时空多边形模糊惯性神经网络的事件触发准同步：离散建模与仿真框架

《Mathematics and Computers in Simulation》：Event-triggered quasi-synchronization of spatiotemporal polygonal fuzzy inertial neural networks: A discrete modelling and simulation framework

　　

摘要
本文研究了在离散时空建模框架下带有时间延迟的多边形模糊惯性神经网络（PFINNs）的准同步问题。通过引入惯性动力学、反应-扩散效应、时间延迟和多边形模糊突触权值，建立了一个统一的主-从模型，以描述复杂动力学系统中耦合的时间记忆和空间相互作用机制。针对参数失配和通信约束问题，设计了一种事件触发控制策略。构建了一个包含当前状态、延迟状态和空间差分信息的李雅普诺夫泛函，并在此基础上建立了可计算的矩阵不等式条件，以确保准同步。进一步推导了同步误差的显式上界，为可实现同步精度提供了定量估计。所提出的框架集成了系统建模、离散时间分析和面向仿真的控制设计，适用于在非理想条件下研究复杂模糊神经动力学。最后给出了一个数值算例，验证了理论结果的可行性和有效性。

引言
神经网络已成为建模和学习复杂非线性关系的重要工具，其研究已向越来越多样化的架构和动力学建模范式演进。代表性进展包括物理信息神经网络和受偏微分方程启发的神经模型，它们将物理结构或控制方程融入学习过程[1]、[2]、[3]；模糊和可解释的神经网络系统，用于表示不确定性并提高模型透明度[4]、[5]；以及随机神经网络，用于描述随机波动和不确定动态行为[6]。与此同时，带有延迟、反应-扩散及其他动态特性的神经网络模型，因其能够表征时间记忆、空间相互作用和复杂演化过程，而受到了广泛关注[7]、[8]。此外，近期研究还探讨了模型融合[9]、深度同构模型中的隐式和算法正则化[10]、稀疏和条件计算[11]、[12]、自动化神经架构搜索[13]、[14]，以及自适应推理策略，以提高神经模型的可扩展性和计算效率[15]。在这些进展中，从动力学系统视角对神经网络进行建模，为研究复杂神经系统的稳定性[7]、同步[6]和集体行为提供了自然框架。

惯性神经网络（INNs）是重要的动力学神经网络模型类别之一，其网络状态根据涉及惯性动力学的微分方程或差分方程演化，而非仅由静态的输入-输出映射描述[6]、[16]、[17]、[18]。在这一框架中，网络状态由其自身的动态演化决定，该演化依赖于当前状态、惯性效应、历史状态和外部输入。惯性项的引入丰富了神经网络的动态行为，并为描述时间记忆和复杂瞬态响应提供了自然机制。这种动力学系统表述使INNs尤其适合于稳定性、同步及其他集体动态行为的理论研究[7]、[19]、[20]。因此，INNs的分析自然被置于动力学系统框架内，其稳定性和收敛性可通过基于李雅普诺夫的技术进行考察[16]、[21]。此外，通过纳入空间扩散、时间延迟和不确定性等额外机制，INNs为描述更复杂的神经动力学提供了灵活框架。

在神经网络和模糊系统中，模糊模型为在保留一定可解释性的同时表示不确定信息提供了有效框架[4]、[5]。其将非线性建模与模糊信息表示相结合的能力，促成了智能系统中的多种应用，包括基于同步的图像处理和神经模糊风险评估[22]、[23]。在现有的模糊表示方法中，多边形模糊数通过具有显式指定断点的分段线性隶属函数来描述模糊信息[24]。这种表示方法提供了灵活且透明的模糊集描述方式，可自然地融入神经网络突触权值中。与光滑非线性表示相比，分段线性结构主要涉及简单的算术和比较运算，这可能便于数值和硬件实现[25]。此外，隶属函数的显式分段结构使相应的模糊集相对直观且可解释[5]、[24]。受这些特性启发，本文采用多边形模糊数作为表示工具，来刻画所考虑惯性神经网络的突触权值不确定性。

对于动力学神经网络，时空离散化的动机与连续或分布式动力学系统的数值表示密切相关[6]、[26]、[27]。其背景在于弥合连续动力学描述与其数值实现之间的需求：复杂动态行为往往难以直接分析，而基于计算机的仿真和控制则需要有限维和离散表示。因此，时空离散化在连续动力学模型与可计算数值框架之间提供了基本连接。其意义不仅限于数值近似，因为适当的离散化还应尽可能地保留原系统的本质动力学特性。从这一观点看，离散化将连续演化方程转化为可分析和计算的有限步动力学模型[28]。这一视角也与近期受偏微分方程启发的神经网络架构和神经常微分方程的发展相关，其中连续动力学原理被纳入神经网络建模[29]、[30]、[31]。在实践中，离散化构成了科学计算的基础，而现代几何和结构保持积分方法进一步强调，设计良好的离散方案应保留底层连续系统的重要结构特性。

在神经网络理论中，时间延迟是反映神经系统中时间依赖关系和信息传递过程的核心概念[8]。它代表了互联神经元间信号传递时可能产生的有限传播和处理时间。相应地，时间延迟机制已被广泛纳入动力学神经网络模型，以表征记忆效应和时间相互作用[8]。从数学角度看，这些机制导致延迟微分方程及其离散对应物，其中系统状态不仅依赖于当前值，还依赖于预定过去时间区间内的历史轨迹[32]。从瞬时状态到历史依赖动力学的这一扩展，为描述神经网络中的时间记忆和复杂演化过程提供了系统框架。显式延迟结构也在学习系统中得到利用，例如嵌入延迟的储层计算，以增强时间信息处理能力[33]。在神经形态计算和脉冲神经网络中，可编程突触延迟为时间模式处理和事件驱动计算提供了另一种机制[34]、[35]。

传统的神经网络同步模型通常考虑相对均匀的动力学设置，这可简化理论分析和模型实现。然而，在实际互联神经系统中，不同子系统之间往往难以维持完全的同质性。异质性可能源于内在参数、局部动力学、耦合强度、扩散系数、时间延迟、外部扰动或运行条件的差异。这种非相同的动力学特性激发了对异质神经和动力网络同步分析日益增长的重视[6]、[36]。对于主-从神经网络，驱动系统和响应系统之间的参数失配可能阻止同步误差精确收敛于零，从而使有界误差或准同步成为具有实际意义的控制目标。从这一视角看，参数失配可被视为一种重要的动力学异质性形式。在本工作中，这种异质性具体体现为主从系统之间扩散系数的失配。

在神经网络动力学研究中，准同步通常指有界误差同步行为，其中同步误差最终被限制在预定区域内，而非精确收敛于零[36]、[37]、[38]。与要求同步误差收敛于零的同步目标（包括渐近、有限时间和预设时间同步）相比，准同步施加了放松的终极有界性要求，因此更适合非理想动力学环境[39]、[40]、[41]。相关的近似同步行为也在神经元和耦合动力网络中得到研究，其中集体行为受网络拓扑、耦合强度、传输延迟和节点内在动力学等因素影响[42]、[43]、[44]、[45]、[46]、[47]。从控制理论角度，当参数失配、外部扰动或建模不确定性阻止精确同步实现时，准同步尤为重要[36]、[38]。在这种情况下，可实现的同步精度可由同步误差的终极界定量刻画。因此，本工作采用准同步作为所考虑失配主-从神经网络的实用控制目标，其中扩散系数失配阻止了精确同步，而非作为一种新的同步概念。

为了为空间分布神经动力系统提供统一的建模和分析框架，有必要同时考虑惯性效应、空间扩散相互作用、时间延迟、时空离散化和模糊突触不确定性。受此考虑启发，本文在离散时空设置下开发了一类带时间延迟的多边形模糊惯性神经网络（PFINNs）。基于所得主-从系统，在存在参数失配和事件触发通信约束的情况下，研究了准同步问题。事件触发同步作为一种减少网络动力系统中不必要通信和控制更新的有效方法，已被广泛研究[38]、[48]、[49]。本工作通过将事件触发机制融入离散时空PFINN框架，并显式刻画参数失配对可实现同步精度的影响，扩展了现有的事件触发同步研究。主要贡献总结如下：

(i) 通过整合惯性动力学、反应-扩散效应、时间延迟和多边形模糊耦合，建立了一个带多边形模糊突触权值的空间时间离散惯性神经网络模型。与主要关注特定动力学机制或连续时间设置[17]、[18]的现有研究不同，所提框架在离散时空环境中为时间记忆、空间相互作用和模糊突触不确定性提供了统一描述。

(ii) 为存在参数失配的主-从PFINNs建立了准同步准则。通过构建包含当前状态、延迟状态和空间差分信息的增广李雅普诺夫泛函，推导了可计算的矩阵不等式条件，并给出了同步误差的显式上界。这将有扩散系数失配的离散时空PFINN框架扩展了异质神经网络的现有准同步结果[36]、[38]。

(iii) 设计了一种事件触发控制策略，在维持同步性能的同时减少不必要的数据传输。基于现有事件触发同步策略[18]，所提出触发机制被纳入空间时间离散模糊惯性神经网络的基于李雅普诺夫的分析中，表明在间歇通信和非理想参数条件下可实现准同步。

综上所述，本文开发了一个带时间延迟的空间时间离散PFINNs框架，并建立了非理想参数条件下实现准同步的充分条件和事件触发控制策略。所得结果为分析动力学神经网络、模糊系统和事件触发控制之间的相互作用提供了统一框架，在复杂网络神经系统中具有潜在应用。

本文其余部分组织如下。第2节在时空离散框架下建立所考虑带时间延迟PFINNs的模型，并介绍一些必要的定义和辅助引理。第3节专注于在提出事件触发机制下的准同步分析，其中以线性矩阵不等式的形式建立了充分条件，并通过基于李雅普诺夫的方法推导了同步误差的显式界。第4节提供了一个数值算例，以展示所得理论结果的有效性和可行性。最后，在本文末尾给出结论。

问题表述与预备知识
为方便读者，本文采用的主要符号介绍如下。设?、?和?分别表示实数集、整数集和正整数集，设??表示非负整数集。向量??[??]??的欧几里得范数记为∥??[??]??∥。此外，定义空间聚合范数为‖????‖??=(∑???1??=1∥??[??]??∥2)^(1/2)，该范数刻画时刻??时状态的整体空间分布。向前差分

事件触发准同步分析
在本节中，我们在所提出的事件触发机制下，研究所考虑PFINNs的准同步问题。通过为误差系统构建适当的李雅普诺夫泛函（LF），并采用离散时间分析技术，推导了保证同步误差最终有界的充分条件。此外，将事件触发控制策略纳入稳定性分析中，从而实现了通信的减少

数值仿真
在本节中，我们给出一个数值算例来验证本文建立的理论结果的准确性。

考虑如下带时间延迟的PFINNs：
???[??]??,??+1=??????????[??]??,??+1?(????????/????)??[??]??,??,
??[??]??,??+1=??????????[??]??,??+1?(????????/????)·[??????2???[???1]??,??+??????[??]??,??+∑??=1?????(????)·???(??[??]?,???1)+??[??]??,??],
??[??]??,??=?5,??[??]??,??=5,??=?1,0,
?????[0]??,??=0,?????[4]??,??=0,?????[0]??,??=0,?????[4]??,??=0,

其中??∈{0,1,2,…}，??=0,1,2,3,4,5，??=1,2。

系统（4.1）的参数确定如下：α?=5，α?=3，h=0.1，γ?

结论

本文系统地研究了带有时间延迟的一类新型多边形模糊惯性神经网络（PFINNs）的准同步问题。通过将惯性效应、反应–扩散动力学、时空离散化以及多边形模糊突触权重整合到一个统一的框架中，建立了一个更为真实且更具表达力的神经网络模型，该模型能够同时捕捉时间记忆和空间相互作用机制。

为解决……

CRediT作者贡献声明

Jun Song：撰写—原始草稿，形式分析，概念构思。Tianwei Zhang：撰写—审阅与编辑，监督，软件，调查，资金支持获取，概念构思。Jianwen Zhou：撰写—审阅与编辑，监督。Huizhen Qu：撰写—审阅与编辑，监督，软件。

利益冲突声明

作者声明，不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了国家自然科学基金委员会（批准号62463032）以及中国云南省基础研究计划项目（批准号202501AT070209、202401AS070148、202401AY070001-059）的资助。

Jun Song | Tianwei Zhang | Jianwen Zhou | Huizhen Qu