基于累积量的双分布函数模型的不可压缩热对流格点玻尔兹曼模拟

《International Journal of Heat and Fluid Flow》：Lattice Boltzmann simulation of incompressible thermal convection using a cumulant-based double distribution function model

　　

研究主要贡献：

1. 将高阶强迫方案引入D2Q9 CuLBM模型。
2. 建立了一种新颖的D2Q5 CuLBM框架，用于温度场模拟。
3. 基于矩量累积量法（cumulant-based）的双分布函数（DDF）模型降低了计算误差。
4. 模拟了雷诺数 Re = 3.2 × 10? 条件下绕三个方柱的热流。
5. 在 Ma–Re–Pr 空间中建立了 CuLBM 与 MRT LBM 的稳定域图。

引言

热传递现象是一个关键的跨学科研究领域，在微观尺度热分析、相变动力学和能源系统优化等方面具有重要现实意义（Zhang et al., 2020, Freeman et al., 2023, Hua et al., 2023, He et al., 2026, Jin et al., 2026）。这些过程内在的动态耦合机制为能量转换效率设定了基本约束，同时为热管理策略的优化创新开辟了路径。传统数值方法在多物理场耦合、多尺度相互作用以及复杂几何边界条件处理上始终面临挑战，这也推动了传热研究方法的持续改进（Dalvi et al., 2022, Nobis et al., 2023, Matsukawa and Tsukahara, 2025, Zhang and Wang, 2026, Wang et al., 2026）。

格子玻尔兹曼方法（LBM）是一种基于动力学理论的高效计算手段。该方法通过沿离散速度方向演化粒子分布函数来模拟流体动力学过程，本质上保留了宏观守恒定律，并在处理复杂几何和多物理耦合方面具有显著灵活性。精确的温度场建模是阐明传热机制、实现系统热分析的基础。选择合适的离散方案和碰撞算子对于在最小计算成本下达到物理精度至关重要，尤其是在多尺度热应用领域。

在研究流体流动与热传递机制的数值模拟中，混合模型将介观 LBM 用于速度场求解，并结合有限差分法（FDM）和有限体积法（FVM）等宏观数值技术计算热场。该方法采用顺序流程：在每一步，先通过 LBM 算法更新粒子分布函数 f 以获得宏观速度参数，随后将这些速度值输入热场求解器，使用宏观方法计算温度分布。该方法已成功应用于多种多物理系统，包括空化气泡动力学、微结构强化核态沸腾、湍流辐射传热、非均质多孔介质中的热传输优化以及聚合物结晶过程的相场模拟（Zheng et al., 2025, L. Zhang et al., 2025, Li and Li, 2025, Nee, 2025, Zhou et al., 2025, H. Zhang et al., 2025）。

尽管混合模型能够通过宏观能量方程离散来捕捉温度场演化，但其与 LBM 框架的整合带来了固有不相容性。具体而言，宏观热求解器破坏了 LBM 局部碰撞-流操作所固有的并行计算优势，从而降低了大规模模拟的计算效率。相比之下，双分布函数（DDF）模型引入了额外的温度分布函数 g，其遵循与速度分布函数 f 相同的演化原则。这种结构通过建立一个完全介观的热流模拟方法保持了方法的一致性。在该范式下，g 在流动步骤中沿离散速度方向传播，而其碰撞弛豫过程由热扩散系数控制。Chapman–Enskog 展开分析证实，该形式能够恢复宏观能量守恒方程（Liu et al., 2016）。因此，理论验证与碰撞-流机制的保留相结合，确保了 LBM 固有的并行计算架构得以完全保持。尽管两个分布函数共享基本演化机制，但在离散速度配置上存在关键差异。D2Q9 格子保证了速度场的质量与动量守恒，而 D2Q5 格子通过一阶矩守恒达到了热场所需的精度。这种格子优化策略在标量输运过程中巧妙地平衡了数值精度与计算效率。

DDF 模型中碰撞算子的选择对计算精度与稳定性具有关键影响。在 LBM 实现中，Bhatnagar–Gross–Krook（BGK）碰撞算子被广泛应用于温度场模拟。尽管该方法结构简单、易于实现，但其固有的稳定性限制使其在复杂流动中的应用受到约束（Sharma et al., 2017）。近期研究集中于正交多松弛时间（OMRT）LBM，该方法通过正交变换矩阵显著提高了计算性能，随后又发展出非正交多松弛时间（NOMRT）变体（Li et al., 2015, Liu et al., 2016）。将 MRT 碰撞算子引入 DDF 模型具有跨学科的广泛应用性。在能源系统中，其将化学反应动力学与多孔介质模拟相结合的能力，使氢生产过程的精确建模成为可能。同时，热管理研究利用 DDF 模型的优势来解决复杂的固-流相互作用。近期向非傅里叶传热的扩展通过统一框架耦合导热与辐射传输来解决微观尺度挑战，有效解决了多物理模拟中的传播速度差异和复杂瞬态边界条件问题。相变材料研究也展示了方法学进展，其中相场模型捕捉了单个泥状氢粒子的固-液相变动力学，而基于焓的公式则模拟了高普朗特数（Pr）条件下三水合醋酸钠过冷液的凝固过程。两种方法都使用 DDF 模型分析相变。该模型的跨学科适用性还扩展到了高 Rayleigh 数（Ra）下辐射与自然对流之间的相互作用（Guo et al., 2024, Sun et al., 2024, Yan et al., 2024, Cao and Zhou, 2025, Tahmasbi et al., 2025, Ben Salah et al., 2025, Singh et al., 2025, Xu et al., 2026）。

此外，基于中心矩量的碰撞算子近期在 LBM 社区受到广泛关注。Geier 研究小组开创了级联 LBM（CaLBM）和累积量 LBM（CuLBM），以解决传统原始矩空间形式中固有的局限性（Geier et al., 2006, Geier et al., 2015, Geier et al., 2017a, Geier et al., 2021）。最近，Schupbach and Premnath (2024) 提出了一种 Fokker–Planck 中心矩量 LBM，从低阶碰撞后矩量而非 Maxwell 分布构造马尔可夫吸引子，以简明的代数公式实现了卓越的数值稳定性。该方法随后通过 DDF 模型扩展至热对流流动（Schupbach and Premnath, 2025），展示了二维和三维高 Rayleigh 数下的稳定模拟。值得注意的是，虽然级联算子已成功集成到 DDF 框架中（Sharma et al., 2017, Elseid et al., 2018, Hajabdollahi and Premnath, 2018），但当前的 CuLBM 研究主要集中于湍流模拟和多相流现象，在不可压缩热流场景中的应用有限。尽管近期有研究将累积量碰撞算子应用于对流传热分析（Molla, 2025），但该研究强调非牛顿流体应用，导致渐近分析、精度提升策略以及高雷诺数（Re）下的数值稳定性等基础方面研究不足。这一研究空白凸显了两个关键挑战。首先，CuLBM 在不可压缩热流中仍缺乏严格的精度验证。如本文第 4 节所示，原始 CuLBM 表现出较高的数值误差，表明模型有较大改进潜力。其次，高 Re 热流模拟对碰撞算子的数值稳定性提出了严格要求。在这方面，基于累积量的碰撞算子在高 Re 条件下湍流模拟中表现出更高的稳定性（Geier et al., 2017b, Kutscher et al., 2019）。将此类稳定化方法扩展至对流热传输研究，将大幅扩展 DDF 框架在高 Re 流体-热系统中的应用范围。

为解决这些挑战，本研究提出了一种新颖的基于累积量的 DDF 模型，降低了原始方法中固有的计算误差。所提出的模型能够稳定模拟 Re = 3.2 × 10? 条件下绕三个方柱的热流，突显了其增强的数值稳定性。本文其余部分组织如下：第 2 节详细介绍 CuLBM 的计算框架和原始强迫方案；第 3 节开发累积量 DDF 模型并通过渐近分析验证其理论一致性；第 4 节使用基准算例对模型进行严格评估，展示其相对于原始 CuLBM 的误差降低；最后，第 5 节总结主要结论。

章节片段

CuLBM 的理论基础与原始强迫方案

在传统的 MRT 公式中，粒子分布函数首先通过变换矩阵转换到矩空间。碰撞步骤在矩空间执行，然后在速度空间重建分布函数，遵循"速度空间流动、矩空间碰撞"的范式。由于 MRT LBM 中的变换矩阵保持恒定，这种转换可以等价地理解为对粒子分布的投影……

基于累积量的 DDF 框架：公式与渐近分析

本节详细介绍了所提出的累积量 DDF 框架的公式化。首先为 D2Q9 CuLBM 引入了一种增强强迫方案，以提高速度场的数值精度。然后构建了一个新的 D2Q5 CuLBM 用于温度场，并通过渐近分析验证其理论一致性，确认其能够正确恢复宏观热传输方程。

数值模拟

验证计算模型的精度和稳定性对于确保 LBM 模拟的可靠性至关重要。本节通过五个基准测试系统地评估所提出的累积量 DDF 模型，展示其相较于原始 CuLBM 的性能提升。首先，通过力驱动 Poiseuille 流模拟验证所提出的 D2Q9 CuLBM 对速度场的改进，突出其相较于原始 D2Q9 CuLBM 的优势。

结论

本研究提出了一种稳定的基于累积量的 DDF 模型，用于不可压缩热流。对于速度场，采用 D2Q9 CuLBM 框架，并引入一种新颖的高阶强迫方案以克服原始方案的局限性。温度场通过一个新的 D2Q5 CuLBM 求解，该模型通过渐近分析严格验证能够恢复对流-扩散方程。数值验证从力驱动的 Poiseuille 流开始，其中……

CRediT 作者贡献声明

Jie Kang：撰写初稿、可视化、软件、方法论、调研、形式分析、数据整理。Dongyin Wu：撰写审阅与编辑、监督、项目管理、经费获取。

利益冲突声明

作者声明不存在任何已知的可能影响本文工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本工作得到国家自然科学基金联合基金重点项目（编号 U25A20369）资助。作者衷心感谢匿名审稿人和编辑仔细阅读并提供许多建设性意见和建议，以提升本手稿质量。

Jie Kang | Dongyin Wu