基于顺序稀疏贝叶斯宽学习的数据同化方法及其在高铁轨道老化监测中的应用

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Sequential sparse Bayesian broad learning for data assimilation with application to high-speed railway track ageing monitoring

　　

摘要
结构系统在其使用寿命期间不可避免地会发生老化，这会逐渐改变其固有的结构行为。有效地从时序监测数据中同化这种结构老化对于提供异常状态的准确预警至关重要。因此，一个关键挑战是如何使机器学习算法能够动态适应时变结构退化。在本研究中，我们聚焦于一种非参数回归模型的概率递归反演，该模型旨在同化输入与输出之间缓慢演变的关系。主要的计算创新如下。我们提出了一种名为序列稀疏贝叶斯宽学习系统（Sequential Sparse Bayesian Broad Learning System）的新型递归回归算法。宽学习系统被用于非参数地近似非线性函数。我们对输出权重及其时间变化施加稀疏约束，以便仅基于数据自动选择稀疏的输出权子集，从而减轻病态问题。输出权重和预测中的不确定性也可以被量化。所提算法的性能通过使用合成基准数据和针对高速铁道路基年尺度老化的长期现场数据同化实验进行了验证。结果表明，我们的算法实现了高预测精度、不确定性量化、稀疏模型结构和强鲁棒性。

引言
在长期服务过程中，土木工程结构持续受到多种激励的作用，包括交通荷载、风荷载和地震作用 [1,2]。这些激励影响结构响应，并可能诱发结构损伤、渐进式退化，甚至危及安全或导致倒塌 [3,4]。重要的是，结构系统在其使用寿命期间会发生老化，逐渐改变其结构和机械行为 [5,6]。捕捉并将这一老化过程同化到数据驱动模型中对于理解激励与结构响应之间不断演变的关系至关重要，并且对于提供异常状况的准确早期预警也是必不可少的。这促使了能够进行持续状态评估和自适应建模的结构健康监测（SHM）系统的发展 [[7], [8], [9]]。随着传感技术的快速发展，大量捕捉激励和响应的监测数据变得可用。挖掘嵌入在这些数据中的隐式功能关系提供了一条数据驱动路径，以揭示潜在的机械行为并评估结构健康状况 [[10], [11], [12], [13]]。被监测特征（如温度、应变和位移）之间的关系通常可以表示为：
??=???(??)+??
其中 ?? 和 y 代表两个或更多强相关的输入和输出特征；?? 是由指定的不确定模型和传感器测量引入的未知建模误差；???(·) 表示被监测特征之间的隐式功能关系，通常是非线性的，并与被监测结构的状态有关。许多非机器学习的数据驱动算法已被用于对监测数据中的相关性进行建模。例如，自回归模型 [53]，动态线性模型 [[54], [55], [56]]，卡尔曼滤波器 [57,58]。在这些方法中，嵌入了经验或半经验公式来近似这些精心选择的监测特征之间的关系 [14]。此类经验数据驱动方法往往缺乏灵活性。受限于预定义的函数形式和系数的确定，这些模型通常需要复杂且细致的微调。此外，这些数据驱动方法未能考虑非线性效应，往往导致相关性关系的不精确建模。因此，为了解决这类问题，我们研究了非参数非线性代理模型 [15]。

机器学习方法已成为结构健康监测领域数据挖掘中的一个新范式 [[16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24]]。在机器学习范围内，宽学习系统（BLS）是代理模型的一个有前景的替代方案 [[25], [26], [27]]。BLS 在结构复杂度和计算效率之间进行了权衡。它通过随机投影而不是反向传播将输入数据映射到高维特征空间。然而，SHM 中的回归问题经常涉及噪声和不完整数据 [[28], [29], [30]]。BLS 采用伪逆，本质上是一种最小二乘法，来反演高维线性模型，这很容易导致过拟合。我们关注贝叶斯机器学习框架内的稀疏近似 [31]，该方法可以通过贝叶斯定理评估所有可能参数值的相对合理性来量化这种不确定性。稀疏贝叶斯学习（SBL）是一种贝叶斯概率机器学习方法，用于推断线性模型中权重参数的稀疏表示 [[32], [33], [34], [35], [36],[60], [61]]。通过引入稀疏的自动相关性确定（ARD）先验，SBL 仅依赖数据来推断参数的后验概率分布。在 SBL 的计算中，有效维度（即参数向量中非零元素的数量）由贝叶斯奥卡姆剃刀 [37] 自动确定，以在数据拟合和模型稀疏性之间取得平衡，从而与传统稀疏近似方法相比消除了参数调整的需要。

本文解决的核心计算问题是如何通过机器学习技术自动同化监测数据中随时间演变的相关性变化。在贝叶斯概率框架内，几种算法使用卡尔曼滤波 [38] 及其变体 [[39], [40], [41]] 来处理动态递归。本文基于卡尔曼滤波提出了一种名为序列稀疏贝叶斯宽学习系统（Sequential SBBLS）的算法，用于非线性函数的动态递归建模。该算法采用宽神经网络将变量之间的非线性关系近似为高维线性模型。然后在权重参数及其时间变化上纳入稀疏约束，在稀疏贝叶斯学习框架内产生鲁棒的递归稀疏近似估计。还引入了一种高效的逐次松弛程序，用于仅基于数据自动选择参数的稀疏子集，从而避免过拟合并提高模型泛化能力。此外，作为一种贝叶斯概率算法，它评估所有可能参数值的相对合理性，以量化估计的不确定性。这种量化的不确定性对于面向可靠性的状态评估具有直接价值：校准的置信区间允许对输入 - 输出关系是否发生显著漂移进行统计上有原则的判断，而不是基于阈值的判断，这为下游决策方案（如贝叶斯假设检验状态评估 [59]）提供了概率基础。

在我们的初步研究中，我们提出了一种序列稀疏贝叶斯学习（SSBL）算法 [42]，该算法利用时间相关性先验信息处理线性动态递归问题；并单独提出了一种将 BLS 纳入 SBL 框架的 SBBLS 算法 [43]，用于近似具有固定功能映射的静态隐式非线性关系。这两个框架单独来看都不适合此处提出的问题：前者是线性的，无法表示非线性输入 - 输出关系；而后者是静态的，没有时间演化机制。因此，本研究的贡献是这两种方法的扩展，通过深层结构集成使其相互兼容，这需要三个发展。首先，利用 BLS 随机特征映射将未知的非线性映射重构为在高维特征上线性的表示，从而便于递归贝叶斯推断和闭合形式更新。其次，引入一种稀疏重构，使得权重稀疏性和时间增量稀疏性可以在单个分层贝叶斯框架中共存，并且所有超参数均自动推断。第三，我们首次针对 BLS 明确了随机特征映射上的多样性和时间不变条件，在这些条件下时间相关性先验具有物理意义。在高速铁道路基监测的应用中，我们为温变 - 位移关系的长期数据同化建立了动态模型，并展示了令人满意的性能。

本文其余部分组织如下。第 2 节详细介绍了序列 SBBLS 算法的理论框架，并提供了实现的伪代码。第 3 节合成数据示例和第 4 节涉及高速铁道路基结构健康监测的示例应用，分别展示了算法在合成数据和来自高速铁路轨道结构监测系统的实际监测数据下的研究。最后，在第 5 节得出结论。

章节片段
方法论
在本节中，我们详细说明了我们提出的算法的细节。根据公式 (1)，我们的非参数非线性动态模型建立在所有数据可根据其生成时间划分为 T 个时间步的假设之上，且第 i 个时间步的输出变量 ???? 可以通过以下生成模型进行预测：
????=?????(????)+????,??=1,2,?,??
其中下标 i 表示第 i 个时间步的模型变量和参数；???? 表示未知的预测误差，归因于

合成数据示例
在本节中，我们通过合成数据上的模拟实验评估了所提算法的性能，重点关注其权重 ???? 的反演性能以及对数据质量变化和参数设置设置的鲁棒性。由于 BLS 建立的高维线性模型中 ???? 的真实值未知，我们通过测试数据集中 ??*?? 的预测精度来评估反演性能。为了进一步研究模型鲁棒性，我们引入了两个

涉及高速铁道路基结构健康监测的示例应用
前一节中进行的数值实验验证了所提算法的高预测精度、稀疏模型结构和强鲁棒性。在本节中，我们通过一个涉及高速铁道路基结构健康监测的实际应用进一步验证了序列 SBBLS 算法的优势。

结论
在本研究中，我们聚焦于非参数非线性动态模型的递归反演，以表征由底层结构机械状态变化驱动的激励 - 响应关系的缓慢演化。我们提出了一种名为序列稀疏贝叶斯宽学习系统的算法。宽学习系统被用于将非线性变量关系近似为高维线性模型。考虑到动态问题的特点，两个稀疏

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的与本文报告的工作有关的竞争财务利益或个人关系。

CRediT 作者贡献声明
王辰跃：写作 – 原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，正式分析。
高景泽：写作 – 审阅与编辑，可视化，验证，软件，方法论。
黄勇：写作 – 审阅与编辑，监督，资源，项目管理，方法论，资金获取，数据管理，概念化。
陈刚：项目管理，数据管理。

王辰跃 | 高景泽 | 黄勇 | 陈刚