超越经验模型：基于图的方程发现（graph-based equation discovery）在固体材料中本构定律的发现

《SCIENCE ADVANCES》：Beyond empirical models: Discovering constitutive laws in solids with graph-based equation discovery

　　

本构模型是固体力学与材料科学的基础，支撑材料行为的定量描述。传统唯象模型通常建立在专家直觉与经验拟合之上，限制了泛化能力。研究人员提出一种基于图的方程发现（graph-based equation discovery）框架，用于从多案例实验数据中自动发现本构定律。该框架将方程表示为有向图，节点表示算子与变量，边表示计算关系，边特征编码参数依赖，从而生成并优化带有未定材料参数的自由形式符号表达式。研究人员将该框架应用于合金钢应变率效应、锂金属变形行为以及填充橡胶超弹性行为，所发现模型具有紧凑解析结构，并比经验模型精度更高。该框架为数据驱动科学建模提供了一种可泛化且可解释的方法，尤其适用于传统经验模型难以刻画复杂物理现象的场景。

论文解读：《SCIENCE ADVANCES》发表研究，题为“超越经验模型：基于图的方程发现在固体材料中本构定律的发现”。

研究背景方面，本构定律（constitutive laws，描述材料对外载荷响应关系的数学规律）是固体力学核心内容。传统本构模型依赖经验或半经验方法，由专家凭直觉建立并通过实验标定，虽在标定区间内表现良好，但泛化能力差，难以刻画先进材料中的强非线性与历史相关行为。黑箱机器学习可直接映射应变—应力关系，但缺乏可解释性；参数学习方法把神经网络嵌入预设模型，仍受限于先验结构。方程发现中的稀疏辨识、通用微分方程等方法在动力学系统中较成功，但固体本构常含自由形式代数关系，预建候选库不可行。经典符号回归以表达式树和遗传编程搜索自由形式公式，却因树结构难以编码材料特有未定参数，且易得到过于复杂或物理不一致式子。现有方法还常使用同质单源数据，容易过拟合，也难以从多材料、多工况数据中找到通用关系。因此，研究人员开展一项新研究：用“方程即图”的方式，让图边携带参数，从而直接从多案例文献实验数据中发现带材料参数的本构定律。

研究人员得出核心结论：所提基于图的方程发现（GraphED）框架能发现紧凑、可解释且精度高于经验模型的本构关系；该方法在金属与非金属材料上均有效；其意义在于为固体力学提供一种不依赖人工推导、可跨材料系统推广的数据驱动白盒建模途径，成果发表于《SCIENCE ADVANCES》。

主要关键技术方法概括：研究人员构建有向无环图表示，节点为算子或变量，边携带缩放系数或算子参数，使 add、mul 可直接多目连接；用图模板约束 log、pow、三角函数等作用子参数形式，避免深层嵌套；以遗传编程做图交叉与变异，用 L-BFGS（limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno，有限内存拟牛顿优化算法）按各材料数据拟合未定参数，以多案例平均误差选拔方程；样本来自文献中合金钢、锂金属、填充橡胶等多源实验曲线，训练集与测试集按案例划分。

研究结果如下。

Proposed GraphED framework：研究人员定义图表示与边特征机制，说明其比树表示更紧凑且能耦合拓扑与系数；图模板限制非算术算子参数形式；进化过程保留低误差个体并引入灭绝策略，输出的是参数化解析表达式族而非固定系数方程。

Discovery of the dynamic increase factor constitutive model：研究人员用44种合金钢70条应变率—DIF（dynamic increase factor，动态增强因子）曲线，发现 DIF=[(C₁·r+1)^?2]^C₂，其中 r=ε^˙/ε^˙₀；该式在测试集上 MSE 低于 Cowper-Symonds、Johnson-Cook、Huh-Kang、Rule-Jones 等经验模型，也优于 PySR、AI-Feynman、DSO 等符号回归基线。

Discovery of the strain hardening constitutive model：研究人员用16种材料72条塑性应变—应力曲线，选得 σ=C₁·e^{(1/(C₂·ε+C₃))}；该指数倒数形式能刻画硬化饱和，测试 RMSE 与 Hollomon、Voce、Ludwik、Hartley-Srinivasan、Ludwigson、Baragar 等模型相比更具优势，且比基线符号回归式更简洁稳定。

Construction of an integrated rate-dependent constitutive model：研究人员将 DIF 与硬化式组合为 σ_dynamic=σ_st·DIF=C₁^st·e^{1/(C₂st·ε+C₃st)}·[(A·r+1)^?2]^0.5B；相对 Johnson-Cook 模型 MSE 1108.9、R²=0.955，发现模型 MSE=646.4、R²=0.974；对高强钢 Q460JSC 外推更好，并给出 C_st1→C_st1?λ₁×DIF、C_st2→C_st2?λ₂×DIF 的初步耦合改进。

Discovery of the rate-dependent constitutive model for lithium：研究人员用文献中锂金属流动曲线，温度分析得 γ^˙/ε^ˉ˙=0.543σ+0.83/(1+e^{?(0.006T)2.51})^6.66；应变率分析得 γ^˙/ε^ˉ˙=(0.377?0.008log ε^˙)σ+0.956e^{1.8/log ε˙}；发现模型相对经验幂律—Arrhenius 式更准确，温度集相对误差1.86%，应变率集0.533%，并能合理外推蠕变主导趋势。

Discovery of the hyperelastic constitutive model for filled rubbers：研究人员用碳黑含量 C00、C20、C40、C60 橡胶在293—383 K 单轴曲线，发现 f=?A(λ?1)²+Bλ^C(λ?1)+λ?1；测试 R²=0.998，优于 Yeoh、Arruda-Boyce 及 PySR、DSO、AI-Feynman；进一步得 A=A₀+A₁T+A₂T²、B=B₀+B₁T+B₂T²、C=C₀+C₁T+C₂T² 的温度依赖形式。

讨论部分总结：研究人员指出 GraphED 以有向图编码算子、变量、边结构与边特征参数依赖，能自主发现紧凑闭式本构关系，克服人类直觉偏好简单低阶非线性的局限，也比黑箱模型可解释、比树基符号回归更紧凑高效。多源数据加边参数降低过拟合，图模板抑制无意义嵌套。局限在于图模板本身带结构先验，当前仅处理标量响应，未涵盖张量量与各向异性；未来可与图神经网络结合并拓展至多场耦合。

研究结论部分翻译：本工作提出 GraphED 框架，用有向图表示符号方程，节点编码算子与变量，边表示方程结构，边特征描述参数依赖；该框架能紧凑表示含未定材料参数与多案例数据的数学表达式，适合固体本构发现。相比唯象方法，它直接从实验数据自主发现紧凑闭式关系；相比黑箱学习，发现式可解释且精度高；相比树基符号回归，图表示更简洁且边特征增强表达与优化效率。在合金钢、锂金属、填充橡胶案例中，发现模型在精度、可解释性、紧凑性与泛化性上均优。该框架可服务冲击工程、固态电池、弹性体热环境仿真；以图表示与符号发现结合，推动了面向物理定律发现的科学机器学习范式。