此，我们也可以记
$$\phi(B(x,r)) := \phi(x,r) \quad \text{对于} \; x \in \mathbb{R}^d \; \text{和} \; r > 0.$$

我们对$\phi$假设以下条件：

**(DC)（倍增条件）** 存在常数$C > 0$使得当$x \in \mathbb{R}^d$且$r, s > 0$满足$\frac{1}{2} \leq \frac{s}{r} \leq 2$时，
$$\frac{1}{C} \leq \frac{\phi(x,r)}{\phi(x,s)} \leq C.$$

**(NC)（近邻条件）** 存在常数$C > 0$使得当$x, y \in \mathbb{R}^d$且$r > 0$满足$|x - y| \leq r$时，
$$\frac{1}{C} \leq \frac{\phi(x,r)}{\phi(y,r)} \leq C.$$

看起来(NC)是一个人为的条件。然而，一旦我们假设(DC)，就可以替换$\phi$，使得集合$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$不变且(DC)与(NC)同时满足。见[35, Proposition 6.13]。

我们说函数$\theta: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$是几乎递增的（分别几乎递减的），如果存在正常数$C$使得
$$\theta(x,r) \leq C\,\theta(x,s), \quad \text{当} \; x \in \mathbb{R}^d \; \text{且} \; 0 < r < s < \infty$$
（分别$C\,\theta(x,r) \geq \theta(x,s)$，当$x \in \mathbb{R}^d$且$0 < r < s < \infty$）。

可能出现两种不同的函数$\theta, \kappa: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$使得$L^{p,\theta}_N(\mathbb{R}^d)$与$L^{p,\kappa}_N(\mathbb{R}^d)$在等价范数下重合。为描述这种情况，对于给定的函数$\theta, \kappa: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$，若存在正常数$C$使得对所有$x \in \mathbb{R}^d$和$r \in \mathbb{R}^+$，
$$\frac{1}{C} \leq \frac{\theta(x,r)}{\kappa(x,r)} \leq C,$$
则记$\theta \sim \kappa$。在以下略强的条件下
$$\lim_{r \downarrow 0} \left(\sup_{y \in B(x,r)} \int_0^r \frac{\phi(y,t)}{t} \, dt\right) = 0,$$
该条件通常排除了$\phi(x,t) = 1$的情形，$L^{p,\phi}_d(\mathbb{R}^d)$中的每个函数都有连续的代表元。见[35, Proposition 6.15]了解更多细节。

接下来，我们按照文献[32]的精神定义Hardy空间。对于$1 \leq u \leq \infty$，记$u'$为其共轭指数：$u' = \frac{u}{u-1}$。

**定义1.2** 设$\phi: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$，$1 < q \leq \infty$，$N \in \mathbb{N}_0$。称函数$a \in \mathcal{P}_N^\perp$为$[\phi, q, N]$-原子，如果存在一个球$B$（称为$a$的支撑球），使得：
(i) $\mathrm{supp}\, a \subset B$，
(ii) $\|a\|_{L^q} \leq \frac{1}{|B|^{1/q'} \phi(B)}$。

记$\mathcal{A}_{[\phi,q,N]}$为所有$[\phi,q,N]$-原子的集合。

我们给出一种生成原子的简单方法。对于球$B$和$f \in L^q_N(B) \setminus \{0\}$，令
$$a(x) := \begin{cases} \frac{f(x)}{|B|^{1/q'} \phi(B) \|f\|_{L^q(B)}}, & x \in B, \\ 0, & x \notin B. \end{cases}$$
则$a$是一个$[\phi,q,N]$-原子，$B$是其支撑球。

设$\mathcal{F}$为所有连续、递增且双射的函数$\Phi: [0,\infty) \to [0,\infty)$的集合。则对所有$\Phi \in \mathcal{F}$，有$\Phi(0) = 0$且$\lim_{r \to \infty} \Phi(r) = \infty$。我们回顾一下，我们使用函数$U_0 := \mathrm{id}_{[0,\infty)} \in \mathcal{F}$（$\mathbb{R}^+$上的恒等映射）来生成Hardy空间$H^1(\mathbb{R}^d)$。更一般地，其幂函数$U_0^q$（$0 < q \leq 1$）生成Hardy空间$H^q(\mathbb{R}^d)$。

设$\mathcal{F}_{\mathbb{R}^d}$为所有函数$\Phi: \mathbb{R}^d \times [0,\infty) \to [0,\infty)$的集合，使得对每个$x \in \mathbb{R}^d$有$\Phi(x,\cdot) \in \mathcal{F}$，且对所有$r \in [0,\infty)$有$\Phi(\cdot, r)$在$\mathbb{R}^d$上可测。记$\Phi^{-1}(x,\cdot)$为$\Phi(x,\cdot)$关于$r \in [0,\infty)$的逆函数。

对于$\Phi \in \mathcal{F}_{\mathbb{R}^d}$和$B = B(x,r)$，令
$$\phi(x,r) = \phi(B) := \frac{1}{|B|} \Phi^{-1}\left(x, \frac{1}{|B|}\right).$$
则
$$\frac{1}{|B|^{1/q'} \phi(B)} = |B|^{\frac{1}{q}} \Phi^{-1}\left(x, \frac{1}{|B|}\right) \quad \text{对于} \; 1 < q \leq \infty.$$
若$\Phi(x,r) = r^p$，$0 < p \leq 1$且$N = 0$，则$[\phi,q,N]$-原子的定义与经典$(p,q)$-原子的定义完全相同[46, p. 130]。

设$1 < q \leq \infty$且$p = q'$。若$[\phi,q,N]$-原子$a$和球$B$满足定义1.2中的要求，则对$g \in L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$，有
$$\left|\int_{\mathbb{R}^d} a(x) g(x) \, dx\right| = \left|\int_B a(x)(g(x) - P_B^N g(x)) \, dx\right| \leq \|a\|_{L^q} \left(\int_B |g(x) - P_B^N g(x)|^{q'} \, dx\right)^{1/q'}$$
$$\leq \frac{1}{\phi(B)} \left(\frac{1}{|B|} \int_B |g(x) - P_B^N g(x)|^{q'} \, dx\right)^{1/q'} \leq \|g\|_{L^{p,\phi}_N}.$$
即，映射
$$g \mapsto \int_{\mathbb{R}^d} a(x) g(x) \, dx$$
是$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)/\mathcal{P}_N$上的有界线性泛函，其范数不超过1，有时也记为$a$。

**定义1.3** 设$\phi: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$为函数，$1 < q \leq \infty$，$N \in \mathbb{N}_0$。设$U \in \mathcal{F}$为凹函数。假设$\mathcal{P}_N$是$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$的真子空间。定义空间$H^U_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d) \subset (L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)/\mathcal{P}_N)^*$如下：$f \in H^U_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$当且仅当存在序列$\{a_j\}_{j=1}^\infty \subset \mathcal{A}_{[\phi,q,N]}$和正数$\{\lambda_j\}_{j=1}^\infty$使得
$$f = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j a_j \quad \text{在} \; (L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)/\mathcal{P}_N)^* \; \text{中},$$
且
$$\sum_{j=1}^\infty U(\lambda_j) < \infty.$$
此时定义
$$\|f\|_{H^U_{[\phi,q,N]}} = \inf \; U^{-1}\left(\sum_{j=1}^\infty U(\lambda_j)\right),$$
其中$\{a_j\}_{j=1}^\infty$和$\{\lambda_j\}_{j=1}^\infty$遍历$f$的所有可能分解。

若$U = \mathrm{id}_{[0,\infty)}$，则将$H^U_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$简记为$H_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$。在定义(1.7)中的$H^U_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$时，我们选择了便于使用的拓扑。尽管由于$U$的凹性，$H^U_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$是度量空间，但$H^U_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$通常不是赋范空间。此外，$H_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$是赋范空间。我们稍后将提出一个条件，在该条件下$\mathcal{P}_N$是$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$的真子空间。见命题4.1。

以下注记澄清了该定义。

**注记1.4** 设$1 < q \leq \infty$且$p = q'$。

(i) 在(1.7)中，$U$的凹性意味着
$$\sum_{j=1}^\infty \lambda_j \leq U^{-1}\left(\sum_{j=1}^\infty U(\lambda_j)\right).$$
不等式(1.8)允许我们对$j \in \mathbb{N}$求和(1.6)。

(ii) 假设(1.7)成立。注意配积$\langle f, g \rangle$由
$$\langle f, g \rangle = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j \int_{\mathbb{R}^d} a_j(x) g(x) \, dx$$
给出，对所有$f \in H_{[\phi,q,N]}(\mathbb{R}^d)$和$g \in L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$成立。

(iii) 该定义将[32, Definition 2.2]推广到$N \geq 1$的情形。

在本文中，我们考虑以下$\phi$的函数类，以保证$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$不同于$\mathcal{P}_N$：

**定义1.5** 设$N \in \mathbb{N}_0$。

(i) 对于$p \in [1, \infty)$，记$G_{p,N}$为所有函数$\phi: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$的集合，使得$r \mapsto \frac{r^d}{\phi(x,r)}$几乎递增，而$(x,r) \mapsto \frac{\phi(x,r)}{r^{N+1}}$几乎递减。即，存在正常数$C$使得当$r < s$时
$$\frac{r^d}{\phi(x,r)} \leq C\frac{s^d}{\phi(x,s)}, \quad C\frac{\phi(x,r)}{r^{N+1}} \geq \frac{\phi(x,s)}{s^{N+1}}$$
对所有$x \in \mathbb{R}^d$和$r, s \in \mathbb{R}^+$成立。

(ii) 记$G_{\mathrm{inc},N}$为所有函数$\phi: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$的集合，使得$\phi$（关于$r$）几乎递增，而$(x,r) \mapsto \frac{\phi(x,r)}{r^{N+1}}$几乎递减。

注：$d$的出现与广义Campanato空间[29]中的类比有关，而$N+1$是与$N$阶Taylor展开相关的自然数。

总之，$G_{\mathrm{inc},N}$是$G_{p,N}$在$p = \infty$情形下的自然推广。

我们指出$G_{\mathrm{inc},N}$中满足(NC)的子类具有很大的灵活性。

**注记1.6** 设$\phi \in G_{\mathrm{inc},N}$满足(NC)。则存在$C > 0$和$\phi^\ast \in G_{\mathrm{inc},N}$使得
$$\phi^\ast \leq \phi \leq C\phi^\ast$$
且对所有满足$R \subset Q$的立方体$Q$和$R$，有$\phi^\ast(R) \leq \phi^\ast(Q)$。

设
$$\phi^\ast(Q) = \inf_{\substack{S \text{ 为立方体} \\ S \supset Q}} \phi(S).$$
由于若$S$为包含$Q$的立方体，则$\phi(S) \geq \frac{1}{C}\phi(Q)$，因此
$$\phi^\ast(Q) \geq \frac{1}{C}\phi(Q) \quad \text{对某个常数} \; C > 0.$$
由$\phi^\ast$的定义可得$\phi(Q) \geq \phi^\ast(Q)$。因此$\phi^\ast$即为所求的函数。

该定义将[61, Definition 2.1]推广到$N \geq 1$的情形。值得注意的是，$\phi \in G_{p,N}$蕴含(DC)：存在常数$C > 0$使得
$$C^{-1}\phi(x,r) \leq \phi(x,s) \leq C\phi(x,r)$$
对所有$x \in \mathbb{R}^d$和满足$r \leq s \leq 2r$的$r, s > 0$成立。在此情形下，如我们先前所述，存在$\tilde{\phi} \in G_{p,N}$满足(DC)和(NC)使得$L^{p,\phi}_N(\mathbb{R}^d)$与$L^{p,\tilde{\phi}}_N(\mathbb{R}^d)$同构。因此，我们可以说(DC)和(NC)是自然的条件。

若$N = 0$，则$G_{p,N}$就是先前文献中所考虑的集合$G_p$。在[1], [3], [57]中，作者们处理了$N = 0$时的类$G_{\mathrm{inc},N}$。

空间 $G_{inc,N}$ 被用于获得广义 Campanato 空间的一致范数。在本文档中，我们主要考虑 $G_{p,N}$，根据例 7.2，$G_{p,N}$ 是比 $G_{inc,N}$ 更大的类。本文档中采用以下约定：

- 记 $B(0,r)$ 为以原点为中心、半径 $r>0$ 的开球。
- 对 $\nu\in\mathbb{Z}$ 及 $m=(m_1,m_2,\dots,m_d)\in\mathbb{Z}^d$，定义二进方体 $Q_m^\nu$ 为 $Q_m^\nu:=\prod_{j=1}^d [m_j 2^\nu, (m_j+1)2^\nu)$。
- 记 $D=D(\mathbb{R}^d)$ 为此类方体的集合。$D$ 中的元素称为二进方体。
- 对方体 $Q=a+b[0,1]^d$，关于 $Q$ 的二进方体是指形如 $a+bR$ 的集合，其中 $R$ 为某个满足 $R\subset[0,1)^d$ 的二进方体。记 $D(Q)$ 为关于 $Q$ 的所有二进方体的集合。
- 对可测函数 $f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{C}$，定义函数 $Mf$ 为
$$Mf(x):=\sup_{B\in\mathcal{B}} \chi_B(x)\frac{1}{|B|}\int_B|f(y)|\,dy,\quad x\in\mathbb{R}^d.$$
映射 $M:f\mapsto Mf$ 称为 Hardy–Littlewood 极大算子。
- 设 $A,B\geq 0$。$A\lesssim B$ 及 $B\gtrsim A$ 表示存在常数 $C>0$ 使得 $A\leq CB$，其中 $C$ 与所涉及的主要参数无关。$A\sim B$ 表示 $A\lesssim B$ 与 $B\lesssim A$ 同时成立。

本文档的其余部分安排如下。第 2 节汇集关于 $\varphi$、平均振荡以及支撑在方体上的函数分解的基本事实。其中包括，我们改进了 Coifman 和 Weiss [9] 所获得的分解结果。我们基于文献 [17] 的思想提出了一种更简洁的分解方法。第 3 节给出了 $L^{p,\varphi,N}(\mathbb{R}^d)$ 中函数的一个非平凡例子。第 4 节研究 $L^{p,\varphi,N}(\mathbb{R}^d)$ 的基本性质。与 $N=0$ 的情形不同，我们需要比先前的论文 [1]、[3]、[57] 更仔细地处理振荡。参见下面引理 4.18。第 5 节处理广义 Hardy 空间，以研究 $L^{p,\varphi,N}(\mathbb{R}^d)$ 的预对偶空间。第 6 节考虑广义 Campanato 空间 $L^{p,\varphi,N}(\mathbb{R}^d)$ 的双对偶空间。最后，第 7 节将我们的结果与已知结果进行比较。

**预备知识**

本节涉及预备性事实。第 2.1 节汇集泛函分析的基本事实。第 2.2 节讨论 $\varphi$ 的基本性质。我们在第 2.3 节基于文献 [12] 的精神研究 $x\in\mathbb{R}^d$ 及 $r>0$ 时投影 $P_{Q(x,r)}^N$ 和 $P_{B(x,r)}^N$ 的性质。必须详细研究算子 $P_{Q(x,r)}^N$ 和 $P_{B(x,r)}^N$。事实上，若 $N=0$，则这些算子可视为从局部可积函数到常数的映射。然而，若 $N>0$，$P_{Q(x,\dots)}$

**$L^{p,\varphi,N}(\mathbb{R}^d)$ 中元素的例子**

设 $N\in\mathbb{N}_0$ 及 $1\leq p<\infty$。本节给出 $L^{p,\varphi,N}(\mathbb{R}^d)$ 中函数的两个例子。设 $\varphi:\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ 为 $G_{p,N}$ 中的函数，即存在 $C>0$ 使得
$$s^{-N-1}\varphi(x,s)\geq Ct^{-N-1}\varphi(x,t),\quad s^{d/p}\varphi(x,s)\leq Ct^{d/p}\varphi(x,t)$$
对所有 $x\in\mathbb{R}^d$ 及 $0< />
**$c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$ 在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 中的闭包**

记 $\overline{c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)}^{l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)}$ 为 $c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$ 在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 中的闭包。第 6 节的目的是在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 的框架下研究 $c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$。我们参照命题 4.1 来考察 $\overline{c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)}^{l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)}$。

在第 5.3 节中，我们指定了 $h[\varphi,q,n](\mathbb{r}^d)$ 的对偶空间。在此，我们证明 $h[\varphi,q,n](\mathbb{r}^d)$ 同构于某个 banach 空间 $x$ 的对偶空间。第 6.1 节旨在提出 $x$ 的一个候选，证明在后续各节中给出。

**例子与历史评述**

在本节中，我们将本文档获得的结果与先前已知的结果进行比较。第 7.1 节处理涉及幂函数的最基本的例子。在第 7.2 节中，我们阐明引入参数 $n$ 所带来的优势。第 7.3 节和第 7.4 节讨论研究函数 $\varphi$ 依赖于空间变量 $x$ 的情形的重要意义。引入此类依赖于变量的 $\varphi$ 的想法可追溯至文献 [36]。在 [36] 中，第二作者与……

**未引用的参考文献** [30]

**致谢**

我们感谢审稿人对稿件的仔细阅读及有价值的意见，这些意见改进了本文档的呈现方式和正确性。

第一作者由 fūjukai 基金会资助。第二作者由日本学术振兴会科学研究资助金（c）（编号 21k03304）资助。第三作者由日本学术振兴会科学研究资助金（c）（编号 23k03156）资助。

satoshi yamaguchi | eiichi nakai | yoshihiro sawano 且 $\varphi\in g_{inc,n}$，参数 $q$ 就非临界性的；而我们在第 4.2 节证明只要 $n$ 足够大，$n$ 就非本质的。第 5.2 节给出的类似论证表明…… **$c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$ 在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 中的闭包** 记 $\overline{c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)}^{l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)}$ 为 $c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$ 在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 中的闭包。第 6 节的目的是在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 的框架下研究 $c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$。我们参照命题 4.1 来考察 $\overline{c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)}^{l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)}$。 在第 5.3 节中，我们指定了 $h[\varphi,q,n](\mathbb{r}^d)$ 的对偶空间。在此，我们证明 $h[\varphi,q,n](\mathbb{r}^d)$ 同构于某个 banach 空间 $x$ 的对偶空间。第 6.1 节旨在提出 $x$ 的一个候选，证明在后续各节中给出。 **例子与历史评述** 在本节中，我们将本文档获得的结果与先前已知的结果进行比较。第 7.1 节处理涉及幂函数的最基本的例子。在第 7.2 节中，我们阐明引入参数 $n$ 所带来的优势。第 7.3 节和第 7.4 节讨论研究函数 $\varphi$ 依赖于空间变量 $x$ 的情形的重要意义。引入此类依赖于变量的 $\varphi$ 的想法可追溯至文献 [36]。在 [36] 中，第二作者与…… **未引用的参考文献** [30] **致谢** 我们感谢审稿人对稿件的仔细阅读及有价值的意见，这些意见改进了本文档的呈现方式和正确性。 第一作者由 fūjukai 基金会资助。第二作者由日本学术振兴会科学研究资助金（c）（编号 21k03304）资助。第三作者由日本学术振兴会科学研究资助金（c）（编号 23k03156）资助。 satoshi yamaguchi | eiichi nakai | yoshihiro>
**$c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$ 在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 中的闭包**

记 $\overline{c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)}^{l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)}$ 为 $c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$ 在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 中的闭包。第 6 节的目的是在 $l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)$ 的框架下研究 $c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)$。我们参照命题 4.1 来考察 $\overline{c_{\mathrm{comp}}^\infty(\mathbb{r}^d)}^{l^{p,\varphi,n}(\mathbb{r}^d)}$。

在第 5.3 节中，我们指定了 $h[\varphi,q,n](\mathbb{r}^d)$ 的对偶空间。在此，我们证明 $h[\varphi,q,n](\mathbb{r}^d)$ 同构于某个 banach 空间 $x$ 的对偶空间。第 6.1 节旨在提出 $x$ 的一个候选，证明在后续各节中给出。

**例子与历史评述**

在本节中，我们将本文档获得的结果与先前已知的结果进行比较。第 7.1 节处理涉及幂函数的最基本的例子。在第 7.2 节中，我们阐明引入参数 $n$ 所带来的优势。第 7.3 节和第 7.4 节讨论研究函数 $\varphi$ 依赖于空间变量 $x$ 的情形的重要意义。引入此类依赖于变量的 $\varphi$ 的想法可追溯至文献 [36]。在 [36] 中，第二作者与……

**未引用的参考文献** [30]

**致谢**

我们感谢审稿人对稿件的仔细阅读及有价值的意见，这些意见改进了本文档的呈现方式和正确性。

第一作者由 fūjukai 基金会资助。第二作者由日本学术振兴会科学研究资助金（c）（编号 21k03304）资助。第三作者由日本学术振兴会科学研究资助金（c）（编号 23k03156）资助。

satoshi yamaguchi | eiichi nakai | yoshihiro sawano>