大陆地下热-水耦合模型：理论、机制与简化求解器

《Journal of Hydrology》：Coupled thermal-hydraulic model of the continental subsurface: theory, regimes, and reduced solver

　　

• 一个封闭的连续介质理论将热-水力学反馈与冻融过程耦合在一起。
• 尺度分析导出九个无量纲数和两张定量流态图。
• 配套的求解器经过缩减：不包含相变质量源项，也不包含孔隙弹性效应。
• 在不考虑冻结的情况下，其质量与能量预算接近1e9；而一旦涉及冻结，所省略的项即为一次项。
• 冻结运行案例旨在诊断所缺失的闭合关系，而非验证冻融预测。

**引言**

大陆地下层是地球热系统中至关重要却尚未被充分探索的组成部分，它保存着过去气候、水文和构造动力学过程的记忆。传统的模型，正如Kurylyk等（2014）所综述的，将地下热状况视为一个深层、稳态的地热梯度与由地下水流动和地表温度变化引起的近地表瞬态扰动的线性叠加。尽管概念模型在一级近似中已证明其有效性，但它们本质上无法捕捉当流体流动、热量传输和相变在多个界面和时间尺度上变得相互依赖时所涌现的动态非线性相互作用。

近期的进展揭示出这些相互作用的一些特定方面。Xiang等（2024）和Xu等（2021）展示了地幔非均质性在塑造盆地构造和热结构方面的作用。Kurylyk等（2014）；（2017）强调了永冻土和冰川区域中的相变过程。除此之外，在多孔介质热传递（Nield和Bejan，2017）、变密度地下水流动（Diersch和Kolditz，2002）、永冻土水文学（McKenzie等，2007）以及孔隙弹性（Detournay和Cheng，1993）等领域还存在大量文献。然而，一个能够定量地耦合地表气候强迫、地下流体与热量传输及相变以及深部岩石圈边界条件的机理模型一直缺失。这样的模型对于将观测到的热异常归因于特定驱动因素（气候、水文或构造）以及在人为变暖背景下预测地下热状况的未来变化至关重要。

本模型的各个组成部分——扩展的理查兹方程、基于焓的冻融和孔隙弹性储水——各自均已得到充分确立，并且耦合的热-水文冻融模拟器已经将它们组合成双向耦合的正向模型（第2.2节）。本研究的独特贡献在于将这些要素整合在一起，并在此基础上构建了一个诊断性的尺度分析框架。具体而言，本文的贡献如下：

1. 一个单一、封闭的连续介质公式，该公式在质量平衡中显式地保留了热膨胀反馈项，同时保留了饱和度变化项（该常项在表观热容求解器中通常被省略），使得孔隙压力、温度和相变在一个一致的守恒定律集合内演化。

2. 一组从基本原理导出的九个无量纲数，其中包含乘积项以量化热-水力学反馈的强度，以及两张流态图——一张热传输的平面图和一张储水-耦合平面（其唯一边界为），从而在明确选择特征尺度后，支持对站点主导物理过程的先验分类。据我们所知，这一特定的尺度缩减和反馈度量此前尚未被提出。

3. 一个紧凑的、经过验证的、开源的该闭合关系的缩减参考实现，支持一维（有限体积法、迎风平流、在线性化形式下无条件稳定）和二维（有限差分法、Crank-Nicolson格式）。该实现已与六个解析基准和两个独立求解器进行了交叉验证，并配备了离散的质量与能量预算诊断工具。二维演示（横向盆地补给-排泄、永冻土边缘效应）捕捉到了一维模型无法触及的现象。我们在开头强调，该实现的适用范围窄于贡献1中的公式：它不包含相变质量源、孔隙弹性孔隙度演化、骨架动量平衡或气相。其自身的诊断结果表明，在任何发生冻结的地方，第一个省略项即为一次项。因此，本文报告的冻结模拟是对缩减闭合关系必须扩展到何处的诊断，而该求解器的定量声明仅限于表9中规定的适用域。

表1（第2.2节）将这些贡献与具有代表性的现有方法进行了对比。

在本文中，我们提出了一个理论与数值模型，将大陆地下层重新构想为一系列动态耦合的界面级联。第2节介绍了集成界面动力学的概念，将地下层组织为三个主要界面：地表-大气界面（LSAI）、沉积物-水-岩石界面（SWRI）和地壳-地幔界面（CMI）。第3节从基本原理出发推导了控制方程，在经典多孔介质理论的基础上，将其扩展以纳入双向热-水力学反馈和基于焓的相变。第4节呈现了全面的尺度分析，导出九个无量纲数，包括此前未被识别的量化热-水力学耦合的无量纲群。第5节将三维系统缩减为一维垂直柱及其完整的闭合关系集合。第6节模型应用：参数选择与实现，以及第7节物理诠释与流态转变，提供了实用的参数指导和无量纲数的物理诠释，包括流态转变判据。第9节总结了模型的不同方面。

数值配套部分（第8节）实现了该闭合关系的缩减形式——省略了相变质量源、孔隙弹性项、骨架动量平衡和气相，每项省略在第8.11节中进行了量化——采用一个单元中心有限体积求解器（向后欧拉法、迎风平流、顺序皮卡迭代、表观热容潜热法）。该求解器与一个独立的有限差分Crank-Nicolson代码进行了交叉验证，并与六个解析基准进行了验证，其中大多数基准测试的是单个离散算子而非守恒律之间的耦合（表5）。四个典型的一维案例研究（永冻土、地热储层、干旱盆地、热-孔隙弹性耦合）表明，单一求解器可以跨越理论流态象限，每一柱的求解器计算无量纲特征值均与其参数所针对的象限一致。二维扩展演示了横向盆地补给-排泄和永冻土边缘效应。第8.12节说明了在当前形式下求解器仍适用的受限条件以及需要扩展闭合关系的位置（表9）。开源求解器供社区使用。所有代码和数据均已公开（见数据与代码可用性部分）。

**章节摘要**

从顺序强迫到集成界面动力学

地下热结构的经典观点，如在地下水水文学和地热系统标准教材中所阐述的（例如Bear和Bachmat，1990），将深层地热梯度和近地表水文扰动视为可以线性叠加的独立过程。这种顺序强迫范式虽然在计算上方便，但忽略了当流体流动、热量传输和相变在不同界面之间相互作用时所产生的动态反馈。

理论公式：耦合质量与能量传输模型

我们考虑一个由固体岩石基质和完全被液态水和冰占据的孔隙空间（无气相）组成的可变形多孔介质。假设所有相之间达到局部热平衡。控制方程通过对代表性元体积（REV）施加守恒原理推导得出，遵循已建立的连续介质力学方法（Bear和Bachmat，1990）。所作的关键假设如下：（i）固体基质为线性弹性且总尺度恒定。

尺度分析与无量纲模型

为识别不同尺度下的主导物理过程，我们对控制方程进行无量纲化。引入特征尺度：长度、压力、温度、达西通量、时间、质量源尺度及热源尺度。无量纲变量（以波浪号表示）定义如下。

从一般三维公式到一维简化

上述推导的三维方程构成了广义连续介质模型。为便于说明并获得一个便于初始测试的可处理系统，我们在以下假设下将其缩减为一维垂直柱：水平均质性、可忽略的横向梯度、仅考虑垂直渗透率，以及如下列出的边界条件。该缩减模型是广义模型的一个特定实例；我们并不声称其普遍有效，它仅作为……

模型应用：参数选择与实现

无量纲公式将本征物理与站点特定数值分离开来。为将模型应用于真实地质环境，必须指定无量纲群和强迫函数。在此，我们提供一般性指导。

物理诠释与流态转变

无量纲数为耦合热-水力学系统提供了全面表征。它们的相对量级决定了哪些物理过程占主导地位以及系统如何响应外部强迫。

局限性与未来工作

本模型存在若干局限性。无气相的假设排除了非饱和带及其在连接地下水与大气和生态系统中的作用。本构关系是经验性的，需要更广泛的验证，且一维简化无法表征横向非均质性。这些是公式本身的局限性。第8节的数值配套部分同样受所有这些局限性的影响，此外，它未包含公式中的每一项：它是一个缩减形式的……

数值实现与流态分析

前述章节已阐述了理论闭合关系。在本节中，我们提供该闭合关系的缩减数值实现，将其与解析基准进行验证，审计其离散守恒预算，并在理论识别的流态象限中进行测试。有两个框架性要点决定了如何解读后续的所有内容，我们在呈现任何结果之前先说明它们。第一，本节描述的对象是一个缩减的热-水力学参考实现，……

**结论**

本文呈现了两项范围不同的内容，而它们之间的区别是我们希望在结论中传达的主要限定条件。第一项是大陆地下层耦合热-水力学过程的连续介质公式，以集成界面动力学的概念为组织框架。第二项是该公式的缩减热-水力学参考实现，它未包含公式中的全部项，其适用范围为……

**作者贡献声明**

Masoud Rostami：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、监督、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
Bijan Fallah：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
Farahnaz Fazel-Rastgar：验证、方法论、形式分析、概念化。
Li-Yun Fu：撰写——……

**代码与数据可用性**

求解器、基准库、案例研究模块、图形脚本和完整测试套件可在https://github.com/bijanf/GT_Theory开放获取。本文使用的确切版本已存档于Zenodo（https://doi.org/10.5281/zenodo.21349309，版本v2）。

现场数据为第三方数据，从其原始提供者获取。Umiujaq Tasiapik谷钻孔热电偶记录通过Nordicana D/Borealis分发（Lemieux等，2020）；该仓库附带了关于生成式AI和AI辅助技术在写作过程中使用的声明。

**关于生成式AI及AI辅助技术在写作过程中使用的声明**

在本工作的准备过程中，作者使用了一些AI工具——DeepSeek和Claude——以辅助文献综合、代码编辑和初稿撰写。作者审阅并编辑了输出内容，对发表文章的内容承担全部责任。

**利益冲突声明**

作者声明以下财务利益/个人关系，可能被视为潜在利益冲突：

Li-Yun Fu报告财务支持、文章发表费用、设备、药品或耗材以及差旅由国家自然科学基金提供。如有其他作者，他们声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争财务利益或个人关系。

**致谢**

本工作得到国家自然科学基金（项目编号42230803）的资助。

Masoud Rostami | Bijan Fallah | Farahnaz Fazel-Rastgar | Li-Yun Fu