综述：水系统管理中信息熵工具的综述与应用

《Environmental Modelling & Software》：Review on Information Entropy Tools and Applications for Water System Management

　　

摘要 信息熵工具在水系统管理（WSM）中越来越多地被用于量化不确定性、依赖性和信息传输，但不断增多的指数使得不同应用之间的比较变得困难。本文综述了Web of Science数据库中与水系统管理相关的熵研究。检索字符串（"information entropy" OR "mutual information" OR "transfer entropy" OR "maximum entropy" OR "entropy weight method" OR "sample entropy" OR "water quality entropy"）AND "water"共得到6,039条唯一记录；分析了1981-2025年期间发表的5,645条记录，并通过标题/摘要/来源筛选选出2,890篇与水系统管理相关的论文，按水体类型和管理场景进行分类。我们综合了不同水体中单变量不确定性、多变量依赖性、熵权重和优化方法在数据分析、建模、预测/风险评估、水质分析和污染源识别方面的应用。本综述提供了一种面向场景的分类体系，帮助用户选择合适的指数，并提高基于熵的WSM研究的可重复性和实际精确性，引领大数据和数字水时代下的未来研究方向。

引言 水系统管理（WSM）是一项综合性的科学活动，通过应用先进的监测技术、数据分析和决策支持系统，保护和提升水体质量和水量以及生态系统健康。随着传感和监测技术的发展以及数据存储和传输能力的提升，水环境管理正逐渐进入由智能感知和大数据主导的新时代。数据驱动技术在刻画具有瞬态、高不确定性行为的物理系统中的应用日益增加，这催生了复杂的分析参数，由此（Yuan等，2025），一种新颖的数据研究范式逐渐形成。作为衡量系统不确定性和复杂性的工具，信息熵工具在WSM研究领域受到了越来越多的关注。

信息熵，通常简称为"熵"，是一个基本概念，用于量化一组数据中所包含的不确定性或复杂性的数量。该概念可追溯到克劳修斯、吉布斯和玻尔兹曼在物理学中的熵，其数学理论最初由克劳德·香农在其开创性论文《通信的数学理论》（1948年）中提出，他试图将数学原理应用于信息的传输和处理。对于概率分布X，信息熵H的计算公式为：其中pi是值xi发生的概率，i=1, 2, …, n。b=2时为比特，b=e时为纳特。

信息熵工具在WSM中的应用并非从香农的信息理论一步跳到最近的综述性综合，而是经历了一条从通用不确定性测量到水文学建模、监测网络评估和综合决策支持的渐进之路。Jaynes的最大熵原理将熵与不完整信息下的统计推断联系起来（Jaynes, 1957），早期的水文研究引入熵来评估水文系统和模型中的不确定性（Amorocho和Espildora, 1973）。从1990年代到2000年代初，基于熵的方法被扩展到降雨网络和测站评估，表明信息度量可以支持运行监测设计，而不仅仅是理论不确定性分析（Krstanovic和Singh, 1992; Markus等, 2003）。2010年后，边缘熵、互信息、条件熵和总相关性等熵指标越来越多地被用于水位计布设和多变量水文监测网络设计，将信息理论与受管理的水环境和综合决策支持系统联系起来（Alfonso等, 2010a; Keum和Coulibaly, 2017）。

2013年，Vijay P. Singh出版了一本专著，详细介绍了信息熵理论在水质监测网络设计、水质建模和参数选择中的各种应用（Singh, 2013）。此后，该领域的发展超越了经典的最大熵分布拟合。基于熵的方法现在被用于水质指数构建、监测网络优化、不确定性分析、水文和水力建模、灾害预测、污染源识别以及混合机器学习框架。近期的趋势还显示从事件后评估和诊断向主动预测和早期预警的转变，尤其是在熵度量与多尺度分析、深度学习、可解释人工智能和数字水系统结合时。尽管从信息流角度分析水环境已取得一些突破，但据我们所知，关于信息熵工具在WSM中应用尚无全面的文献综述。现有的信息熵指数众多，其重叠的名称、数学假设、数据要求和应用场景在WSM应用中造成了混淆。一些研究使用熵来量化不确定性或复杂性，一些使用散度或互信息来描述分布差异和依赖性，另一些则在综合评价或机器学习模型中使用熵推导权重。缺乏清晰的分类，研究人员可能主要按照惯例而非数据结构、管理目标、空间或时间维度以及水系统场景来选择指数。虽然有关于信息熵在特定WSM应用中综述（如监测网络设计（Keum等, 2017）和水质评估（Singh等, 2019, 2020）），但它们实际上非常有限。这种缺乏面向场景的分类体系限制了基于熵的WSM研究的可解释性、可比性和可重复性。因此，有必要系统地整理和分类信息熵指数，并深入探索其在WSM中的物理意义和应用价值。

为弥补这一空白，本综述根据信息熵工具的数学角色和实际WSM应用进行组织。我们区分了熵指数，并将这些工具映射到水体类型和管理场景。通过将熵应用的发展里程碑与指数和用例分类联系起来，本综述旨在帮助学者为具体的WSM问题选择合适的熵工具，并提高未来水研究和管理中基于熵的应用的精确性。

章节摘要：熵工具及其在WSM中应用的里程碑与发展趋势 宽泛地说，信息熵在水环境管理中的应用经历了三个阶段（见图1）：

a) 概念提出与方法起源（1957-1980年代） 由于其与热力学熵的概念联系，信息熵最初提供了一种基于信息的新颖视角来描述物理过程，超越了传统的以物质和能量为中心的框架。Jaynes（1957）利用相对熵方程推导出

信息熵指数族 基本的香农信息熵（定义在公式(1)中）派生了许多类型的新熵指数。文献中应用最广泛的包括Rényi熵、构型熵、稀释指数、Tsallis熵、Kolmogorov熵、Burg熵、互信息（信息增益）和Kullback-Leibler散度。应用较少的信息熵指数包括样本熵（Luo等, 2019）、近似熵（Li等, 2022）、置换熵（Wu等, 2023b）和总……

熵工具在WSM中的应用 信息熵指数作为WSM工具已得到广泛应用。这些工具不仅适用于各种自然和人工水体，如流域、湖泊和水库、地下水和供水管网，还能够处理广泛的WSM应用，包括数据分析、建模、优化、预测、源识别等（见图2）。涵盖以下方面的系统综述

熵工具的优势与局限 信息熵工具在水系统管理（WSM）中的关键优势在于它们能够将"不确定性"——传统上被视为干扰或偏差——转化为系统的可测量属性以进行分析和利用，而非将其视为需要消除的噪声。传统的统计方法如方差、变异系数、相关性、回归误差和谱指标仍然有用，因为它们透明、计算效率高且易于沟通。

大数据与数字水时代熵工具应用展望 信息熵与传感城市、大模型和数字孪生等现代信息技术的结合，为数据提供了坚实的基础，并推动了WSM的智能和精确发展。在这里，我们确定了信息熵工具在水系统管理中应用的三个未来研究方向，如图7所示。

然而，未来的应用应从逐个指数的使用转向一个结构化框架，将数据……

结论 本综述系统地总结了信息熵指数的分类及其在WSM中的多种应用。迄今为止，大量基于熵工具进行数据分析、建模、水质评价、优化设计和决策的研究已被提出。作为最新分析，我们发现：

(a) 自1991年以来，关于信息熵工具在WSM中应用的研究论文数量已超过1000篇，年发表数量和……

CRediT作者贡献声明 Leonardo Alfonso: 撰写—审稿与编辑，监督，方法论。Jiping Jiang: 撰写—审稿与编辑，监督，方法论，资金获取，概念化。Tianrui Pang: 撰写—初稿，可视化，方法论，形式分析，数据整理，概念化。Aijie Wang: 撰写—审稿与编辑，监督。Fuxin Zhang: 撰写—审稿与编辑

未引用参考文献 Callen, 1985; Grievson等, 2022; Kitanidis, 1994; Rényi, 1961.

利益冲突 作者没有相关的财务或非财务利益需要披露。

竞争利益声明 ? 作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能影响本文所报告的工作。

致谢 本工作由中国国家重点研发计划（批准号：2023YFC3207504）、国家自然科学基金（批准号：52321005, 51979136, 52539005, 52579065）、深圳市科技计划项目（编号：SYSPG20241211173609007）、广州市重大项目（批准号：2025Y01T0010, 2025Y01J0006）以及广东省科技青年人才支持计划（批准号：SKXRC2026734）资助。我们感谢Ashish教授。

Tianrui Pang | Jiping Jiang | Leonardo Alfonso | Fuxin Zhang | Aijie Wang 华南理工大学海洋科学与工程学院，广州511442，中国