线性r-修正连续k型系统的可靠性评估

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Reliability evaluation of linear r-modified consecutive k-type systems

　　

摘要
连续k型冗余系统的工作/失效状态由系统中连续工作/失效的组件数量来定义，在可靠性理论中发挥着重要作用。在本工作中，我们从节能/资源节约的角度考虑r改进型连续k型系统。利用有限马尔可夫链嵌入方法（FMCIA）和组合方法对几种r改进型连续k型系统（即线性r改进型k-out-of-n:F系统、线性r改进型连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型m-连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型(n,f,k):F系统和线性r改进型:F系统）的可靠性进行了评估。还提供了示例以验证所建立结果的正确性以及两种计算方法的高效性。

引言
连续k型冗余系统在可靠性理论中发挥着重要作用，它们总是基于系统中连续失效/工作的组件数量来定义的。例如，连续k-out-of-n:F系统当且仅当其n个组件中至少有连续k个失效组件时失效，而连续k-out-of-n:G系统当且仅当其n个组件中至少有连续k个工作组件时工作[1]、[2]。根据组件的对齐方式，即排成线或排成圆，它们分别被称为线性系统或圆系统。

有许多不同类型的连续k型系统；例如，（线性/圆形）连续k-out-of-n:F/G系统、m-连续k-out-of-n:F/G系统、(n,f,k):F/G系统和:F/G系统[3]、[4]、[5]，以及它们的加权[6]/依赖[7]/多状态[8]/二维[9]/三维[10]/稀疏d[11]和混合版本。这些连续k型系统的可靠性可以通过不同的方法[12]进行评估，如递归公式方法[13]、[14]、[15]、[16]、直接精确方法[17]、[18]、[19]、[20]、上/下界方法[21]、[22]、[23]、[24]和极限方法[25]、[26]、[27]、[28]。需要注意的是，直接精确方法直接（而非以递归方式）提供对可靠性系统的精确评估，而有限马尔可夫链嵌入方法（FMCIA）[29]和组合方法[12]都是高效的直接精确方法，它们为不同系统规模提供了统一的精确公式。

FMCIA通过根据连续k型系统的失效准则以特定方式定义有限马尔可夫链，来记录连续工作/失效组件的数量[19]。该方法最初由Fu[30]为具有(k?1)步马尔可夫依赖性的连续k-out-of-n:F系统所提出，此后的几年中该方法为各种连续k型系统带来了高效的可靠性公式。最近，它们也被以新颖的方式应用于二维连续k型系统[9]、三维连续k型系统[10]和具有共享组件的连续k型系统[11]的可靠性评估。更多相关推广也可以在[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]中找到。

组合方法推导出系统在给定的失效组件数量下正常工作的方式数（即大小为k的非割集的数量N(n,k)），这不仅导出了连续k型系统的可靠性函数，还导出了它们的签名公式。早在1982年，Bollinger[17]通过直接推导为连续k-out-of-n:F系统提供了N(n,k)的公式；对于相同系统的不同公式，请参见Aki和Hirano[37]。Yi和Cui[12]为线性/圆形连续k-out-of-n:F系统（具有稀疏d）、(n,f,k):F系统、:F系统和m-连续k-out-of-n系统（具有稀疏d）提供了相关公式。更多相关讨论也可以在[38]、[39]、[40]、[41]中找到。

为了节约连续k型系统所需的能源/资源，Balakrishnan等人[42]最近提出了一种新的r改进型可靠性系统家族，在连续k型系统中每个已解锁的工作组件之后锁定r?1个组件。他们所考虑的系统可以应用于智能路灯系统等实际场景，因为这些系统被设计为具有冗余以确保高可靠性，并且如果它们所需的功能已被相邻组件覆盖，系统中的组件可以被锁定以节约能源。对于智能路灯，必要时可以将其关闭，这就是这里所说的"锁定"。

Balakrishnan等人[42]随后考虑了r改进型k-out-of-n:F系统和r改进型连续k-out-of-n:F系统，并分别使用有限马尔可夫链嵌入方法和组合方法评估了它们的可靠性。在本工作中，我们通过删除不必要的状态和重写转移规则来简化他们的FMCIA方法，基于生成函数以不同的方式提出了组合方法，然后将这两种方法应用于几种r改进型连续k型系统，如线性r改进型k-out-of-n:F系统、线性r改进型连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型m-连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型(n,f,k):F系统和线性r改进型:F系统。

上述系统可以应用于许多实际的可靠性系统。例如，数据中心服务器集群由多台提供计算和存储服务的服务器组成，可以被视为线性r改进型k-out-of-n:F系统，因为一旦确定了一台运行中的服务器，后续r?1台服务器可以关闭以节约能源（这里r的值取决于服务器负载、服务冗余需求和服务器唤醒延迟）；智能路灯系统由若干智能路灯组成，可以被视为线性r改进型连续k-out-of-n:F系统，因为一旦确定了一盏运行中的灯，后续的智能路灯可以关闭（这里r的值主要取决于交通流量、灯间距和灯的覆盖范围）。更多此类示例可以在现代制造系统的质量控制中找到，其中广泛采用了自动化检测设备、机器视觉系统、传感器阵列和基于抽样的检测策略，在运行过程中会消耗大量能源。

本文的主要贡献如下：(1) 提出了几种线性r改进型连续k型系统；(2) 以新颖的方式通过FMCIA获得了这些系统的可靠性；(3) 还通过组合方法评估了这些系统的可靠性。本文的其余部分组织如下。在第2节中，通过以新颖的方式使用有限马尔可夫链嵌入方法推导了几种r改进型连续k型系统的可靠性函数。在第3节中，通过基于生成函数的组合方法推导了这些系统的可靠性函数。在第4节中，提供了几个示例以验证所建立结果的正确性以及两种所提方法的高效性。最后，在第5节中给出了一些简要的结论性评述。

章节摘录
FMCIA
在本节中，我们考虑五种不同类型的线性r改进型可靠性系统（即线性r改进型k-out-of-n:F系统、线性r改进型连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型m-连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型(n,f,k):F系统和线性r改进型:F系统）。请注意，"r改进型"是针对具有n个有序组件x1,…,xn的系统定义如下：
(1) 将x1,…,xn中的第一个工作组件记为xi1，且

组合方法
对于上一节讨论的五种线性r改进型可靠性系统，本节在相同的假设下（除组件具有相同的可靠性外，即pi=p, i=1,…,n）通过组合方法获得它们的可靠性。对于每个系统，我们首先用N(n,i,j)表示其在有i个工作组件、j个失效组件和n?i?j个锁定组件下正常工作的方式数，并分别表示未解锁的工作组件、未解锁的失效组件和

示例
在本节中，我们通过几个数值示例来说明第2节和第3节中获得的理论结果。假设系统中的组件独立同分布，具有可靠性p和不可靠性q=1?p。

例4.1 考虑一个2改进型3-out-of-n:F系统。其可靠性可以通过以下四种方式给出：
(1) 根据[42]中的命题3.1，在这种情况下可以定义一个马尔可夫链，其状态空间S={0,0(1),1(S),1(1),1(F),2(S),2(1),2(F),3}。
然后，可靠性

结论
在本文中，我们考虑了多种不同的r改进型连续k型系统（即线性r改进型k-out-of-n:F系统、线性r改进型连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型m-连续k-out-of-n:F系统、线性r改进型(n,f,k):F系统和线性r改进型:F系统），并通过FMCIA和组合方法推导了它们的可靠性函数。我们提供了一些示例来说明两种方法均能得出

CRediT作者贡献声明
何毅：原创论文撰写、验证、软件、方法学、概念化。Narayanaswamy Balakrishnan：原创论文撰写、验证、概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能影响本论文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢
本工作得到了北京市自然科学基金（编号9242011）、中国留学基金管理委员会、中央高校基本科研业务费专项资金（buctrc202102）以及加拿大自然科学和工程研究协会（针对第二作者）通过个人发现补助金（RGPIN-2020-06733）的支持。作者还向主编、副主编和匿名审稿人对他们所有有价值的意见和

何毅|Narayanaswamy Balakrishnan