暴胀 de Sitter 时空中 Yukawa 标量自能的两圈计算以及 ??2?

《Annals of Physics》：Yukawa scalar self energy at two loop and ??2? in the inflationary de Sitter spacetime

　　

摘要

我们研究了在暴胀de Sitter时空中的Yukawa理论的二圈结果，针对无质量最小耦合标量场和无质量费米子。单圈计算在已有文献中已被详细研究。本研究的主要动机在于：在单圈水平上，标量自能只包含费米子，而费米子具有共形不变性。在二圈水平上，有两个图，每个图包含一条内部标量线，从而破坏了共形不变性。这应导致标量自能中出现红外长程对数项。我们对该二圈自能进行了重整化。接着我们计算由自能导致的圈修正重合两点关联函数?φ2?的期望值，该期望值取相对于初始Bunch-Davies真空。我们认为从尺度因子的这些大对数的幂次角度来看，局域或紫外自能的晚时间长程贡献必须主导非局域或红外的贡献。这对应于费米子线不显示任何红外长程效应这一事实。?φ2?在单圈和二圈的水平上的主导行为分别被发现在ln a的三次方和四次方。这些是紫外和红外对数的混合体，其中后者源于无质量最小耦合的两条外部标量线。我们也计算了?φ2?的重求和表达式。发现该表达式有界，并且随着Yukawa耦合强度的增大单调减小。相应地，动态生成的标量质量随耦合强度的增大而增大。

引言

原初宇宙暴胀是我们早期宇宙所经历的一个假想阶段，其特征是快速的、近指数级的加速膨胀。这种暴胀阶段解答了标准大爆炸宇宙学所面临的三大经典难题，即视界问题、平坦度问题以及未被观测到的拓扑缺陷（如磁单极子）。它还为产生原初量子密度扰动和关联函数提供了合适的框架，作为我们今天在天空上观测到的大尺度宇宙结构的种子。该框架预测了与观测一致的近尺度不变功率谱。有关这个极其有趣且重要的早期宇宙阶段的各种理论和观测方面，请参考[1]及其中的参考文献。

在广义相对论中，时空的加速膨胀要求违背强能量条件。这由一种被称为暗能量的奇异物质场满足，该场具有正的能量密度但负的各向同性压强。在暴胀文献中，这通常通过一个标量场（称为暴胀子）缓慢滚下势能来实现。经过足够多的e-foldings之后，宇宙必须优雅地退出暴胀阶段，并指定当前观测到的宇宙学常数值。仅10%的该数值变化就能极大地改变我们宇宙的演化，这被称为宇宙巧合问题。有关该问题的各种讨论，请参考例如[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]及其中的参考文献。

de Sitter时空或其变体被认为是描述暴胀阶段的合适度规。这种快速加速的背景描述了一个高度非平衡的场境。在这样的背景下，理解量子涨落是一个重要且有趣的任务。de Sitter背景下的各种场量子化可见于[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。特别是，无质量但不具有共形不变性的场（如无质量最小耦合标量、引力子）的量子涨落在此语境中具有特殊的意义。这些场不具有任何de Sitter不变Wightman函数[13]、[14]，这导致尺度因子的对数出现在各种量子振幅中。这最终导致在晚时间微扰展开的失效，被视为长程效应[15]。长程对数主要与晚时间的超Hubble尺度的深度红外涨落相关。它们可能导致场静止质量的动态生成。关于这种非微扰效应的各个方面（包括质量生成、宇宙退相干和纠缠），请参考例如[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]及其中的参考文献。这些长程对数的重求和已在多次尝试中进行，参见例如[41]、[42]、[43]、[44]、[45]、[46]、[47]、[48]、[49]、[50]、[51]、[52]、[53]、[54]、[55]、[56]、[57]及其中的参考文献。此外，对于具有非导数相互作用的标量场理论，晚时间随机形式体系是进行重求和的绝佳方法[58]（参见例如[59]、[60]、[61]、[62]、[63]、[64]及其中的参考文献）。然而，尽管近年来取得了一些进展（例如[51]、[56]），引力中的重求和问题至今仍然是一个开放性的问题。

在本工作中，我们希望计算由于Yukawa耦合导致的二圈标量自能，以及随后其对重合两点关联函数?φ2?的圈修正效应在暴胀de Sitter时空中的表现。两个场都取为无质量。早期工作涉及单圈自能计算、费米子质量生成、该理论（有或没有标量自相互作用）的退相干[65]、[66]、[67]、[68]、[69]。关于de Sitter中Yukawa理论的有效作用量计算，参见[70]、[71]、[72]、[73]、[74]、[75]、[76]。我们也将读者引向[77]，该文献研究了Yukawa耦合对宇宙学关联函数的影响。我们进一步引读者参阅[78]、[79]、[80]、[81]、[82]，其中使用Schwinger-DeWitt局域展开技术在一般弯曲时空中讨论了具有Yukawa和四费米子相互作用的有效作用量。

本研究的主要动机如下。单圈Yukawa标量自能（图1中的第一个）包含一个无质量或共形费米子圈。相应地，单圈结果中出现ln a的项（公式(20)[65]）是一个局域或紫外长程对数，直接来源于重整化。二圈图（图2）各包含一条内部标量线，预期从中可得到红外长程对数。然而，我们将在本文中论证，在这种语境下，这些红外对数对重合两点关联函数（?φ2?）的贡献是亚主导的，与局域对数相比。我们着重强调，本文与先前各工作的主要区别在于超出了单圈自能计算以及随后的?φ2?计算（之后再对其进行重求和）。正如我们所解释的，二圈标量自能图在本质上不同于单圈图，因为前者包含内部标量线。无质量费米子具有共形不变性，而无质量最小耦合标量则不具有。除此之外，请注意在截断图中（图2），并非所有内部线都从同一个点出发并汇聚于另一个公共点，不像图1那样。这将在直接评估第二个二圈图时带来困难。据我们所知，具有如此拓扑结构的图此前尚未在de Sitter时空中被尝试过。我们还发现需要一些非最小反项来重整化二圈发散——这是单圈所不具备的特征。

本文其余部分组织如下。在下一节中，我们简要回顾基本设置，然后在第3.1节中计算重整化后的自能的紫外长程对数贡献。接下来我们利用这些自能计算直到二圈的?φ2?。我们将数值计算其重求和表达式。我们表明它在晚时间具有有界值，并且随着耦合值的增大单调递减。最后我们在第5节中得出结论。我们将在d=4-ε（ε=0+）维中使用以正为主号的度规，并全程设c=1=?。

基础设置

我们简要回顾我们将采用的基本框架，主要遵循[17]、[18]、[71]。暴胀de Sitter时空的度规在宇宙学时间坐标和共形时间坐标下分别为：

ds2 = -dt2 + a2(t)dx2 = a2(η)(-dη2 + dx2)

其中a(t)=e^(Ht)或a(η)=-1/(Hη)是de Sitter尺度因子，H=√(Λ/3)是de Sitter哈勃率，Λ为宇宙学常数。时间范围为0≤t<∞，因此-H?1≤η<0?。注意任何初始时刻的时间层次都…

标量自能的重整化

我们首先简要考虑标量和费米子的单圈自能，分别已在[65]、[66]中计算。

单圈标量自能如下：

-iΣ(x,x')_1-loop, s,s' = λ_ss' g2 (aa')^d Tr[iS_ss'(x,x') iS_ss'(x',x)]

（s,s'不做求和），其中s,s'=±，λ_++=λ_--=1，λ_+-=λ_-+=-1。

利用公式(58)，++型自能为：

-iΣ(x,x')_1-loop,++ = -g2 d Γ2(d/2) (aa')^2 / (22 π^d) × 1/Δ^(6-2ε)

= i μ^(-ε) d g2 Γ(1-ε/2) (aa')2 / (2^4 π^(2-ε/2) (1-ε) ε) × ?2δ^d(x-x') + g2 (aa')2 / (2^5 π^4) × ?? ln(μ2 Δx2)

混合型自能不包含发散项，且…

?φ2?的计算、主导长程行为和重求和

在本节中，我们希望计算由于Yukawa耦合的圈效应所导致的重合关联函数?φ2(x)?。我们将使用in-in形式体系以获得因果结果。此外，我们不再使用前面讨论中的精确传播子，而是在三动量空间中采用红外有效形式体系，以捕捉主导的长程对数。另外注意，不存在通过tadpole图（图4）产生的标量凝聚?φ?…

讨论

在本文中，我们考虑了在暴胀de Sitter时空中由于Yukawa相互作用的标量的二圈自能。我们取标量和费米子均为无质量。单圈计算已在早期文献中详细完成。本研究的主要动机在于：单圈标量自能只包含费米子线，而二圈情况（图2）包含内部标量线。我们已经进行了…

作者贡献声明

Sourav Bhattacharya：撰写-审阅与编辑，撰写-原始草稿，方法论，概念化。

Moutushi Dutta Choudhury：撰写-审阅与编辑，撰写-原始草稿，方法论，概念化。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益关系或个人关系可能影响本文所报告的工作。

致谢

作者感谢匿名审稿人对本文早期版本提出的有益意见。

Sourav Bhattacharya | Moutushi Dutta Choudhury