基于粒子群优化的曲率驱动贝塞尔曲线构造优化

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Curvature-driven optimization of Bézier curve construction via Particle Swarm Optimization

　　

## 摘要

构建具有光滑形状和特定曲率轮廓的贝塞尔曲线通常颇具挑战性，因为选择合适控制点的过程并不直观。曲率对曲线的整体行为有强烈影响，要实现目标曲率需要系统性的优化策略，而非试错法。本工作提出了一种基于粒子群优化（PSO）的曲率驱动框架，用于搜索满足期望曲率轮廓的最优控制点。研究展示了群体智能在几何建模问题中的有效性。通过收敛分析和统计可视化，确定了合适的粒子群优化参数设置，从而提高了优化效率和曲率精度。基于对所提方法的分析，确定了三种目标曲率轮廓的合适参数范围，包括群体规模为70–100、惯性权重介于0.4至0.8之间、加速系数在0.5至2之间。所提方法能够实现满足曲率约束的贝塞尔曲线构建，为计算机辅助设计、机器人学和路径规划等领域提供了实际应用价值和见解。

## 引言

在几何设计中，曲线和曲面的构建从根本上受其曲率特性支配。在许多实际应用中，挑战不仅在于表示形状，还在于精确控制其曲率。虽然逆向工程通常与从现有数据中重建模型相关联（Rugaber和Stirewalt，2004），但其在几何建模中的作用更侧重于从给定形状中恢复和控制几何特征。在制造业中，这包括为曲面重建、网格分割和特征识别等任务提取几何信息（Anwer和Mathieu，2016）。由于曲线和曲面构成了大多数产品的基础，设计师通常通过试错过程调整控制点以实现期望的形状。然而，这种方法效率低下，且缺乏对光滑度等重要几何质量的直接控制。将曲率作为设计约束纳入，提供了一种更系统的方式来评估和构建具有更高公正性和精度的形状。

曲率是决定曲线和曲面形状的基本属性之一，其定义为曲线偏离切线的程度。在此基础上，多项研究探索了曲率驱动的表示和分析技术。Koenderink和Van Doorn（1992）提出了一种替代经典曲面曲率的度量方法，称为SC曲率，该方法通过形状指数和曲度来评估形状，以同时描述定性形态和曲率大小。Farin（2016）重新引入了基于Frenet标架的曲率梳概念，以改进曲率可视化并支持曲线公正性评估，这是设计中的关键要求。此外，单调曲率已被广泛用于构建公正的曲线和曲面，其形状通常以具有少量单调曲率段为特征（Sapidis和Frey，1992）。这些进展凸显了基于曲率的控制对于应对构建光滑且行为良好的贝塞尔曲线挑战的重要性。

与曲率相关的进展和方法不断涌现。例如，Kineri等人（2014）提出了一种交互式技术，允许用户通过图形用户界面（GUI）沿交线等参数曲线直接调整曲率来重塑均匀双三次B样条曲面。用户无需直接操作控制点，而是可以通过圆的半径指定曲率，然后基于几何规则将其转化为控制点的迭代重定位。最近，利用曲率单调性评估函数（CMEF）对三次贝塞尔曲线的曲率单调性区域进行识别和可视化，该函数由曲率关于弧长的变化率公式推导而来，如Saito和Yoshida（2023）以及Yoshida等人（2024）所述。

贝塞尔曲线是著名的自由曲线之一，由其控制点唯一表示。近年来，多位研究者专注于开发和整合形状参数以构建具有基函数变化的贝塞尔曲线（Said Mad Zain等人，2021；Ameer等

此外，PSO是一种无需导数的优化方法（Serani and Diez, 2017; Chatterjee et al., 2014），尤其适用于贝塞尔控制点优化等连续、低维搜索空间。其解决非线性问题的能力（Huang et al., 2023）有利于处理本研究中所考虑的基于曲率的目标函数的非线性特征。这些特点使PSO成为确定控制点以实现贝塞尔曲线构建中期望曲率行为的合适选择。

本文的方法论部分描述了贝塞尔曲线的数学表述、目标函数以及PSO算法的简要说明。在第3节中，展示了PSO、WOA和GWO之间的性能基准比较，以论证本研究中所选算法的合理性。此外，在第4节中，展示了由三种目标曲率获得的优化曲率的若干实例并进行了分析。另外，第5节对当停止准则基于阈值定义时各目标曲率进行了比较讨论。然后，第6节讨论了优化贝塞尔曲线的收敛性分析，并辅以统计图表以及在不同PSO参数设置下各目标曲率的曲率误差分析。在此，系统地选取了三组不同的PSO参数，包括??、??、??1和??2进行对比和分析。第6节还根据前述小节的分析，突出并讨论了可能的PSO参数组合。通过比较最佳代价值和计算时间，进行了进一步研究以确定每个目标曲率的最佳PSO参数。与此同时，第7节简要讨论了将优化贝塞尔曲线扩展至五次的高阶情况，而第8节则提供了所提方法在路径规划应用中的简单实现。最后，结论部分总结了本研究的讨论和发现，指出了其局限性，并建议了未来的研究方向。

## 三次贝塞尔曲线

本研究利用三次贝塞尔曲线来识别曲率单调性。三次贝塞尔曲线???(??)的数学表达式定义如下：

$$\mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{3} \mathbf{p}_i \, g_i(u)$$

其中，$g_i$（$i=0,1,2,3$）表示基函数，$\mathbf{p}_i$为三次贝塞尔曲线的控制点。注意，$\mathbf{p}_i = (x_i, y_i)$，代表四个控制点$(x_0, y_0)$、$(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$和$(x_3, y_3)$。此外，基函数$g_i$为：

$$g_0(u) = (1-u)^3, \quad g_1(u) = 3u(1-u)^2, \quad g_2(u) = 3u^2(1-u), \quad g_3(u) = u^3$$

## 群智能优化算法性能基准

本节展示了一个性能基准，通过将PSO结果与灰狼优化（GWO）和鲸鱼优化算法（WOA）两种群智能优化方法进行对比，以确定最有效的群智能优化算法。采用第2.2节中所述的目标曲率来评估和比较这些优化方法的表现。在此比较基准中，PSO使用基准参数进行评估。

## 优化的贝塞尔曲线

本节讨论了所获得的结果。为增强所提方法的有效性，实现了三种不同的目标函数来生成优化的贝塞尔曲线。这些目标函数对应于三种目标曲率轮廓，包括一种单调曲率和两种非单调曲率示例，如图1所示。控制点的搜索范围设为$(x,y) \in [0,10]$，以简化优化过程并降低计算成本。

## 基于阈值的优化

在第4节中，优化过程产生了优化三次贝塞尔曲线的结果，停止准则设置为100次迭代。在本节中，PSO优化采用了基于阈值的不同停止准则。该阈值指定为对应于公式(5)的特定值，代表相同的目标曲率，并采用与第3节相同的PSO参数设置（$N=50, w=1, c_1=1.5, c_2=2$）。换言之，如果代价函数……

## 参数敏感性与最优配置分析

在本节中，进一步考察了收敛性分析，特别关注PSO参数对收敛行为的影响。该分析旨在确定能够增强优化性能的最优PSO参数设置。所选PSO参数分别代表低、中和相对高的值以供比较。具体而言，分析中考虑的参数包括种群大小（$N$）、惯性权重（$w$）、认知系数（$c_1$）和社会系数（$c_2$）。

## 高阶贝塞尔曲线示例

本节进一步展示了关于高阶贝塞尔曲线的各种结果，特别关注五次贝塞尔曲线的情况。所用PSO参数为（$N=50, w=1, c_1=1.5, c_2=2$）。应注意，与第6.2节不同，后者通过对三次贝塞尔曲线进行收敛性分析确定合适的PSO参数，本节的参数固定为第4节中使用的配置。这一选择确保了实现的一致性，并突出了……

## 在路径规划中的应用

本节展示并讨论了若干适用于机器人路径生成的实际实现示例。这些示例说明了确定达到目标曲率的合适路径的优化曲线，其中路径的起点和终点分别固定在$(1,1)$和$(19,19)$。路径中包含五个障碍物，以增加PSO确定优化控制点的难度。每个$x$和$y$轴的搜索空间优化范围设置为……

## 结论

总之，本研究提出了一种曲率驱动的优化框架，用于构建满足期望曲率条件的贝塞尔曲线。该方法的新颖之处在于将曲率控制直接集成到优化过程中，使得无需依赖手动或随机选择控制点即可构建贝塞尔曲线。结果表明，所提方法能够有效地生成满足期望的三次贝塞尔曲线……

## 生成式AI工具使用说明

作者声明，在撰写本文时未使用人工智能（AI）工具。

## CRediT作者贡献声明

Anis Solehah Mohd Kamarudzaman：撰写——初稿、可视化、软件、方法论、调查研究、形式分析、概念化。Md Yushalify Misro：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理。

## 利益冲突声明

作者声明，没有已知可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本研究由马来西亚教育部通过基本研究资助计划（FRGS/1/2023/STG06/USM/03/4）以及马来西亚理科大学数学科学学院资助。作者非常感谢匿名审稿人提出的宝贵建议。

**Anis Solehah Mohd Kamarudzaman | Md Yushalify Misro**
马来西亚理科大学数学科学学院，11800 Gelugor, Pulau Pinang, Malaysia