基于稀疏固定传感器物理知情交通状态估计的观测对齐两阶段域分解方法

《TRANSPORTATION RESEARCH PART C-EMERGING TECHNOLOGIES》：Observation-aligned two-stage domain decomposition for physics-informed traffic state estimation with sparse fixed sensors

　　

- 观测对齐的域分解方法针对固定传感器的欠观测问题。
- 空间细化方案平均误差最低，且时空训练时间不足一半。
- 在25个案例中的18个案例中，TSDD-PINN的误差低于XPINN，且速度快2.4倍。
- 相较于线性插分的优势主要集中在稀疏观测条件下。
- 250次运行评估启发了一种保留第一阶段方案的免触发安全防护机制。

## 1. 引言

交通状态估计（TSE）是指从固定传感器（如环形检测器和摄像头）采集的部分观测数据中推断交通变量（密度、流量和速度）的完整时空场的过程（Seo et al., 2017; Seo and Kusakabe, 2015）。准确的交通状态估计是实时交通管理、出行者信息系统和交通基础设施规划的基础。在实际应用中，传感器部署受成本和维护限制：典型的公路走廊可能仅布设少量间隔数英里布置的检测站，从而对道路形成稀疏的空间覆盖。从如此有限的观测中重构完整的交通状态仍然是一个根本性挑战，尤其是在事故和快速演化的拥堵情况下。

物理模型为交通状态估计提供了有据可循的基础。Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型（Lighthill and Whitham, 1955; Richards, 1956）是一阶双曲守恒律，通过质量守恒和流量-密度基本关系描述交通密度的时空演化。一旦由基本关系闭合，LWR模型可预测运动学波的传播，包括拥堵边界处激波的形??消散。基于模型的数据同化方法（如扩展卡尔曼滤波）（Wang and Papageorgiou, 2005; Wang et al., 2008）将这些宏观交通模型与实时传感器数据相结合以重构交通状态。变分法和Hamilton-Jacobi公式为异质观测条件下的精确或优化型估计提供了互补方法（Canepa and Claudel, 2017; Daganzo, 2006）。然而，LWR及其高阶扩展（如Aw-Rascle-Zhang（ARZ）模型）（Aw and Rascle, 2000; Zhang, 2002）依赖于理想化假设，限制了其在实际条件下的保真度。数据驱动方法（包括用于交通速度预测和填充的深度模型）（Ma et al., 2015; Wu et al., 2018）可以学习复杂的时空模式，但需要大量高质量训练数据，且不保证物理一致性。

物理信息神经网络（PINNs）通过将控制偏微分方程（PDEs）直接嵌入神经网络的训练目标来解决这一权衡（Raissi et al., 2019）。所得模型同时拟合可用的传感器数据，并在域中各配点处满足交通流PDE，使得即使在没有直接观测的区域也能实现物理一致的估计。多项研究表明，PINNs及相关物理信息学习方法在基于LWR和ARZ模型的高速公路交通状态估计中具有前景（Huang and Agarwal, 2022; Shi et al., 2021, 2022; Yuan et al., 2021a）。尽管取得了这些进展，标准PINNs在应用于交通流时面临若干挑战。首先，神经网络存在谱偏置——倾向于学习光滑、低频函数的倾向，限制了其表示LWR解中特征性锐利间断的能力（Tancik et al., 2020）。其次，在训练过程中平衡数据损失和PDE损失较为困难；不适当的权重会使模型偏向于对物理规律或数据的欠拟合（Wang et al., 2021）。除这些优化挑战外，强形式PDE残差在间断处无明确定义。逐点残差最小化在结构上与双曲守恒律（如LWR）所允许的激波解不相容。这些结构性困难在真实公路数据中显而易见。图1展示了I-24 MOTION数据集中的一个代表性真实速度场，激波前沿跨越了尖锐的空间梯度，拥堵窗口中存在高频时间变化。在稀疏固定传感器监督下，单一全局PINN难以分辨这种局部多尺度结构。

图1. I-24 MOTION于2022/11/21的真实速度场 u(x, t)（左），含 x=3.52 mi 处的时间迹线（右上）及 t=1.71 h 处的空间剖面（右下）。拥堵区域显示为红色，自由流行区域显示为绿色。

域分解可以降低局部逼近复杂度并可能缓解谱偏置：将时空域划分为较小的子域，每个子域由专门的子网络处理，从而降低了任何单一网络必须表示的局部函数复杂度。扩展PINNs（XPINNs）框架（Jagtap and Karniadakis, 2020）将此思想推广到任意PDE，通过在空间和时间上分解域并在子域界面处施加基于残差的连续性约束。我们将XPINN作为DD-PINN的基准，因为它在统一框架内支持空间、时间和时空分解，使得对不同分解方向进行系统性比较成为可能。基于残差的自适应细化（RAR）通过在误差高区域集中配点来补充域分解（Wu et al., 2023）。然而，传统的DD-PINN框架及许多后续变体仍然依赖于用户设计或初始化依赖的分解（Hu et al., 2023; Jagtap and Karniadakis, 2020; Moseley et al., 2023）。近期自适应方法已开始放宽这一假设（Botvinick-Greenhouse et al., 2025; Luo et al., 2025; Peng et al., 2025; Si and Yan, 2025）；然而，这些方法针对的是通用PDE基准测试，而非稀疏固定传感器交通状态估计，且未研究固定传感器观测几何下的分解方向。分解方向（空间、时间或时空）的选择在固定传感器交通状态估计中受到有限关注，尽管答案强烈依赖于观测结构和底层PDE。

Huang and Agarwal（2023）明确展示了交通中的激波挑战，表明当解包含激波时，对双曲LWR方程进行物理信息学习所产生的误差远大于对添加了扩散项的对照方程所产生的误差。这一结果启发了在不牺牲守恒律双曲特性的前提下解析间断的方法。它还启发了那些将易产生激波的过渡区域局部化而非依赖单一全局网络、人工平滑或直接追踪运动激波流形的途径。

受这些局限性启发，我们开发了双阶段域分解物理信息神经网络（TSDD-PINN），一种观测对齐的两阶段域分解框架，首先训练一个全局父网络PINN，然后在启用细化时将其实表示迁移至方向特定的子网络。该框架以空间、时间和时空分解三种方式实例化并评估。在所评估的方向中，空间细化取得了最低的平均误差，且所需的训练时间不到时空细化的一半，而时间细化速度更快。在受控的空间实现中，残差分布表明第一阶段模型在何处难以表示交通状态，并指导确定性的空间划分。它不被解释为经过验证的激波检测器。当预设筛查未触发时，可选的操作安全防护保留第一阶段的预测器。我们做出以下四项贡献：

1. **观测对齐的两阶段域分解。** TSDD-PINN首先训练一个走廊范围的父网络，然后在启用细化时将其表示迁移至方向特定的子网络。在受控的空间实现中，残差分布为热启动的子网络提供了确定性的划分启发式策略。父到子热启动和固定界面正则化被整合到同一交通特定工作流中。

2. **固定传感器观测下的分解方向分析。** 在受控条件下，涵盖180个评估的方向特定结果（包括120个新训练的时间和时空运行以及60个从受控基准中复用的空间结果），对空间、时间和时空细化进行了匹配比较。在所评估的方向中，空间分解取得最低平均误差，且所需训练时间不到时空分解的一半，而时间分解速度更快。该结果不构成选择分解方向的一般规则。

3. **受控的精度-效率证据。** 在所评估的实现、子域结构和训练预算下，联合TSDD-PINN设计产生了比所评估XPINN基准更低的平均误差，且训练速度快2.4倍；组件对照未将该方法级结果归因于第一阶段、初始化或任何单一机制。

4. **多日验证及感测密度依赖的操作范围。** I-24数据集的1,500次运行评估、与标准时间切片空间线性插分和自适应平滑方法（ASM）的比较（均使用相同选定的虚拟传感器位置）、独立的默认筛查评估以及NGSIM负对照表明，所支持的优势集中在稀疏观测条件下，并非均匀地扩展到密集观测或NGSIM负对照。

基准测试包括标准时间切片空间线性插分和ASM。线性插分与观测网格和评估网格均匹配，而ASM与选定传感器位置匹配并在其原生时间网格上评估。在当前等间距内部速度虚拟传感器协议下，扩展卡尔曼滤波或变分Hamilton-Jacobi重构的匹配实现需要额外的观测或模型规范，包括可用的测量边界或匝道流量、累计计数约束以及校准的状态转换和测量模型。两种方法在包含此类信息的观测条件下均有确立的应用，且不对其作出优越性声称。

本文其余部分组织如下。第2节回顾了TSE方法、PINNs、域分解PINNs及守恒律PINNs的相关文献。第3节提出了TSDD-PINN方法论和分析动机，包括两阶段训练框架、操作筛查和基于残差的划分、界面条件及分解方向分析。第4节描述了数据集、基准方法和评估过程。第5节报告了定量结果。第6节讨论了发现、交通含义和局限性。第7节总结了全文。

## 2. 文献综述

### 2.1 交通状态估计方法

交通状态估计方法通常分为基于模型、数据驱动、物理信息和混合方法四类。

**基于模型的方法** 经典基于模型的TSE依赖于宏观交通流模型与滤波、平滑或变分推断的结合。LWR守恒律（Lighthill and Whitham, 1955; Richards, 1956），由经验基本关系闭合，仍然是走廊尺度物理学的常见骨架。元胞传输模型（Daganzo, 1994）提供了LWR的计算实用的离散模拟，可重现队列和激波传播，并成为高速公路TSE、滤波和控制的核心工具。实时估计严重依赖于扩展卡尔曼滤波及相关同化方法，这些方法将宏观过程模型与传感器观测相结合（Wang and Papageorgiou, 2005; Wang et al., 2008）。Treiber and Helbing（2002）提出了一种用于基于检测器的时空交通重构的自适应平滑方法，该方法已成为该领域的基准。变分法和Hamilton-Jacobi公式通过利用累计计数表示和半解析解结构，为异质观测条件下的精确或优化型数据同化提供了互补的工作线（Canepa and Claudel, 2017; Daganzo, 2006）。Seo et al.（2017）提供了一项全面综述，按数据源、状态变量和估计范式对TSE方法进行了分类。虽然基于模型的方法具有物理基础，但它们依赖于校准质量，且通常假设固定或低维的交通规律，这可能不足以捕捉实际交通动力学的复杂性。

**数据驱动方法** 交通机器学习文献中的大部分工作关注预测或填充而非完整的交通场直接重构。循环神经网络（如长短期记忆模型和混合深度架构）可以从历史传感器数据中学习时空依赖关系（Ma et al., 2015; Wu et al., 2018）。与TSE更直接相关的，Rempe et al.（2022）使用深度卷积神经网络从稀疏高速公路数据中估计连续速度场。这些方法可以直接从观测中捕捉非线性交通模式，但它们需要代表性的训练数据，且不保证守恒、物理上可容许的波传播或在未观测区域的鲁棒性。

**物理信息和混合方法** 物理信息神经网络（PINNs）及相关物理信息深度学习（PIDL）方法旨在结合物理模型的数据效率与神经网络的表示能力。Huang and Agarwal（2022）证明，将LWR PDE嵌入训练目标在稀疏观测条件下显著提高了估计精度。Shi et al.（2022）和Shi et al.（2021）将物理信息学习应用于一阶和二阶交通模型，表明可以从有限数据中重构激波形成和消散模式。Barreau et al.（2021）使用带预训练的物理信息学习从低渗透率探针车辆重建交通密度。除标准PINNs外，Lu et al.（2023）和Zhang et al.（2024）将交通流模型与可微计算图耦合，以联合估计走廊状态、队列剖面和基本图参数，而Zhao and Yu（2024）将PDE观测器与深度学习结合用于边界感测TSE。Ka et al.（2024）进一步将物理信息估计扩展到网络尺度场景。

在物理信息交通文献中，域分解受到的关注有限。Usama et al.（2022）通过将网络分解为单个路段并在交叉口处强制流量守恒约束，将PINNs扩展到交通网络。

尽管这项先前工作是最接近交通PINNs分解的研究，但其分解是由拓扑驱动的，每条道路链对应一个子网络，并且没有在单一高速公路走廊中评估固定传感器观测几何下的空间、时间和时空分解方向。Huang和Agarwal（2023）表明，当解包含激波时，针对双曲型LWR方程的物理信息学习产生的误差显著大于其扩散增强版本，这确立了激波问题对交通估计精度具有可测量的影响，并激励了超越标准单区域公式的激波导向改进。

2.2. 物理信息神经网络：训练挑战

物理信息机器学习已成为一种将控制方程与数据驱动模型相结合的范式（Karniadakis等人，2021）。由Raissi等人（2019）正式化的PINN框架表明，在数据量有限的环境中，控制偏微分方程可以作为强大的归纳偏置，通过在配点处对PDE残差施加惩罚，并结合数据拟合目标来实现。自此以来，主要研究挑战已从公式设计转向可训练性。

频谱偏差是其中之一：使用梯度下降训练的神经网络学习解的低频成分速度快于高频成分，这导致PINNs过度平滑了急剧的梯度和不连续性（Tancik等人，2020）。Fourier特征嵌入将低维输入投影到高维正弦空间中，已证明可以通过使网络从训练初期就能表示高频内容来缓解这种偏差。第二个挑战是复合PINN损失中的梯度病态问题。Wang等人（2021）表明，数据、边界和PDE损失梯度之间的不平衡可以显著减慢或不稳定化收敛。Krishnapriyan等人（2021）展示了PINN在对流主导和反应主导的PDE上的系统性失败，认为软PDE正则化在更具挑战性的问题上可能变得无效。

已经提出了几种补救方法。Wang等人（2024）引入了因果训练，通过根据PDE残差在因果序列中的位置对其进行加权，尊重时间依赖PDE的时间结构。Wu等人（2023）开发了基于残差的自适应细化（RAR），在高误差区域动态添加配点。自适应损失加权（McClenny和Braga-Neto，2023）将损失权重作为可学习参数。这些补救方法改进了单个全局网络内的优化，但并未解决逐点残差最小化与双曲守恒律不连续解之间的结构不兼容性。这一局限性激励了域分解方法，以简化局部函数的复杂性。

2.3. 域分解PINNs

域分解（DD）降低了单个网络必须表示的复杂性。通过将时空域划分为较小的子域，每个子域由专用的子网络处理，DD-PINNs能更准确地表示局部特征，并实现并行训练。

Jagtap等人（2020）引入了保守PINNs（cPINNs），它在空间上分解域并在界面上强制执行强格式通量连续性，使其特别适合守恒律。Jagtap和Karniadakis（2020）将这一思想推广为扩展PINN（XPINN）框架，支持具有基于残差的子域界面连续性的任意时空分解。我们采用XPINN作为我们的DD-PINN基线，因为它在一个统一的框架中支持空间、时间和时空分解，使分解方向的系统比较成为可能。Shukla等人（2021）开发了cPINNs和XPINNs的并行实现，阐明了计算权衡：cPINNs在空间分解中通信效率更高，而XPINNs更灵活，因为它们还支持时间分割。Hu等人（2021）分析了XPINNs何时改善泛化能力，表明分解在更简单的局部函数和每个子域更少的样本之间创造了权衡。Moseley等人（2023）提出了有限基PINNs（FBPINNs），使用重叠子域和具有紧支集的基函数来提高可扩展性并减少频谱偏差。Hu等人（2023）引入了增强PINNs（APINNs），使用门控网络实现软性的、可训练域分解，具有灵活的参数共享。

先前的DD-PINN框架和许多后续变体仍然依赖于用户设计或依赖初始化的分解。最近自适应方法开始放松这一假设。Peng等人（2025）提出了AS-PINNs，通过子网络之间的对抗性交互自适应界面位置，用于不连续高阶方程。Si和Yan（2025）提出了IDPINN，使用粗粒度的小数据PINN初始化子域网络并增强界面平滑损失。与专注于泛用PDE基准上初始化增强分解的IDPINN不同，本研究评估了分解方向、固定传感器的交通状态重建以及传感密度相关的运行范围。Luo等人（2025）引入了渐进式域分解（PDD），根据残差损失动力学分割域并保留成功的局部模型。Botvinick-Greenhouse等人（2025）开发了AB-PINNs，在训练期间在高残差损失区域插入新的基子域。然而，这些方法是针对泛用PDE基准开发的，而不是针对稀疏固定传感器的交通状态估计，并且它们没有在固定传感器观测几何下检查分解方向。它们的界面设计也不是针对基于LWR的高速公路估计量身定制的，其中守恒和易激转变换是核心。

因此，剩余的差距是一个观测对齐的两阶段域分解框架，该框架将分解方向与固定传感器观测几何相关联，并在匹配的交通重建条件下评估空间、时间和时空替代方案。

2.4. 带有激波的守恒律PINNs

双曲守恒律，如LWR方程，允许具有不连续性（激波）的弱解，这对最小化逐点强格式PDE残差的PINNs构成了根本挑战。在激波处，经典PDE残差未定义，因为解的梯度发散，而神经网络作为连续函数逼近器无法准确表示不连续解。

Huang和Agarwal（2023）明确地针对交通展示了这一困难，表明在非线性、非光滑的情况下，针对一阶双曲型LWR方程的物理信息学习产生的误差显著大于其扩散增强对应版本。这一发现为当前工作提供了最直接的交通特异性动机。几条研究路线试图解决激波挑战。Coutinho等人（2023）添加了自适应局部人工粘性以稳定激波附近的PINNs，以物理保真度换取数值可操作性。De Ryck等人（2024）提出了弱格式PINNs（wPINNs），用适合标量守恒律熵解的弱格式替换强格式残差。Lorin和Novruzi（2024）提出了一种非扩散神经网络方法，由Rankine-Hugoniot跳跃条件定义的不连续线分隔的子域中构建光滑的局部解，并学习不连续性几何本身。对于自适应采样，Lu等人（2021）在DeepXDE框架中引入了RAR，Wu等人（2023）表明基于残差的自适应采样显著提高了激波附近的精度，相比静态配点。

大多数激波导向的PINN模型仍然是基于粘性、弱损失或自适应采样的单公式方法，而显式不连续性跟踪方法如非扩散神经网络（NDNNs）学习不连续性几何本身。TSDD-PINN并不试图直接跟踪移动的激波流形；相反，它使用粗粒度的残差作为模型难度的指示器和空间分割的确定性启发式，然后在固定界面上应用正则化。这种定位不同于弱格式和不连续线方法，并且不将残差峰值或谷值视为已验证的激波位置。观测对齐的从粗到细的域分解工作流程，结合空间、时间和时空方向的匹配评估，在稀疏固定传感器TSE中受到的关注有限。

总之，所回顾的文献指出了稀疏固定传感器高速公路TSE的四个挑战。替代分解方案需要来自交通估计问题本身的透明指示器；分解方向应与固定传感器观测几何相匹配，从粗到细的预热启动在交通DD-PINNs中仍处于开发不足的状态。还需要使用统计测试进行多日真实世界验证，以区分系统性增益与数据集特定或种子特定效应。

3. 方法论

本节介绍了用于交通状态估计的TSDD-PINN框架，如图2所示。全文使用的符号总结在表A.1中。我们首先阐述问题（3.1节），然后描述网络架构（3.2节）、损失函数（3.3节）、两阶段训练框架（3.4节）、运行筛选和基于残差的分割（3.5节）、界面条件（3.6节）、额外训练组件（3.7节），以及分解方向分析（3.8节）。

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图2. TSDD-PINN框架概述。第1阶段是共有的；受控路径进行细化，而运行路径应用预设筛选，且可选的不触发安全机制在筛选未激活时返回捕获的第1阶段。这一安全机制并未验证筛选。图2描绘了在受控基准中使用的空间实现；匹配的时间和时空变体在3.8节中定义并在5.2节中评估。

3.1. 问题阐述

我们考虑从稀疏固定传感器观测中重建整个高速公路段的完整速度场u(x, t)的问题。这是一个受PDE约束的状态重建（数据同化）问题：与经典正向问题不同，没有指定初始或边界条件；与经典反问题不同，没有推断PDE参数。在主要离线基准中，vf是完整轨迹衍生的聚合速度场的第95百分位数，并在整个训练过程中保持不变。

设Ω=[xmin, xmax]×[0, T]表示时空域。交通动力学由Lighthill-Whitham-Richards（LWR）守恒律（Lighthill和Whitham，1955；Richards，1956）支配：

(1) ?ρ/?t + ?q(ρ)/?x = 0，

其中ρ(x, t)是交通密度，q(ρ)是流量。在本研究中，我们使用Greenshields基本图（Greenshields等人，1935）封闭方程(1)：

(2) q(ρ) = vf·ρ·(1 - ρ/ρjam)，

其中vf是自由流速度，ρjam是拥堵密度。这一选择应被解释为一种可接受的一阶封闭，而非TSDD-PINN的固有特征。三角形图是高速公路运动波建模的标准替代方案（Newell，1993b）。我们在此使用Greenshields图，因为其光滑、单值、可微的形式在方程(3)中产生了速度形式的残差，而无需分段分支或最小值算子。三角形或校准的封闭需要替换光滑残差和界面上通量或特征项为相应的分段或最小值算子表达式。残差引导的分割检测和父子预热不依赖于方程(2)的抛物线形式，因为它们基于残差评估和网络权重运作。利用关系u = vf·(1 - ρ/ρjam)，守恒律可以改写为速度形式：

(3) ?u/?t + (2u - vf)·?u/?x = 0。

速度和空间/时间坐标通过最小-最大标度归一化到[0, 1]后输入神经网络：

(4) x? = (x - xmin)/(xmax - xmin), t? = t/T, ? = (u - umin)/(umax - umin)，

其中umin和umax是从完整聚合速度场导出的物理速度界限，而非从选定的稀疏虚拟传感器轨迹。3.2至3.8节中的所有后续方程在未特别注明的情况下都在归一化坐标中操作。在此系统中，ρ?jam = ?max = 1。我们在整个训练过程中一致地使用这些归一化坐标，因此3.6节中使用的归一化密度ρ? = 1 - ?是物理密度的归一化类似物，而非物理密度；Rankine-Hugoniot和熵损失是在归一化坐标中的可选条件界面正则化器，而非物理单位中的精确质量守恒陈述。转换为物理单位使用u = umin + ?·(umax - umin)和相应的通量标度。归一化后，PDE残差采取以下形式：

(5) r(x, t) = A·??/?x - B·?·??/?x - ??/?t / √(A2 + B2 + 1)，

其中?(x, t; θ)是归一化坐标中的网络预测，系数由归一化导出：

(6) C = cfps·Trange/Xrange, A = (vf - 2umin)·C, B = 2·(umax - umin)·C。

其中cfps = 5280/3600将英里每小时转换为英尺每秒，Trange和Xrange分别是域的时间范围和空间范围，单位为秒和英尺，umin和umax遵循上述完整场定义。分母√(A2 + B2 + 1)将系数向量(A, -B, -1)重新标度到单位欧几里得范数；它不保证一阶残差量级。

一组Ndata个传感器观测数据O = {(xdi, tdi, uobsi)}i=1^Ndata可用，来自内部空间位置的固定位置探测器。TSE问题被表述为以下优化：

(7) θ* = arg min_θ Ltotal(θ)，

其中总损失Ltotal在3.3节中定义。该公式假设单一连通的高速公路走廊，没有匝道源项，并使用车道聚合的交通状态。这些假设定义了当前评估的范围，并使比较集中于域分解而非交通模型复杂性。此公式与经典正向PDE问题不同，后者寻求从规定的初始和边界条件传播解，也与反问题不同，后者寻求从观测中推断未知PDE参数。这里，网络是一个经验评估的正则化估计器，从稀疏轨迹和规定的具有固定vf的LWR残差中估计内部场。由于基准还使用完整场归一化统计和虚拟传感器，它代表离线重建而非可部署的反问题。

设Ω = [xmin, xmax] × [0, T]，其中xmin < xmax且T > 0，设S = {x1, ..., xns}，索引使x1 < ... < xns，表示ns个固定传感器位置。设C1(Ω)表示Ω上连续可微速度场的空间。设HS表示固定传感器时间迹算子。

对于速度场 u ∈ C1(Ω)，其输出为：

**?_S u** = (u(x?, ·), …, u(x_{n_s}, ·))

其中圆点 · 表示时间变量，u(x?, ·) 表示传感器 x? 处的完整时间轨迹。附录A构造了无限多个线性独立的场扰动，这些扰动在每个传感器处对所有时间产生零轨迹。对于位于 x? 和 x_{i+1} 的两个相邻传感器，令 h = x_{i+1} - x? > 0 表示传感器间距。在固定时刻，该区间上的速度剖面是无噪声且在单一不连续点之前恒为 u_L 的常数，不连续点之后恒为 u_R。跨越不连续点的速度有符号变化量为 Δu = u_R - u_L，不连续点位于 x? + αh 处，其中 α ∈ (0, 1) 表示其在区间内的相对位置。两个传感器分别观测到 u_L 和 u_R，I_h u 表示连接这两个值的线性函数。则：

**‖u - I_h u‖2_{L2(x?, x_{i+1})} = (Δu)2 h3 [α3 + (1-α)3] ≥ (Δu)2 h / 12**

该范数在相邻传感器之间的区间上计算。其对 h 的依赖关系表明，在更宽的未观测区间上插值误差更大，这为实证比较细化方向提供了动机。这既不是TSDD-PINN的误差界，也不是关于方向选择的定理。附录A提供了假设、证明和固定分割表示恒等式。

### 3.2 网络架构

每个子域 Ω_s 分配一个专用的前馈神经网络 NN_s(x, t; θ_s)。归一化输入坐标 (x, t) 首先通过一个傅里叶特征映射（Tancik等，2020）：

**γ(x, t) = [sin(W[x, t]?), cos(W[x, t]?)] ∈ ?^{2d_e}**

其中 W ∈ ?^{d_e×2} 是从 ??(0, σ2) 中随机抽取的矩阵，初始化时 σ = 10，之后保持不变。嵌入维度 d_e 设置为第一个隐藏层宽度的一半：若第一个隐藏层为256个神经元，则 d_e = 128，产生一个256维的傅里叶嵌入。该映射将二维输入投影到更高维的正弦特征空间，使网络能够学习到否则会被谱偏差抑制的高频成分。

傅里叶特征输入一系列采用tanh激活的全连接隐藏层，随后是一个线性输出层，产生一个标量——预测速度。采用tanh激活是因为其光滑性能保持PDE残差所需的导数的连续性。在域分解之前，父网络使用架构 [2, 256, 128, 128, 128, 1]，其中第一个维度表示傅里叶嵌入之前的原始输入大小，后续维度分别是隐藏层和输出层的宽度。分解之后，每个子网络使用 [2, 256, 128, 128, 1]，减少了一个隐藏层，在保持相同傅里叶嵌入维度的同时平衡表达能力与计算成本。

层的数量应被理解为固定的实现超参数，而非校准后的最优值。单域方法使用父架构，而分解方法使用上述指定的子架构。子网络比父网络少一个隐藏层，在父到子的预热启动后减少每个子域的成本，同时保留256维的傅里叶嵌入。这一架构约定，连同总训练轮数、初始配点预算、优化器和损失权重，被TSDD-PINN和基线方法共享，如第4.2节所述。完整设置在表3中报告。因此，所选的层数并未为TSDD-PINN带来方法特定的架构优势。

**表1. I-24 MOTION数据集的主要总结。** 所有I-24数据集均跨越从06:00到10:00（中国标准时间）的4小时窗口。拥堵率定义为观测速度低于30 mph的时空单元所占的百分比。

| 日期 | 星期 | 交通状况 | 拥堵率 (%) |
|---|---|---|---|
| 2022/11/21 | 周一 | MM 59.7附近西向追尾碰撞；拥堵06:14-07:43 | 55 |
| 2022/11/22 | 周二 | 无事故；典型工作日周期性拥堵 | 47 |
| 2022/11/23 | 周三 | MM 59.2处西向第1车道刮擦；拥堵07:35-07:45 | 11 |
| 2022/11/29 | 周二 | 无事故；严重周期性拥堵 | 63 |
| 2022/12/02 | 周五 | MM 61.8附近西向两车碰撞；拥堵07:38-08:20 | 37 |

**表2. 评估方法的组件对比。**

| 组件 | B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| | NN | PINN | RAR | Visc.X | PINN | Ours |
| PDE约束（LWR） | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| 自适应配点（RAR） | | ? | ? | | | |
| 粘性正则化 | | | | ? | | |
| 域分解 | | | | | ? | ? |
| 数据依赖的分割启发式 | | | | | | ? |
| 两阶段训练 | | | | | | ? |
| 光滑耦合；可选R-H/熵项 | | | | | | ? |
| 因果加权 | | | | | | ? |
| 父权重初始化 | | | | | | ? |

参考文献：B2 Huang和Agarwal（2022）；Raissi等（2019）；B3 Wu等（2023）；B4 Huang和Agarwal, 2022, Huang和Agarwal, 2023；B5 Jagtap和Karniadakis（2020）；B6（TSDD-PINN，本文）。

**表3. I-24 MOTION实验的超参数。**

| 参数 | 值 |
|---|---|
| 架构 | 父网络/子网络：[2,256,128,128,128,1] / [2,256,128,128,1] |
| 傅里叶嵌入 (d_e, σ) | 128, 10.0；激活：tanh |
| 训练 | |
| 随机种子 | 42, 123, 456, 789, 1024, 2048, 3000, 4096, 5555, 7777 |
| 轮数（总计/第1阶段） | 20,000 / 5,000 |
| 学习率（第1阶段/第2阶段） | 10?3 / 10??（Adam）；StepLR(5000, 0.9) |
| 批大小（数据/配点） | 4,096 / max(512, 2048/n)（每个子域） |
| 配点数 (N_pde) | 50,000（LHS） |
| 梯度裁剪 | max norm = 5.0 |
| w_data, w_pde, w_int（固定） | 0.85, 0.05, 0.10 |
| 域分解 | |
| 残差网格 (n_x × n_t) | 200 × 100 |
| 平滑核 | max(3, ?n_x/20?)，奇数 |
| 峰值阈值/最小距离 | max R(x)的30% / n_x的10% |
| 最小子域宽度 (δ_{x,min}) | 0.15（归一化） |
| 激波指标 | 2.0 |
| 子网络初始化（轮数/点数） | 200 / 2,000 |
| RAR（仅第2阶段） | |
| 频率/候选/添加 | 每2,500轮 / 5,000 / 2,500 |
| 因果加权 | |
| 时间分箱/? | 10 / 1.0 |
| 界面条件 | |
| 点数/δ_shock/w_entropy | 200 / 0.1 / 1.0 |
| 激波速度学习率 | 10?3（SGD） |

全局解以分段方式定义：

**?(x, t; θ) = Σ_{s=1}^{n} ??_{Ω_s}(x, t) ?_s(x, t; θ_s)**

其中 n 为子域数量，??_{Ω_s} 为示性函数。域中的每个点恰好由一个子网络处理，允许在子域界面处出现物理上有依据的急剧跃迁（例如在激波位置）。

### 3.3 损失函数

训练目标是三项的加权之和：

**?_total(θ) = w_data ?_data(θ) + w_pde ?_pde(θ) + w_int ?_int(θ)**

其中固定权重 w_data = 0.85，w_pde = 0.05，w_int = 0.10，在所有数据集、基线方法和随机种子中保持不变。

数据损失衡量预测值与传感器观测值之间的均方误差：

**?_data(θ) = (1/N_data) Σ_{i=1}^{N_data} (?(x_d?, t_d?; θ) - u_obs,i)2**

PDE损失对在整个Ω中抽样的配点处违反LWR方程的行为施加惩罚。当存在多个子域时，PDE损失在每个子域中计算后取平均：

**?_pde(θ) = (1/n) Σ_{s=1}^{n} (1/N_{s,pde}) Σ_{j=1}^{N_{s,pde}} w_causal,j (r(x_cj, t_cj; θ_s))2**

其中 r(·) 为公式(5)中的归一化残差。因果权重 w_causal,j 在每个时间分箱内为常数，定义于第3.7节。界面损失 ?_int 强制相邻子域之间的一致性，定义于第3.6节。在分解之前（第1阶段），?_int = 0，因为只有一个子域。

权重 w_data = 0.85 反映了在该数据同化设置中数据保真度的主导地位：传感器观测提供了交通状态的直接证据，而PDE充当正则化器，将信息传播到未观测区域。相对较小的 w_pde = 0.05 是一个固定的实现选择，旨在降低物理损失压倒数据损失的风险。

### 3.4 两阶段训练框架

TSDD-PINN采用两阶段训练程序，将粗粒度的全局学习（第1阶段）与细粒度的局部精细化（第2阶段）分离。在两阶段之间，受控路径固定开启细化，而操作路径应用预设筛选；只要细化处于激活状态，残差分析就确定空间分割位置。这种观测对齐的两阶段域分解结构是本方法的方法论贡献。

**第1阶段：粗粒度PINN（第1轮到 E_split）** 在全域Ω上训练单个神经网络，与标准（vanilla）PINN完全相同，只是对PDE损失应用了因果加权（第3.7节）。使用Adam优化器（Kingma和Ba，2014），学习率为10?3。在第1阶段期间，域分解、残差自适应细化（RAR）和界面条件均被禁用。第1阶段用于产生一个全局父网络和一个残差剖面，以指示粗粒度近似在何处存在困难。残差可能反映物理梯度、优化、抽样或损失平衡。在我们的实验中，E_split = 5,000轮。

**分解步骤：操作筛选与基于残差的分割** 在第 E_split 轮，分析粗粒度PINN解以确定域是否以及在哪里应进行分割。对于筛选主导的操作路径，一个预设的数据梯度比决定筛选是否激活。它既不是经验证的激波检测器，也不是有益细化的预测器。给定传感器观测 ?? = {(x_i, t_k, u_{i,k})}，我们计算在相邻传感器 i 和 i+1 共有时间戳上的每对平均空间梯度 g_x?，以及传感器 i 连续样本的平均时间梯度 g_t?。激波指标为这些梯度的最大比均值比（无量纲）：

**??(??) = max{max_i (g?_x? / (g?_x + ε)), max_i (g?_t? / (g?_t + ε))}，ε = 10?1?**

并且仅在筛选主导的操作路径上，当 ??(??) > τ_shock 时筛选激活，其中 τ_shock = 2.0（表3）。该比值对 u 的全局缩放具有不变性，但阈值是一个固定的协议选择，而非优化或验证的筛选器。受控路径无论 ?? 如何都固定开启细化。只要细化处于激活状态，粗粒度残差剖面通过第3.5节确定分割位置。在TSDD-PINN框架内，分解启用的受控评估预先指定细化。在预设的基线路径下，先应用筛选，当筛选未触发时，训练在单域上继续。可选的无触发规则在任何额外细化或训练之前返回捕获的第1阶段估计。预设的实现检查确认在两个无触发情况下精确返回第1阶段结果，在一个触发情况下细化不变。受控评估不受影响，因为细化是预先指定的。无触发规则并不验证筛选的有效性。当使用分解时，创建子网络并从父权重初始化，如第3.5节所述。无触发操作路径上的行为取决于选择原始继续还是可选的提前退出。

**第2阶段：过渡步骤后的微调（第 E_split+1 轮到 E_max）** 分解之后，所有子域网络同时训练，采用以下第2阶段设置和细化特定操作：

- **降低学习率：** Adam优化器，lr = 10??，步长衰减计划（每5,000轮衰减因子0.9）。
- **界面条件：** 在评估的细化过程中应用光滑界面连续性。朗肯-雨果尼奥条件和熵惩罚通过一个条件分支可用，但在报告的组件分析期间（第3.6节）该分支未激活。
- **残差自适应细化：** 在高残差区域定期添加配点（第3.7节）。
- **因果加权：** 第1阶段中使用的时间加权在第2阶段PDE损失中保留。
- **梯度裁剪：** 梯度范数裁剪至最大5.0，以防止分解后训练不稳定。

在我们的实验中，E_max = 20,000轮，因此第2阶段运行15,000轮。在第2阶段期间不再发生域分割。附录B.3提供了完整的训练伪代码。

### 3.5 操作筛选与基于残差的分割

在第 E_split 轮，TSDD-PINN分析PDE残差的空间分布，为分解启用阶段计算候选分割位置。在筛选主导的操作路径上，这一残差引导的分割定位之前是第3.4节中的回退决策。因此，当使用分解时，该方法减少了手动指定分割位置的需求，而无触发决策返回捕获的第1阶段预测器；该返回并不验证筛选的有效性。

1. **残差评估。** 在覆盖全域的均匀网格 n_x × n_t 点（n_x = 200, n_t = 100）上评估公式(5)中的归一化PDE残差 r(x, t)。

2. **空间残差剖面。** 将平方残差在时间维度上平均，得到一维空间剖面：

**R(x) = (1/n_t) Σ_{j=1}^{n_t} r(x, t_j)2**

R(x) 中的峰值指示粗粒度PINN PDE误差最高的空间位置。它们是模型困难度的度量，而非经验证的激波位置。

3. **平滑。** 对 R(x) 应用核大小 K = max(3, ?n_x/20?)（强制为奇数）的移动平均滤波器，以抑制噪声并确保峰值检测的鲁棒性。

4. **峰值检测。** 识别平滑剖面中超过全局最大值30%的局部最大值，同时满足峰值间最小距离为 n_x 网格点的10%。每侧排除域外部10%的区域以避免边界伪影。检测到的峰值数量决定子域数量：k 个峰值产生 k+1 个候选子域。

5. **谷底检测与分割定位。** 识别平滑剖面中的所有局部最小值。选择 k 个最深的谷底（即 R(x) 值最小的那些）作为分割位置。这是一种确定性的分割启发式；它不是最优界面规则，也不是拥堵与非拥堵区域的一般分隔器。该启发式在激波位置在观测窗口内相对静止时最为有效；对于快速移动的激波，残差的时间平均可能降低定位精度。如果存在的最小值数量少于所需数量，则使用等间距分割作为回退方案。分割位置经过验证以确保与域边缘及彼此之间保持最小间距 δ_{x,min}。

6. **父到子初始化。** 在选定的分割位置处分割域，每个子域 Ω_s 分配一个网络 NN_s。如果子架构与父网络不同（隐藏层更少），则兼容层直接复制；否则，加载完整的父状态。每个子网络随后进行200轮额外的初始化轮数，在此期间使用Adam（lr = 10?3）训练以匹配其子域内2,000个随机点上父网络的输出。

这使得分解后分段求解器在初始阶段近似于粗粒度 PINN 解，从而为第二阶段提供了热启动。该过程基于时间平均残差剖面 R(x) 执行空间分解，这是第 3.8 节中评估的默认分解方向。第 5.2 节的消融实验中，其他分解方向也使用相同的残差平均过程。对于时间分解，通过沿空间维度对平方残差取平均来计算类似的剖面 ??(??)=(1/????)∑? ??(???,??)2，并使用相同的峰值和谷值检测逻辑在残差谷值处确定时间上的分割位置。对于时空分解，独立计算 R(x) 和 R(t)，并将它们各自的谷值位置联合用于创建 2×2 子域划分。界面处理根据分解方向分配，详见第 3.6 节。

**3.6 界面条件**

在相邻子域 ΩL 和 ΩR 之间的每个空间界面 x_int 处，TSDD-PINN 根据界面分类施加平滑耦合或条件守恒项。设 ?L(t)=?L(x_int?,t) 和 ?R(t)=?R(x_int?,t) 分别表示界面处的左侧和右侧预测值，在每个训练步骤中通过 N_int=200 个随机时间样本进行评估。

每个界面根据平均密度跳跃被分类为激波或平滑类型。设 ρ?L 和 ρ?R 为通过 ρ?=ρ?jam(1??/?max) 从预测速度获得的密度，其中 ρ?jam 和 ?max 在归一化坐标系中均等于 1。相应的归一化流量为 q?(ρ?)=?max·ρ?(1?ρ?/ρ?jam)=ρ?(1?ρ?)。如果平均绝对密度跳跃 |ρ?L?ρ?R| 超过阈值 δ_shock，则该界面被分类为激波；否则，被视为平滑界面。

**平滑界面：C0/C1 连续性**

当不存在激波时，界面两侧解应当平滑。损失函数强制施加数值连续性和梯度连续性：

(17) ?_smooth = (1/N_int)∑_{m=1}^{N_int}(?L(t_m)??R(t_m))2 + (1/N_int)∑_{m=1}^{N_int}(?_x ?L(t_m)??_x ?R(t_m))2

在指定界面损失之前，我们首先明确这些固定界面的预期角色。TSDD-PINN 的子域边界是人为固定的空间界面，而非真实移动激波轨迹的参数化。下面引入的可选 Rankine-Hugoniot 和熵条件项是条件守恒项，用于抑制这些人为固定界面上非物理质量不平衡；它们不用于定位激波或精确追踪激波轨迹。显式方法由 Lorin 和 Novruzi (2024) 提出。需要精确激波几何形状的应用更适合使用弱形式或显式间断线公式（De Ryck 等，2024；Lorin 和 Novruzi，2024）。本方法以牺牲该严谨性为代价，换取与稀疏固定传感器数据及自动微分集成的简便性。

**激波界面：Rankine-Hugoniot 和熵条件**

当检测到激波时，强制施加 C0/C1 连续性在物理上是不正确的，因为 LWR 解在激波处是间断的。相反，我们施加 Rankine-Hugoniot (R-H) 条件（Hugoniot, 1887；Rankine, 1870），该条件确保间断处车辆数守恒。我们为每个界面引入可训练的激波速度 s，并惩罚与 R-H 关系的偏差：

(18) ?_RH = (1/N_int)∑_{m=1}^{N_int}[s(ρ?L(t_m)?ρ?R(t_m))?(q?(ρ?L(t_m))?q?(ρ?R(t_m)))]2

激波速度 s 初始化为零，并通过学习率为 10?3 的随机梯度下降进行更新。

对于物理 Greenshields 流量，特征速度为 λ(ρ)=dq/dρ=v_f(1?2ρ/ρ_jam)。其归一化形式为 λ?(ρ?)=?max(1?2ρ?/ρ?jam)=1?2ρ?。为了在可能的弱解中选择物理可容许的（熵）解，我们额外强制施加 Lax 熵条件，λ?(ρ?L)≥s≥λ?(ρ?R)：

(19) ?_entropy = (1/N_int)∑_{m=1}^{N_int}[ReLU(s?λ?(ρ?L(t_m)))2+ReLU(λ?(ρ?R(t_m))?s)2]

该条件要求特征线从两侧向激波传播。λ? 和学习到的界面速度 s 是归一化 x?/t? 坐标下的无量纲特征速度，不能直接与物理 ASM 波速进行比较。总激波界面损失为 ?_shock=?_RH+w_entropy·?_entropy，其中 w_entropy=1.0。

整体界面损失根据分类的界面类型在两种模式之间进行选择：

(20) ?_int = ∑_{界面} { ?_shock，若 |ρ?L?ρ?R|>δ_shock；?_smooth，否则 }

平滑界面耦合在每个界面处均施加；R-H/熵条件项构成独立的条件分支。分量分析并不将条件分支的不活跃视为所有界面耦合的不活跃。

上述界面条件定义与 XPINN 的残差基连续性方法形成对比（Jagtap 和 Karniadakis, 2020），后者并未显式编码 R-H 守恒关系。对于时间和时空消融实验（第 5.2 节），空间子界面使用相同的 R-H 处理，而时间子界面强制施加 C0 解连续性 ?_cont,t=(1/N_int)∑_m[?_after(x_m,t*)??_before(x_m,t*)]2，因为 R-H 关系是空间激波条件。

**3.7 附加训练组件**

**残差自适应精细化（RAR）**

在第二阶段期间，周期性地在高残差区域注入额外的配点，将训练重点集中在当前近似残差较大的区域（Wu 等，2023）。每 2,500 个 epoch，在每个子域内均匀采样 5,000 个候选点，计算每个候选点的绝对 PDE 残差，并将 |r| 最大的 2,500 个点添加到配点集中。该采样规则构成所评估方法的一个组成部分，其独立贡献并未在此确立。

**因果加权**

PDE 损失采用受 Wang 等（2024）启发的时间加权方案，在整个训练过程（第一阶段和第二阶段）中对较早时间步赋予更高权重。其原理是 PDE 解应在时间上顺序求解：早期时间的误差会向前传播，因此网络应优先保证早期时间的精度。具体而言，配点按其时间坐标排序，并划分为 n_bins 个等大小分箱。分箱 j 的因果权重为：

(21) w_causal_j = exp(?ε∑_{k
其中 r?2_k 是分箱 k 中的平均平方残差，ε 是因果参数。权重从计算图中分离（在反向传播中视为常数），使得梯度仅通过残差流动，而不通过加权方案流动。

**梯度裁剪**

每个训练步骤中，所有参数梯度均裁剪至最大范数 5.0。这防止了域分解后立即出现的大梯度引起的训练不稳定，因为界面损失会向目标函数引入新项。

**3.8 分解方向分析**

tsdd-pinn 框架支持空间、时间和时空分解。受控基准测试使用空间实现，而第 5.2 节在匹配条件下评估所有三种方向。在所测试的固定传感器设置中，空间分解获得了最低平均误差，且训练时间不到时空分解的一半，而时间分解速度更快。该结果不构成一般性的方向选择规则。以下三点考虑动机了这一比较。

**论据 1：激波几何形状**

lwr 交通流中的激波主要表现为空间局部化过渡区域：在任何给定时刻，速度场在 x 方向上沿拥堵边界呈现急剧梯度。在我们固定的传感器、车道聚合、有限分辨率的设置中，给定传感器位置处的时间速度轨迹通常比跨越过渡区域的空间剖面变化更为平缓。这一几何形状为测试空间精细化提供了动机。但它既不指定界面位置，也不确立空间分解优于时间替代方案。

**论据 2：数据覆盖不对称性**

固定传感器对时空域的覆盖从根本上不对称。在空间方向上，传感器仅占据域的一小部分（例如，5 个传感器覆盖 100 个空间单元中的 5 个，即 5% 空间覆盖率）。在时间方向上，每个传感器记录跨越整个观测期的连续时间序列（实际上为 100% 时间覆盖率）。空间分解不增加观测数量，也不缩短物理传感器间距。它仅在未观测区间上分配独立的模型容量。这种不对称性为空间方向测试提供了动机，但并未证明其优越性。

**论据 3：残差各向异性**

粗粒度残差可能在空间上具有结构性，但它可能反映的是近似、优化、采样和损失平衡问题，而不仅仅反映物理激波。因此，我们仅将 r(x) 作为确定性的模型难度启发式工具使用。残差证据并不验证激波定位或确立空间误差主导性；第 5.2 节的方向消融实验提供了实证比较。

我们指出，时间分解在其他 tse 场景下可能是有益的，例如基于探针车辆的估计，其中空间覆盖密集但时间采样稀疏。评估此类场景超出了本研究范围。

**4. 实验设置**

**4.1 数据集**

实证评估使用两个轨迹数据集，各有不同的角色。i-24 motion 数据集作为主要基准，用于在稀疏固定传感器重建下评估 tsdd-pinn，针对具有局部化拥堵和易发激波过渡区域的场景。ngsim i-80 数据集提供补充的阴性对照比较，对比现有无触发继续方案、强制分解方案和第一阶段/提前退出；它不是选择器验证实验。数据采集站点如图 b.1 所示。

**i-24 motion**

我们在 i-24 motion 数据集的 5 天数据上评估 tsdd-pinn（gloudemans 等，2023），该数据集通过约 2 秒分辨率的 276 个头顶摄像头，捕获了田纳西州纳什维尔附近 interstate 24 一条 4.2 英里仪表廊道的车道级车辆轨迹。本研究使用 4.0 英里（21,120 英尺）的预处理路段。该路段的原始轨迹数据被聚合为时空网格，包含 100 个空间单元（δx≈211 英尺）和 7,200 个时间步（δt=2 秒），覆盖从 06:00 到 10:00 cst 的 4 小时观测窗口。这 5 天涵盖了从温和自由流到严重事件诱导拥堵的交通条件，如表 1 所总结。这种多样性使得 tsdd-pinn 能够在长高速走廊上评估周期性和非周期性拥堵下的表现。

**ngsim i-80**

我们额外使用 ngsim i-80 轨迹数据集作为补充的阴性对照案例（huang 和 agarwal, 2022；usdot, 2016）。该数据集包含从加利福尼亚州 emeryville 的 i-80 高速公路 1,600 英尺路段采集的详细车辆轨迹。遵循先前的交通 pinn 研究，我们使用 2005 年 4 月 13 日 16:00 至 16:15 的 15 分钟晚高峰时段，并使用 δx=20 英尺的空间分辨率和 δt=5 秒的时间分辨率聚合速度场。ngsim 不是分解精度的主要证据。在 50 次历史运行中，预设筛选器未激活，使得可以比较现有继续方案、强制分解参考方案和第一阶段/提前退出。该结果并不确立局部化边界的缺失、自适应机制的缺失或选择器质量的缺失。ngsim 补充实验使用相同的传感器数量 n_s∈{3,4,5,6,7}、10 个随机种子和相对 l2 误差指标。

速度值通过极值归一化缩放到 [0,1]：?=(u?u_min)/(u_max?u_min)，其中 u_min 和 u_max 从每个数据集的完整轨迹聚合速度场计算得出。自由流速度 v_f 估计为完整聚合场的 95 百分位数，并在训练过程中保持固定。由于这些统计量是从完整场而非稀疏传感器子集导出的，本研究应视为离线重建评估。在线或流式部署需要仅从传感器观测或历史聚合估计这些量；仅稀疏数据的敏感性在第 5.3 节总结，剩余局限性在第 6.3 节讨论。

给定离散化为 n 个空间单元的域，n_s 个传感器通过以下方式等间距放置在内部位置：从 0 到 n?1 生成 n_s+2 个等间距索引，并丢弃两个边界索引。正式地，候选索引为 linspace(0, n?1, n_s+2)，保留 n_s 个内部元素（排除首尾）并四舍五入为最近整数。例如，当 n_s=5 时，i-24 motion（n=100）的传感器单元索引约为 {16, 33, 49, 66, 82}，ngsim i-80（n=80）的约为 {13, 26, 40, 53, 66}。这些是从轨迹聚合场中采样的虚拟固定传感器，而非物理线圈检测器记录。该设计使得跨传感器数量和完整场误差计算的受控比较成为可能，但证据应解释为离线重建而非在线部署。

**4.2 基线方法**

我们将 tsdd-pinn（b6）与五个基线进行比较，这些基线代表了从数据驱动到日益复杂的物理信息方法的递进。神经网络和 pinn 系列基准并不意味着优于未测试的经典估计器。两个非神经比较方法是经典的时间切片空间线性插值和自适应平滑方法（asm）（treiber 和 helbing, 2002）。对于每个 i-24 时间行，线性插值在相邻选定传感器之间重建空间场，使用与神经网络估计器相同的 100 单元评估网格，并在传感器范围外保持最近选定传感器的值。它同时匹配观测网格和评估网格，并使用全部 7,200 个时间行。asm 使用各向异性的时空核重建自由流和拥堵场，并通过速度依赖的过渡权重将它们组合。公开发表的特征波速、时间带宽和速度过渡参数保持固定。仅空间带宽通过留一传感器交叉验证（loocv）在两个预设值之间选择：依次留出每个选定传感器，从剩余传感器重建，并选择使留出轨迹池化相对 l2 误差最小的带宽。 r?2_k) 其中 r?2_k 是分箱 k 中的平均平方残差，ε 是因果参数。权重从计算图中分离（在反向传播中视为常数），使得梯度仅通过残差流动，而不通过加权方案流动。 **梯度裁剪** 每个训练步骤中，所有参数梯度均裁剪至最大范数 5.0。这防止了域分解后立即出现的大梯度引起的训练不稳定，因为界面损失会向目标函数引入新项。 **3.8 分解方向分析** tsdd-pinn 框架支持空间、时间和时空分解。受控基准测试使用空间实现，而第 5.2 节在匹配条件下评估所有三种方向。在所测试的固定传感器设置中，空间分解获得了最低平均误差，且训练时间不到时空分解的一半，而时间分解速度更快。该结果不构成一般性的方向选择规则。以下三点考虑动机了这一比较。 **论据 1：激波几何形状** lwr 交通流中的激波主要表现为空间局部化过渡区域：在任何给定时刻，速度场在 x 方向上沿拥堵边界呈现急剧梯度。在我们固定的传感器、车道聚合、有限分辨率的设置中，给定传感器位置处的时间速度轨迹通常比跨越过渡区域的空间剖面变化更为平缓。这一几何形状为测试空间精细化提供了动机。但它既不指定界面位置，也不确立空间分解优于时间替代方案。 **论据 2：数据覆盖不对称性** 固定传感器对时空域的覆盖从根本上不对称。在空间方向上，传感器仅占据域的一小部分（例如，5 个传感器覆盖 100 个空间单元中的 5 个，即 5% 空间覆盖率）。在时间方向上，每个传感器记录跨越整个观测期的连续时间序列（实际上为 100% 时间覆盖率）。空间分解不增加观测数量，也不缩短物理传感器间距。它仅在未观测区间上分配独立的模型容量。这种不对称性为空间方向测试提供了动机，但并未证明其优越性。 **论据 3：残差各向异性** 粗粒度残差可能在空间上具有结构性，但它可能反映的是近似、优化、采样和损失平衡问题，而不仅仅反映物理激波。因此，我们仅将 r(x) 作为确定性的模型难度启发式工具使用。残差证据并不验证激波定位或确立空间误差主导性；第 5.2 节的方向消融实验提供了实证比较。 我们指出，时间分解在其他 tse 场景下可能是有益的，例如基于探针车辆的估计，其中空间覆盖密集但时间采样稀疏。评估此类场景超出了本研究范围。 **4. 实验设置** **4.1 数据集** 实证评估使用两个轨迹数据集，各有不同的角色。i-24 motion 数据集作为主要基准，用于在稀疏固定传感器重建下评估 tsdd-pinn，针对具有局部化拥堵和易发激波过渡区域的场景。ngsim i-80 数据集提供补充的阴性对照比较，对比现有无触发继续方案、强制分解方案和第一阶段 提前退出；它不是选择器验证实验。数据采集站点如图 b.1 所示。 **i-24 motion** 我们在 i-24 motion 数据集的 5 天数据上评估 tsdd-pinn（gloudemans 等，2023），该数据集通过约 2 秒分辨率的 276 个头顶摄像头，捕获了田纳西州纳什维尔附近 interstate 24 一条 4.2 英里仪表廊道的车道级车辆轨迹。本研究使用 4.0 英里（21,120 英尺）的预处理路段。该路段的原始轨迹数据被聚合为时空网格，包含 100 个空间单元（δx≈211 英尺）和 7,200 个时间步（δt=2 秒），覆盖从 06:00 到 10:00 cst 的 4 小时观测窗口。这 5 天涵盖了从温和自由流到严重事件诱导拥堵的交通条件，如表 1 所总结。这种多样性使得 tsdd-pinn 能够在长高速走廊上评估周期性和非周期性拥堵下的表现。 **ngsim i-80** 我们额外使用 ngsim i-80 轨迹数据集作为补充的阴性对照案例（huang 和 agarwal, 2022；usdot, 2016）。该数据集包含从加利福尼亚州 emeryville 的 i-80 高速公路 1,600 英尺路段采集的详细车辆轨迹。遵循先前的交通 pinn 研究，我们使用 2005 年 4 月 13 日 16:00 至 16:15 的 15 分钟晚高峰时段，并使用 δx=20 英尺的空间分辨率和 δt=5 秒的时间分辨率聚合速度场。ngsim 不是分解精度的主要证据。在 50 次历史运行中，预设筛选器未激活，使得可以比较现有继续方案、强制分解参考方案和第一阶段 提前退出。该结果并不确立局部化边界的缺失、自适应机制的缺失或选择器质量的缺失。ngsim 补充实验使用相同的传感器数量 n_s∈{3,4,5,6,7}、10 个随机种子和相对 l2 误差指标。 速度值通过极值归一化缩放到 [0,1]：?=(u?u_min)/(u_max?u_min)，其中 u_min 和 u_max 从每个数据集的完整轨迹聚合速度场计算得出。自由流速度 v_f 估计为完整聚合场的 95 百分位数，并在训练过程中保持固定。由于这些统计量是从完整场而非稀疏传感器子集导出的，本研究应视为离线重建评估。在线或流式部署需要仅从传感器观测或历史聚合估计这些量；仅稀疏数据的敏感性在第 5.3 节总结，剩余局限性在第 6.3 节讨论。 给定离散化为 n 个空间单元的域，n_s 个传感器通过以下方式等间距放置在内部位置：从 0 到 n?1 生成 n_s+2 个等间距索引，并丢弃两个边界索引。正式地，候选索引为 linspace(0, n?1, n_s+2)，保留 n_s 个内部元素（排除首尾）并四舍五入为最近整数。例如，当 n_s=5 时，i-24 motion（n=100）的传感器单元索引约为 {16, 33, 49, 66, 82}，ngsim i-80（n=80）的约为 {13, 26, 40, 53, 66}。这些是从轨迹聚合场中采样的虚拟固定传感器，而非物理线圈检测器记录。该设计使得跨传感器数量和完整场误差计算的受控比较成为可能，但证据应解释为离线重建而非在线部署。 **4.2 基线方法** 我们将 tsdd-pinn（b6）与五个基线进行比较，这些基线代表了从数据驱动到日益复杂的物理信息方法的递进。神经网络和 pinn 系列基准并不意味着优于未测试的经典估计器。两个非神经比较方法是经典的时间切片空间线性插值和自适应平滑方法（asm）（treiber 和 helbing, 2002）。对于每个 i-24 时间行，线性插值在相邻选定传感器之间重建空间场，使用与神经网络估计器相同的 100 单元评估网格，并在传感器范围外保持最近选定传感器的值。它同时匹配观测网格和评估网格，并使用全部 7,200 个时间行。asm 使用各向异性的时空核重建自由流和拥堵场，并通过速度依赖的过渡权重将它们组合。公开发表的特征波速、时间带宽和速度过渡参数保持固定。仅空间带宽通过留一传感器交叉验证（loocv）在两个预设值之间选择：依次留出每个选定传感器，从剩余传感器重建，并选择使留出轨迹池化相对 l2>
其中 r?2_k 是分箱 k 中的平均平方残差，ε 是因果参数。权重从计算图中分离（在反向传播中视为常数），使得梯度仅通过残差流动，而不通过加权方案流动。

**梯度裁剪**

每个训练步骤中，所有参数梯度均裁剪至最大范数 5.0。这防止了域分解后立即出现的大梯度引起的训练不稳定，因为界面损失会向目标函数引入新项。

**3.8 分解方向分析**

tsdd-pinn 框架支持空间、时间和时空分解。受控基准测试使用空间实现，而第 5.2 节在匹配条件下评估所有三种方向。在所测试的固定传感器设置中，空间分解获得了最低平均误差，且训练时间不到时空分解的一半，而时间分解速度更快。该结果不构成一般性的方向选择规则。以下三点考虑动机了这一比较。

**论据 1：激波几何形状**

lwr 交通流中的激波主要表现为空间局部化过渡区域：在任何给定时刻，速度场在 x 方向上沿拥堵边界呈现急剧梯度。在我们固定的传感器、车道聚合、有限分辨率的设置中，给定传感器位置处的时间速度轨迹通常比跨越过渡区域的空间剖面变化更为平缓。这一几何形状为测试空间精细化提供了动机。但它既不指定界面位置，也不确立空间分解优于时间替代方案。

**论据 2：数据覆盖不对称性**

固定传感器对时空域的覆盖从根本上不对称。在空间方向上，传感器仅占据域的一小部分（例如，5 个传感器覆盖 100 个空间单元中的 5 个，即 5% 空间覆盖率）。在时间方向上，每个传感器记录跨越整个观测期的连续时间序列（实际上为 100% 时间覆盖率）。空间分解不增加观测数量，也不缩短物理传感器间距。它仅在未观测区间上分配独立的模型容量。这种不对称性为空间方向测试提供了动机，但并未证明其优越性。

**论据 3：残差各向异性**

粗粒度残差可能在空间上具有结构性，但它可能反映的是近似、优化、采样和损失平衡问题，而不仅仅反映物理激波。因此，我们仅将 r(x) 作为确定性的模型难度启发式工具使用。残差证据并不验证激波定位或确立空间误差主导性；第 5.2 节的方向消融实验提供了实证比较。

我们指出，时间分解在其他 tse 场景下可能是有益的，例如基于探针车辆的估计，其中空间覆盖密集但时间采样稀疏。评估此类场景超出了本研究范围。

**4. 实验设置**

**4.1 数据集**

实证评估使用两个轨迹数据集，各有不同的角色。i-24 motion 数据集作为主要基准，用于在稀疏固定传感器重建下评估 tsdd-pinn，针对具有局部化拥堵和易发激波过渡区域的场景。ngsim i-80 数据集提供补充的阴性对照比较，对比现有无触发继续方案、强制分解方案和第一阶段/提前退出；它不是选择器验证实验。数据采集站点如图 b.1 所示。

**i-24 motion**

我们在 i-24 motion 数据集的 5 天数据上评估 tsdd-pinn（gloudemans 等，2023），该数据集通过约 2 秒分辨率的 276 个头顶摄像头，捕获了田纳西州纳什维尔附近 interstate 24 一条 4.2 英里仪表廊道的车道级车辆轨迹。本研究使用 4.0 英里（21,120 英尺）的预处理路段。该路段的原始轨迹数据被聚合为时空网格，包含 100 个空间单元（δx≈211 英尺）和 7,200 个时间步（δt=2 秒），覆盖从 06:00 到 10:00 cst 的 4 小时观测窗口。这 5 天涵盖了从温和自由流到严重事件诱导拥堵的交通条件，如表 1 所总结。这种多样性使得 tsdd-pinn 能够在长高速走廊上评估周期性和非周期性拥堵下的表现。

**ngsim i-80**

我们额外使用 ngsim i-80 轨迹数据集作为补充的阴性对照案例（huang 和 agarwal, 2022；usdot, 2016）。该数据集包含从加利福尼亚州 emeryville 的 i-80 高速公路 1,600 英尺路段采集的详细车辆轨迹。遵循先前的交通 pinn 研究，我们使用 2005 年 4 月 13 日 16:00 至 16:15 的 15 分钟晚高峰时段，并使用 δx=20 英尺的空间分辨率和 δt=5 秒的时间分辨率聚合速度场。ngsim 不是分解精度的主要证据。在 50 次历史运行中，预设筛选器未激活，使得可以比较现有继续方案、强制分解参考方案和第一阶段/提前退出。该结果并不确立局部化边界的缺失、自适应机制的缺失或选择器质量的缺失。ngsim 补充实验使用相同的传感器数量 n_s∈{3,4,5,6,7}、10 个随机种子和相对 l2 误差指标。

速度值通过极值归一化缩放到 [0,1]：?=(u?u_min)/(u_max?u_min)，其中 u_min 和 u_max 从每个数据集的完整轨迹聚合速度场计算得出。自由流速度 v_f 估计为完整聚合场的 95 百分位数，并在训练过程中保持固定。由于这些统计量是从完整场而非稀疏传感器子集导出的，本研究应视为离线重建评估。在线或流式部署需要仅从传感器观测或历史聚合估计这些量；仅稀疏数据的敏感性在第 5.3 节总结，剩余局限性在第 6.3 节讨论。

给定离散化为 n 个空间单元的域，n_s 个传感器通过以下方式等间距放置在内部位置：从 0 到 n?1 生成 n_s+2 个等间距索引，并丢弃两个边界索引。正式地，候选索引为 linspace(0, n?1, n_s+2)，保留 n_s 个内部元素（排除首尾）并四舍五入为最近整数。例如，当 n_s=5 时，i-24 motion（n=100）的传感器单元索引约为 {16, 33, 49, 66, 82}，ngsim i-80（n=80）的约为 {13, 26, 40, 53, 66}。这些是从轨迹聚合场中采样的虚拟固定传感器，而非物理线圈检测器记录。该设计使得跨传感器数量和完整场误差计算的受控比较成为可能，但证据应解释为离线重建而非在线部署。

**4.2 基线方法**

我们将 tsdd-pinn（b6）与五个基线进行比较，这些基线代表了从数据驱动到日益复杂的物理信息方法的递进。神经网络和 pinn 系列基准并不意味着优于未测试的经典估计器。两个非神经比较方法是经典的时间切片空间线性插值和自适应平滑方法（asm）（treiber 和 helbing, 2002）。对于每个 i-24 时间行，线性插值在相邻选定传感器之间重建空间场，使用与神经网络估计器相同的 100 单元评估网格，并在传感器范围外保持最近选定传感器的值。它同时匹配观测网格和评估网格，并使用全部 7,200 个时间行。asm 使用各向异性的时空核重建自由流和拥堵场，并通过速度依赖的过渡权重将它们组合。公开发表的特征波速、时间带宽和速度过渡参数保持固定。仅空间带宽通过留一传感器交叉验证（loocv）在两个预设值之间选择：依次留出每个选定传感器，从剩余传感器重建，并选择使留出轨迹池化相对 l2 误差最小的带宽。>

所选带宽随后先通过所有已选传感器应用，再对整个场进行评估，因此未被观测到的网格不会参与其选择。ASM与所选传感器位置匹配，并在其自身的360行时间网格上评估，同时在传感器范围之外保留基于核函数的外推。第5.3节报告了结果，附录C给出了公式、参数值和校准细节。表2总结了六种神经网络和PINN类方法；两种非神经比较方法已在上文分别定义。

• B1（神经网络）。一个前馈网络，其架构与TSDD-PINN的父网络相同，仅在传感器数据上训练，不包含任何偏微分方程约束。

• B2（标准PINN）（Huang and Agarwal, 2022, Raissi et al., 2019）。一种标准PINN，最小化数据损失和PDE损失的加权和，权重固定（$w_{data}=0.85$，$w_{pde}=0.05$）。不进行分解或自适应细化。

• B3（PINN + RAR）（Wu et al., 2023）。在标准PINN基础上增加残差自适应细化：每2,500个epoch，在高PDE残差区域添加2,500个新的配点。将自适应配点效应与分解效应分离。

• B4（PINN + 粘性项）（Huang and Agarwal, 2022, Huang and Agarwal, 2023）。在LWR PDE中添加一个人工粘性项 $\varepsilon \, \partial^2 u / \partial x^2$（$\varepsilon=0.1$）的PINN，其动机在于标准PINN无法准确表示LWR的非光滑解（Huang and Agarwal, 2023）。

• B5（XPINN）（Jagtap and Karniadakis, 2020）。扩展PINN框架，使用 $n_x \times n_t = 2 \times 2 = 4$ 个等间距划分的时空子域，每个子域使用与TSDD-PINN相同的子架构（[2, 256, 128, 128, 1]）。接口耦合遵循Jagtap和Karniadakis（2020）的方法，采用残差连续性加解均值惩罚。网络随机初始化，不使用父网络迁移，从第0个epoch开始联合训练，共计20,000个epoch。为确保公平比较，XPINN使用与TSDD-PINN相同的损失权重（$w_{data}=0.85$，$w_{pde}=0.05$，$w_{int}=0.10$）、相同的StepLR调度和相同的梯度裁剪。此处将XPINN作为标准的固定时空DD-PINN基线使用，而非优化后的XPINN变体。该比较将TSDD-PINN作为耦合的、面向交通的特定设计来评估，而非隔离评估每个单独组件的效应。

所有方法均遵循第3.2节规定的架构惯例：单域方法使用父架构，分解方法使用子架构。它们还共享相同的训练epoch总数、初始配点预算、优化器（Adam，初始学习率$10^{-3}$）和损失权重。方法特定的增强（TSDD-PINN的第2阶段学习率降低、DD方法的StepLR、B3和B6的RAR）在各方法间有所不同。

4.3. 评估与实现

每种方法在所有5个I-24数据集上评估，每个数据集包含5种传感器配置（$n_s \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$）和10个随机种子，每种方法产生 $5 \times 5 \times 10 = 250$ 次运行，总计 $6 \times 250 = 1{,}500$ 次运行。传感器按第4.1节所述放置在等间距的内部位置上。

主要评估指标为相对L2误差（%），在物理速度单位（mph）下于所有时空网格点上计算：

$$(22) \quad \text{相对} \, L_2 \, \text{误差} = \frac{\sqrt{\sum_j \left( u_{pred}^{mph}(x_j, t_j) - u_{true}^{mph}(x_j, t_j) \right)^2}}{\sqrt{\sum_j \left( u_{true}^{mph}(x_j, t_j) \right)^2}} \times 100\%$$

针对五种神经网络和PINN基线的25个配对单元为十种子配置均值；误差较低者定义为胜出。对于这五个方向的比较，配对t检验和Wilcoxon符号秩检验均在预先指定的TSDD-PINN误差较低的方向上采用单侧检验。$p_{Holm}$列对五个配对t检验应用Holm–Bonferroni校正。聚合前已移除重复的中间记录。

所有模型均在PyTorch中实现，并在单张NVIDIA RTX 3060 Ti GPU上训练。表3总结了I-24 MOTION实验的超参数。为确保可复现性，每次运行开始时固定所有随机种子，控制PyTorch、NumPy和CUDA中的随机数生成器。表3列出的10个种子在所有方法、数据集和传感器配置中一致使用。每次运行的训练时间约为500秒（TSDD-PINN在I-24数据集上）。报告的训练时间对应于实际计算时间（前向/反向传播、RAR采样、接口损失和优化器步骤），跨每种配置的10个种子取平均；数据预处理、评估和可视化不包含在内。所有方法在相同的NVIDIA RTX 3060 Ti GPU上运行，使用表3和表6中报告的各方法特定批处理协议。

**表4. 分解启用的评估：I-24 MOTION数据集上的平均相对L2误差（%）。每个条目为10个随机种子的均值。每行最低误差以粗体显示。B1: NN，B2: 标准PINN，B3: PINN+RAR，B4: PINN+Viscosity，B5: XPINN，B6: TSDD-PINN（本文方法）。**

| 数据日 | B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2022/11/21 | 34 | 39.92 | 22.66 | 21.78 | 21.59 | **21.67** | 20.69 |
| | 4 | 37.28 | 17.86 | 17.03 | 16.75 | 16.76 | **15.84** |
| | 5 | 34.34 | 16.91 | 16.42 | 16.22 | 16.04 | **15.06** |
| | 6 | 32.21 | 16.24 | 16.01 | 15.71 | 15.57 | **15.09** |
| | 7 | 26.79 | 15.62 | 14.47 | 14.26 | 14.17 | **14.07** |
| 2022/11/22 | 3 | 42.26 | 22.36 | 22.23 | 22.10 | 22.01 | **19.70** |
| | 4 | 38.30 | 20.08 | 19.46 | 19.54 | 19.26 | **17.92** |
| | 5 | 34.10 | 18.82 | 18.08 | 18.03 | 17.91 | **17.17** |
| | 6 | 31.13 | 17.10 | 16.43 | 16.32 | 16.23 | **16.48** |
| | 7 | 27.96 | 15.68 | 15.04 | 14.88 | 14.60 | **15.41** |
| 2022/11/23 | 3 | 37.50 | 11.91 | 11.22 | 11.22 | 11.15 | **10.66** |
| | 4 | 30.52 | 10.74 | 10.30 | 10.28 | 10.15 | **10.19** |
| | 5 | 24.17 | 10.25 | 9.63 | 9.63 | 9.66 | **9.61** |
| | 6 | 23.07 | 9.96 | 9.39 | 9.48 | 9.43 | **9.58** |
| | 7 | 20.81 | 9.07 | 8.79 | 8.75 | 8.65 | **8.92** |
| 2022/11/29 | 3 | 50.62 | 27.06 | 26.86 | 26.62 | 26.88 | **24.87** |
| | 4 | 47.31 | 25.79 | 25.12 | 25.15 | 25.09 | **23.54** |
| | 5 | 42.76 | 23.53 | 22.83 | 22.79 | 22.58 | **21.07** |
| | 6 | 39.02 | 22.02 | 21.22 | 21.15 | 20.97 | **20.38** |
| | 7 | 34.12 | 20.25 | 19.26 | 19.26 | 18.95 | **19.55** |
| 2022/12/02 | 3 | 40.85 | 21.04 | 20.92 | 20.64 | 20.45 | **17.98** |
| | 4 | 38.76 | 19.02 | 18.56 | 18.55 | 18.35 | **16.84** |
| | 5 | 34.22 | 18.06 | 17.48 | 17.45 | 17.06 | **16.03** |
| | 6 | 29.90 | 16.70 | 16.01 | 15.93 | 15.66 | **15.30** |
| | 7 | 25.71 | 15.13 | 14.57 | 14.36 | 14.08 | **14.65** |

注：原文表格存在排版混乱，上表按原文数据结构重新整理，其中粗体表示各列最低值。

**表5. 随传感器数量变化的平均相对L2误差（%），跨所有5个I-24数据集平均。Δ表示B6相对于B2的提升（百分点）。**

| $n_s$ | B2（PINN） | B5（XPINN） | B6（本文方法） | Δ（B2→B6） |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 21.00 | 20.43 | 18.78 | +2.22 |
| 4 | 18.70 | 17.92 | 16.87 | +1.83 |
| 5 | 17.52 | 16.65 | 15.79 | +1.73 |
| 6 | 16.41 | 15.57 | 15.37 | +1.04 |
| 7 | 15.15 | 14.09 | 14.52 | +0.63 |

**表6. I-24 MOTION上的平均准确率和训练时间，跨所有25种配置（5天 × 5种传感器数量）和10个种子（每种方法250次运行）平均。**

| 方法 | L2 (%) | 时间 (s) | 子域数 |
|---|---|---|---|
| B1（NN） | 34.71 | 391 | — |
| B2（PINN） | 17.75 | 538 | 1 |
| B3（RAR） | 17.16 | 115 | 1 |
| B4（Visc.） | 17.07 | 249 | 1 |
| B5（XPINN） | 16.93 | 1,189 | 4 |
| B6（本文方法） | 16.26 | 496 | 2 |

5. 结果

本节评估TSDD-PINN在五个I-24 MOTION日期的表现，涵盖事故、正常、轻度、严重和次生事故条件。主要指标为在整个时空场上以物理速度单位计算的相对L2误差。

5.1. I-24 MOTION上的主要比较

表4报告了在第3.4节定义的分解启用模式下的受控I-24结果，在该模式下，所有I-24配置中分解固定不变，而分裂位置从残差分布中选择。该表报告了所有25种配置的平均相对L2误差，每种配置均跨10个随机种子取平均。TSDD-PINN（B6）在25种配置中的18种中取得最低误差，XPINN（B5）在6种中最佳，PINN+RAR（B3）在1种中最佳。TSDD-PINN的优势主要集中在稀疏区域。对于 $n_s \in \{3, 4, 5\}$，TSDD-PINN在15种配置中的14种中排名第一。

跨所有25个配置均值的成对统计检验支持了最佳计数摘要。相对于XPINN，TSDD-PINN将平均相对L2误差降低了0.67个百分点，95%置信区间为[0.29, 1.04]。相对于标准PINN，平均降低1.49个百分点，95%置信区间为[1.15, 1.83]。所有五个神经网络/PINN比较在Holm–Bonferroni校正后仍保持显著性，并得到附录C中表C.1报告的Wilcoxon符号秩检验的支持。

按传感器数量平均后，TSDD-PINN在全部五个I-24日期上的日均误差最低。其最大平均增益出现在2022/11/29（严重拥堵日，63%拥堵），TSDD-PINN记录21.88%的相对L2误差，分别优于标准PINN和XPINN 1.85和1.01个百分点。最小增益出现在2022/11/23（轻度拥堵日，11%拥堵），TSDD-PINN记录9.79%，与XPINN实质持平，配置记录为2胜3负。两个高拥堵的崩溃日2022/11/21和2022/12/02表现出类似强劲的增益，相对于标准PINN平均提升1.71至1.83个百分点，相对于XPINN提升0.69至0.96个百分点。

图3展示了2022/11/21的一个代表性稀疏案例（3个传感器），图4映射了对应的逐点误差。整个速度场之间的差异微乎其微，因为三种基于PINN的模型均能恢复主导的走廊尺度模式。可见的区别仅限于框定的拥堵核心区，其中TSDD-PINN比标准PINN保留了更多的低速区域，且略优于XPINN。误差图在空间上解决了这一差异。在低于30 mph的拥堵区域（在该次运行中占域的54.8%），TSDD-PINN的平均绝对误差为4.98 mph，标准PINN为5.55 mph，差异为0.57 mph，而在30至55 mph的过渡区各方法大致相当。图(d)显示，误差降低的区域集中在拥堵边界沿线和核心内部，而非均匀分布于整个域。这些观察描述的是单次运行，仅用于说明。它们不是配置级别的证据，也未隔离任何单个组件的贡献。

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**图3. 2022/11/21使用3个传感器的代表性速度场重建。图(a)显示真实值。图(b)、(c)和(d)分别显示标准PINN（B2）、XPINN（B5）和TSDD-PINN（B6）。黑框标记了放大区域，范围为0.8至1.6小时和0.6至1.8英里，包含拥堵核心。45 mph等值线叠加在图(b)至(d)上。所有神经网络估计器均能恢复速度场的大尺度结构，但连续函数逼近相对于真实值平滑了最陡峭的梯度。在放大区域中，B2的平均绝对误差为11.54 mph，B5为9.49 mph，B6为9.29 mph；这些值描述此说明性运行，而非主表配置均值。**

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**图4. 图3代表性案例的逐点误差图。图(a)、(b)和(c)分别报告了标准PINN（B2）、XPINN（B5）和TSDD-PINN（B6）的带符号速度误差。图(d)显示了改进图 $|e_{B2}| - |e_{B6}|$，其中蓝色表示TSDD-PINN产生低于标准PINN的绝对误差。整个场的平均绝对误差为：B2为4.70 mph，B5为4.55 mph，B6为4.40 mph。在放大区域中，TSDD-PINN相对于标准PINN的平均绝对改进为2.25 mph。这些值为描述性数据，并非主表均值。**

图5作为模型难度的说明性度量。由于残差幅值可能反映物理、优化、采样或损失不平衡，该分布仅用作确定性分区启发式。定位表现不优于中点或随机控制，且在NGSIM上失败。在一个六案例检查中，比较分裂两侧低于45 mph单元的比例，仅有两个案例显示分离，且仅2022/11/23的结果对分区重定位具有鲁棒性。这些发现不能验证激波检测、拥堵分离或最优接口放置。

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**图5. 2022/11/21使用 $n_s=5$、种子42的模型难度说明性度量。残差最大值出现在 $x=0.3100$，真实梯度峰值出现在 $x=0.2828$，投影分裂出现在 $x=0.572864$，部署谷点出现在 $x=0.577889$。这些是不同量，它们不验证激波检测、拥堵分离或最优接口放置。**

总之，受控表和描述性图表（表4及图3至5）支持了一种总体优势，该优势主要集中在稀疏固定感知条件下。它们未将残差规则隔离为其原因，而密集感知下较小的增益促使在第5.3节中报告经典比较结果。

5.2. 分解方向消融

我们在两个I-24日期上比较了空间、时间和时空变体，使用三种传感器数量（$n_s \in \{3, 5, 7\}$）和十个种子。该比较涵盖180个评估的方向特定结果：120个新训练的时间和时空运行以及60个从相应受控基准单元格复用的空间运行。

对于一个代表性案例（2022/11/21使用5个传感器），空间分解实现最低相对L2误差15.06%，时间分解为16.21%，时空分解为15.25%（平均训练时间分别为583秒、329秒和931秒，均跨10个种子取平均）。时间分解在六种配置中的五种中产生最高误差。例外是 $n_s=7$ 的2022/11/22，其中时间分解比空间分解低0.16个百分点。完整结果在附录D中报告。

跨所有六种配置，空间分解在与时间分解的六次比较中的五次取得最低误差，在与时空分解的六次比较中的四次取得最低误差，总共在12次成对比较中的9次排名第一。空间分解未排名第一的三次成对比较全部涉及正常拥堵日（2022/11/22）在较高传感器数量（$n_s=5$和7）下，此时各方向之间的差异低于0.20个百分点。这一记录是测试感知配置下的实证结果，并未确立与过渡结构的交互作用。

平均误差和训练时间对三个方向的分离方式不同。空间分解平均为17.02%，耗时474秒；时间分解为17.83%，耗时339秒；同时沿空间和时间的分解为17.07%，耗时998秒。因此，空间分解既不是最快的，也非始终最准确的。时空变体具有相似的平均误差，但需要2.1倍的训练时间，因为它创建了四个子域而非两个。

这一精度与成本的模式与沿稀疏观测空间方向分配局部容量相一致，但第3.8节中的分析动机并未证明空间分解是最优的，无论是在这些运行中还是在一般情况下。

5.3. 传感器灵敏度分析

表5和图6总结了性能随传感器密度变化的情况，结果在所有五个I-24日的数据上取平均。TSDD-PINN始终优于Vanilla PINN，在稀疏度最高的设置（$n_s=3$）下增益最大，平均降低2.22个百分点。修正后的增益序列为2.22、1.83、1.73、1.04和0.63个百分点，分别对应$n_s=3$到7。

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图6. Vanilla PINN（B2）、XPINN（B5）和TSDD-PINN（B6）的平均相对L2误差随传感器数量的变化，在所有五个I-24日的数据上取平均。误差棒使用原始约定：在每日-方法-传感器单元格内，十个种子间的人口标准差，在五个日子上取平均。

这些结果与传感器配备不足的高速公路走廊监控相关。在此类设置中，估计器必须从少量固定传感器轨迹中重建长时间未被观测的空间区间。图6中扩大的差距表明，在该评估的稀疏感知机制下，TSDD-PINN提供了最大的改进。在$n_s=7$处的交叉应被理解为范围条件而非矛盾。在更密集的虚拟传感器设置下，残差引导空间分解的优势减弱，XPINN的固定时空划分不再处于持续劣势。

如表C.2所述，经典的时段空间线性插值平均为16.51%，ASM在仅观察LOOCV选择其空间带宽后平均为18.12%。线性插值在全部7,200个时间行上评估，而ASM在其自身的360行网格上评估；不声称评估网格等价。线性插值比较总体上不显著（$p=.443$）：在$n_s=3$至5的15个稀疏案例中，TSDD-PINN有13例误差更低，而插值在10个密集案例中有8例误差更低。附录C给出了标定细节和配对统计量。

主要归一化使用完整场的最小和最大速度以及完整场的第95百分位$v_f$，在离线虚拟传感器协议中进行。在75个匹配的稀疏案例中（$n=75$），仅稀疏值减去主要值为-0.13个百分点（95%置信区间[-0.35, +0.10]，$p=.262$），最大$v_f$偏移为0.59 mph。不显著性并不确立等价性或消除完整场信息路径。逐一四参数灵敏度分析涵盖$\tau_{shock}=1.25$–3.00、峰值分数0.15–0.60、峰间距离0.05–0.20和最小宽度0.075–0.30。在$\tau_{shock}=2.0$时，默认延续的平均值为16.69%。在七个测试阈值中，组装均值跨度为0.11个百分点，尽管较低阈值的激活部分由两子域代理表示而非完全执行的替代策略。对于2022/11/29且$n_s=3$的情况，峰值分数替代方案产生了24.67%–41.24%的不利范围。最小宽度并不能保证传感器填充子域的存在。因此，该分析并未确立在所有局部设置下的鲁棒性。

5.4. 计算效率

表6比较了所有25个I-24配置的精确度和训练时间。TSDD-PINN实现了最佳平均相对L2误差16.26%，同时需要496秒的训练时间，而XPINN需要1,189秒。在所评估的实现、子域结构和训练预算下，TSDD-PINN的训练速度是XPINN（最佳基线）的2.4倍。由于网络数量、初始化、批处理和优化路径不同，该结果并未归因于热启动或任何单一组件。

PINN+RAR（B3）是最快的物理信息基线，因为它不仅通过自适应重采样将训练聚焦于高残差区域，而且处理的是每步配点小批量而非完整配点池。然而，这种速度以低于TSDD-PINN的精度为代价。在物理信息方法中，B3的平均训练时间最短（115秒），而TSDD-PINN的平均误差最低（16.26%），需要496秒。方法选择取决于重建误差和训练时间的相对重要性。

5.5. NGSIM上的阴性对照实验

第4.1节描述的NGSIM实验作为TSDD-PINN在第二个数据集上的阴性对照案例。它不是过渡机制缺失的证据。预设筛选器在50次NGSIM历史运行中均未激活。TSDD-PINN配置（B6*）保留了单域回退。这种未触发结果并未验证筛选器质量或过渡机制规则。

表7报告B6*在所有五种传感器配置中均排名第一，总体相对L2误差为15.25%，平均训练时间为123秒，而XPINN为15.44%和668秒。相比之下，B6?退化为16.36%和273秒，在七种方法中整体排名第六。B6*与B6?之间的对比显示，低误差的现有延续路径旁边存在一个不利的强制分解参考；它并未识别筛选器为何未激活或验证其决策。这是一个阴性对照，而非在I-24上验证激活阈值。因此，NGSIM缩小了跨数据集的主张范围。

表7. NGSIM阴性对照结果。B6*表示50次未触发结果后的现有延续路径。B6?表示强制分解参考。数值为10个种子的平均相对L2误差（%）。

| $n_s$ | B6*（本文） | B5（XPINN） | B6?（强制） |
|--------|-------------|-------------|-------------|
| 3 | 18.75 | 19.14 | 19.67 |
| 4 | 16.76 | 16.86 | 17.29 |
| 5 | 15.35 | 15.51 | 16.26 |
| 6 | 13.15 | 13.21 | 14.62 |
| 7 | 12.25 | 12.45 | 13.94 |

6. 讨论

结果支持的主张比"域分解总是有助于PINN"更为有限。组合改进方法的受控证据集中于固定传感器留下长空间间隙的位置；密集插值和NGSIM结果界定了该操作范围。这种解释与先前关于TSE可观测性、DD-PINN泛化以及PINN在输运主导PDE上失败的工作一致（Hu et al., 2021, Huang and Agarwal, 2023, Karniadakis et al., 2021, Seo et al., 2017）。

6.1. 为什么分解方向对固定传感器TSE很重要

三项观察界定了第5.2节结果的解释。首先，空间分裂可以减轻谱偏置、梯度不平衡和易激波的LWR结构造成的局部逼近负担，这与PINN和守恒律研究一致（Coutinho et al., 2023, De Ryck et al., 2024, Huang and Agarwal, 2023, Krishnapriyan et al., 2021, Lorin and Novruzi, 2024, Tancik et al., 2020, Wang et al., 2024, Wang et al., 2021, Wu et al., 2023）。其次，固定传感器提供密集时间轨迹但稀疏空间覆盖，因此空间分裂将局部容量与被观测区间对齐（Hu and Fan, 2024, Seo et al., 2017, Wang and Papageorgiou, 2005, Wang et al., 2008, Zhao and Yu, 2024）。第三，匹配方向比较表明，在测试的固定传感器条件下，空间改进实现了比时间改进更低的平均误差。粗残差仅用于引导确定性划分，并不作为空间误差主导的证据。该范围与DD-PINN分析一致，后者表明分解在简化局部函数足以抵消界面成本和每个子域减少的数据时是有效的（Hu et al., 2021, Moseley et al., 2023, Shukla et al., 2021）。观测结果和残差轮廓均未证明经验方向结果。

I-24和NGSIM结果定义了依赖于感知密度和数据集的范围，而非过渡机制规则。最大增益出现在严重的事故I-24日，而NGSIM激波筛选模式在所有50次运行中保留了单域回退并在传感器配置中排名第一。当对NGSIM施加强制分解时，同一架构在七种方法中降至第六。这种不利的强制结果缩小了跨机制的主张但未验证筛选器作为选择器（Huang and Agarwal, 2022, Lu et al., 2023, Shi et al., 2021, Shi et al., 2022）。

XPINN是有用的DD基线，因为它在一个统一框架内支持空间、时间和时空划分（Jagtap and Karniadakis, 2020）。观察到的增益与组合设计一致，包括残差引导的分裂位置、最小两子域结构、父到子热启动和固定界面正则化。因此，TSDD-PINN的贡献应被解释为交通特定的分解工作流，而非声称每个组件单独是新的。已完成的对照发现了一个集中于某一天的边界初始化证据，山谷精确定位的空结果，以及条件R-H/熵分支的未激活。

6.2. 交通工程意义

TSDD-PINN与经典TSE方法互补。经典线性插值在密集感知下通常更低，观察匹配的ASM使用已发布的固定参数和观察轨迹LOOCV带宽选择。扩展卡尔曼滤波已在包含边界和匝道信息的检测器布局下支持实时高速公路交通状态估计和在线参数估计。Hamilton-Jacobi公式为融合边界、内部、累计流量和移动传感器信息提供了物理可解释的框架。本基准测试则提供等间隔的内部虚拟速度轨迹，不包含测量的边界或匝道流量或累计流量；实施这些方法将改变观测和模型规范而非提供匹配比较（Canepa and Claudel, 2017, Daganzo, 2006, Treiber and Helbing, 2002, Wang and Papageorgiou, 2005, Wang et al., 2008），而TSDD-PINN针对的是使用稀疏固定传感器的离线重建场景。

从实际实施角度看，经典基于模型的估计器提供可解释的交通状态，一旦交通模型、边界条件、测量方程和不确定性规范确定，即可支持递归实时运行。然而，其应用可能需要走廊特定标定、边界或匝道测量以及过程模型和测量模型的专家规范。TSDD-PINN则在单一可微模型中拟合稀疏速度观测和LWR残差，将部分拟合过程转移到训练中而未消除专家选择：当前实现仍需要归一化统计量、预设$v_f$、网络和损失设置、筛选和划分参数以及离线优化。经典方法可能更适合已标定的在线运行，而TSDD-PINN目前定位于从稀疏内部速度轨迹进行离线重建。在离线I-24重建设置中，估计器设计可以改变传感器密度/误差权衡。TSDD-PINN使用4个传感器达到16.87%的相对L2误差，低于Vanilla PINN使用5个传感器的17.52%；TSDD-PINN使用5个传感器达到15.79%，低于Vanilla PINN使用6个传感器的16.41%。在这些等间隔虚拟传感器实验中，上述示例中少一个内部传感器即可达到可比误差。这不应被解释为传感器部署的直接建议；而是表明模型设计可能影响离线重建中的成本-精度前沿。

当前训练时间更适合事后走廊重建、事故取证、日常监控和存档重建，而非流式估计（Lu et al., 2023, Rempe et al., 2022, Seo et al., 2017, Treiber and Helbing, 2002）。可选的未触发规则可阻止在未触发路径上进一步训练，但其衍生估计是在没有额外完整训练实验的情况下获得的，并非通用改进保证。

6.3. 局限性与未来工作

第一个局限性是模型范围。我们使用带有Greenshields闭包的LWR和固定的预估计$v_f$，以在简单设置中隔离域分解设计，该设置中已记录激波相关的PINN失败（Huang and Agarwal, 2023）。此选择不意味着Greenshields闭包或一阶确定性物理对所有TSE任务都足够。二阶、随机、异质和联合学习本构模型对于存在车道变换、匝道或类别特定行为的设置可能更现实，仍是超出当前评估的自然扩展（Aw et al., 2002, Aw and Rascle, 2000, Jabari and Liu, 2012, Jabari and Liu, 2013, Shi et al., 2021, Shi et al., 2022, Wang et al., 2022, Wong and Wong, 2002, Yuan et al., 2021b, Zhang, 2002）。

第二个局限性是数值方面：基于山谷的分裂规则是启发式的，当激波随时间大幅移动时，低残差山谷可能不提供最优界面位置。定位效果并不显著优于测试的中点和随机对照，且物理分离在六个评估案例中有四个失败。由于界面公式是固定界面正则化而非定位或精确激波跟踪方法，未来工作应将域分解改进与弱形式或间断感知损失相结合（De Ryck et al., 2024, Lorin and Novruzi, 2024）。

一个互补的未来方向是将LWR先验公式化为累计流量变量$N(x,t)$而非直接在$(q,\rho)$或速度中。Newell的累计流量构造和Daganzo的变分公式表明，运动波解可以通过满足Hamilton-Jacobi结构的连续分段可微累计流量函数来表示，因此激波表现为斜率间断而非状态变量跳变（Daganzo, 2005, Newell, 1993a）。

这种表述形式或许能够减少连续神经网络逼近器与不连续交通状态之间的直接冲突，但它也会改变观测模型，因为固定传感器提供的是速度、流量或占有率的点测量值，而不是累积计数。在那种情形下，残差引导的分裂检测与从父网络到子网络的暖启动在概念上仍然是互补的，因为它们作用于学习到的残差场和网络权重，而非某种特定的交通状态变量选择。

第三个局限在于数据范围与感知模式。该表述形式是按车道聚合的、针对单一通道的，且不含源项，因此受匝道影响的网格单元可能无法由 LWR 残差充分表征。因此，所获得的证据应当被解读为相同通道内的多日鲁棒性，而不是跨道路的泛化能力。使用全字段归一化统计量以及预先估计的 $v_f$ 也使本研究被限定为离线重建评估，而非在线部署研究。仅使用稀疏数据进行归一化的差异并不显著，但这既不能证明等价性，也不能消除离线信息路径；完整字段的信息路径可能高估实际部署性能。需要在更多通道、事件类型、匝道、交叉口以及传感混合方案上进行更广泛的验证。探针车辆以及其他拉格朗日数据尤为重要，因为更丰富的空间覆盖可能会改变可观测性以及所选择的分解方向（Canepa and Claudel, 2017, Herrera and Bayen, 2010, Rempe et al., 2022, Seo and Kusakabe, 2015, Wang et al., 2022）。扩展到网络规模需要协调的路段划分以及匝道源项（Lu et al., 2023, Usama et al., 2022）。

第四个局限在于基准范围。规范插值方法与观测网格及评估网格相匹配；ASM 在其自身的 360 行网格上与观测相匹配。在当前均匀间隔的内部速度虚拟传感器协议下，匹配的扩展卡尔曼滤波或变分 Hamilton–Jacobi 实现将需要额外的观测或模型规格，包括可用时的边界流量或匝道流量测量、累积计数约束，以及标定过的状态转移与测量模型。已有文献记录了这些方法在包含此类信息的观测条件下成功的实际应用，但它们所报告的数值结果与本研究所采用的全字段相对 L2 评估并不直接可比（Canepa and Claudel, 2017, Daganzo, 2006, Treiber and Helbing, 2002, Wang and Papageorgiou, 2005, Wang et al., 2008）。架构、损失权重、激波阈值以及分裂检测阈值均为用于公平相对比较的固定协议选择，而非优化后的部署方案。敏感性分析并未证明在每个局部设定下均具备鲁棒性。未来的工作还应与算子学习类方法进行对比，并采用贝叶斯或不确定性感知 PINN 工具引入不确定性量化（Yang et al., 2021, Zhang et al., 2019）。

7. 结论

本研究提出了 TSDD-PINN，一种与观测对齐的两阶段域分解框架，用于基于稀疏固定传感器的离线路网重建。该框架支持空间、时间和时空变体。在所评估的方向中，空间细化取得了最低的平均误差，并且所需的训练时间不到时空细化的一半，而时间细化则更快。该方法首先训练一个粗粒度全局 PINN，将一个受控的细化路径与一个可选的、保留第一阶段结果的操作路径分离开来；在启用空间分解时，将残差分布作为确定性划分启发式；从父网络的解对子网络进行初始化；并施加固定界面正则化。

结果支持四项主要发现。第一，受控的 TSDD-PINN 在 25 个 I-24 配置中的 18 个以及 15 个稀疏传感案例中的 14 个取得了最低的相对 L2 误差；但与线性插值的整体比较并不显著，且密集传感通常已由插值充分满足。已完成默认筛查的评估记录了 20/250 次激活以及现有续训的 16.69%；由此推导的无触发估计为 16.3873%，未进行额外的完整训练实验即得，且并未对该筛查进行验证。第二，在所研究的范围内，对于固定传感器的 TSE，空间分解在 12 组两两方向比较中的 9 组取得了更低误差。时空变体的平均误差相近，但所需训练时间为 2.1 倍，而时间分解则更快。第三，在所评估的实现方式、子域结构和训练预算下，TSDD-PINN 的平均误差低于 XPINN（16.26% 对比 16.93%），在 I-24 上所需时间为 496 秒，而 XPINN 为 1,189 秒。第四，评估涵盖 5 天 I-24 数据、5 种传感器配置以及 10 个随机种子，跨 6 种方法共进行 1,500 次 I-24 运行。

总体而言，TSDD-PINN 具有一个被支持的运行范围，其有效性取决于传感密度，而非在所有设定下普遍成立的优势。该方法应被理解为用于离线路网重建的 PINN 家族框架，而非对已标定的经典 TSE 估计器的替代，也非在线部署方法。残差定位与精确谷点放置尚未被作为独立的性能贡献因素进行验证。在组件分析过程中，条件 Rankine–Hugoniot/熵分支未被激活，且 NGSIM 结果与"无触发路径在所有设定下均带来收益"的假设相矛盾。未来的工作应将 TSDD-PINN 扩展至更丰富的交通物理、带匝道和交叉口的网络规模通道、在线归一化与参数估计、与经典 TSE 估计器的匹配比较、不确定性量化、累积计数表述，以及对激波的弱格式处理。

生成式人工智能使用说明

在本工作的准备过程中，作者使用了 ChatGPT（OpenAI）以辅助语言润色和 LaTeX 排版。使用此工具后，作者对所生成内容进行了审阅与编辑，并对所发表文章的全部责任负责。

CRediT 作者贡献声明

Eunhan Ka：原稿撰写、可视化、软件、方法学、调查、概念化。
Ludovic Leclercq：审阅与编辑、调查。
Satish V. Ukkusuri：审阅与编辑、监督、资源、方法学、调查、概念化。

Eunhan Ka | Ludovic Leclercq | Satish V. Ukkusuri