数据驱动的动态等效建模：从环桁架天线到圆柱壳

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Data-Driven Dynamic Equivalent Modeling: From Ring-Truss Antennas to Cylindrical Shells

　　

摘要 大型环形桁架天线由周期性构件、节点和展开锁定机构组成，形成离散拓扑构型。这些构型导致高保真动态模拟的计算成本过高。本研究探讨了一种新颖的频率响应函数（FRF）驱动的跨结构动力学等效建模方法，能否识别出能够捕捉环形桁架结构在 1-21 Hz 目标频率范围内以径向呼吸为主的低频动力学的圆柱壳参数。在近似自由边界条件下对实验原型进行测试，并使用识别出的模态特性验证环形桁架结构的参考模型。从参考模型中提取的频率响应函数（FRF）中的多输出点加速度，通过对其实部和虚部分段积分转换为双通道特征图。然后构建参数化圆柱壳样本库，其正交各向异性参数受动力学一致性准则约束。利用圆柱壳样本库训练贝叶斯卷积神经网络（BCNN），随后利用环形桁架参考模型的 FRF 特征图推断等效壳参数，包括质量密度、弹性模量、剪切模量、泊松比和阻尼比。将识别出的参数引入等效圆柱壳有限元（FE）模型进行回代验证，并进一步迁移到基于一阶剪切变形理论的理论壳模型。数值比较表明，环形桁架 FE 模型准确地重现了识别出的径向呼吸模态，频率误差小于 4.88%。等效圆柱壳 FE 模型捕捉了主要的径向呼吸模态特征和共振峰，产生平均峰值位置误差为 6.54%，而扭转模态的频率偏差构成主要的剩余差异。理论壳模型进一步验证了识别出的等效参数在数值 FE 表示和理论解之间保持了跨结构可迁移性。

引言 大型可展开环形桁架天线对于卫星通信、地球观测和深空任务至关重要。这些应用需要结合大孔径尺寸、低质量、高包装效率和在轨可靠形状保持能力。天线由反射网或薄膜表面、缆网组件、展开机构和环形桁架支撑结构组成。在这些组件中，环形桁架结构至关重要，因为它提供了关键的边界刚度以在完全展开后维持反射面轮廓。以往关于大型可展开网面反射器和圆形网面天线的研究表明，由于尺寸巨大、结构柔性大和耦合配置，这些结构可能表现出复杂的低频振动行为 [1,2]。模态和动态分析证实，圆形网面天线的整体振动特征对装配配置和环形桁架结构设计高度敏感 [3,4]。特别是，环形桁架结构的低频动态响应可能显著受到热载荷、共振激励和刚度约束设计的影响 [5,6]。实验模态测试表明，使用碳纤维增强复合材料组件和环形桁架布局的大型空间可展开天线通常显示出低频模态耦合现象 [7]。值得注意的是，环形桁架结构在受外部激励时容易受到非线性呼吸振动和内部共振响应的影响 [8,9]。频域分析和振动控制研究表明，径向呼吸模态代表了环形桁架结构的一种重要整体环向变形模式 [[10], [11], [12]]。对于大型可展开天线，其工程意义尤为显著，其展开尺寸可达百米级，而所需的反射面精度仍保持在毫米级 [12]。由于环形桁架提供了反射网的边界支撑，径向呼吸变形直接扰动了该支撑几何形状，因此是在轨反射器性能的关键低频特征。对于本研究考虑的环形桁架结构，关注的低频动力学与其前五阶弹性模态相关，并包含在后续动力学等效分析采用的 1-21 Hz 目标频率范围内。

目前，高保真有限元（FE）建模是环形桁架结构动力学分析的主流技术。然而，环形桁架包含大量周期性杆件和复杂的节点连接，导致精细化 FE 模型具有极大的自由度数量 [13]。这带来了明显的缺点，包括动态模拟和迭代参数优化期间的高计算成本和低分析效率 [14]。同时，这种离散桁架模型无法很好地适应基于连续介质壳假设建立的动力学理论框架，无法支持航天器概念设计阶段的快速动力学评估和机理分析，限制了其实际工程适用性 [15,16]。为了平衡建模精度和计算效率，全球范围内开展了大量关于周期性桁架结构等效建模的研究，其中均匀化方法最为广泛采用 [17]。通过均匀化周期性单元的机械行为，这些方法推导等效连续体的宏观力学参数，并实现对桁架结构的有效简化建模。现有的均匀化方法可以为选定的模态特征提供准确的等效表示。一个代表性例子是参考文献 [12] 中的简化重复单元法，其中等效圆柱壳的膜刚度和弯曲刚度是从环形桁架单元的几何和机械属性解析推导出来的。这些方法提供了基于严谨力学的结构等效路径，但产生的等效性主要是通过均匀化刚度量建立的，并未直接从动态响应数据确定包含阻尼的一组壳参数。此外，当参考结构配置发生变化时，相应的拓扑相关均匀化关系通常需要重新制定。在本研究中，FRF 数据被用作统一的动态信息接口，并利用 BCNN 直接识别一组紧凑的、受一致性约束的等效壳参数，包括密度、弹性模量、剪切模量、泊松比和阻尼比。这种数据驱动公式为从参考环形桁架模型的动态特征到可分配给等效圆柱壳的物理可解释参数提供了更直接的路径，用于后续的模态和频率响应分析。

近期关于结构等效建模的研究为将离散结构与有效结构属性联系起来提供了有用的参考。对于周期性桁架和点阵材料，Yan 等人 [18] 研究了周期性桁架微结构有效弹性性质的预测和形状优化，而 Ma 等人 [19] 研究了几何缺陷对增材制造点阵结构的影响。相关研究进一步探讨了设计点阵系统中拓扑相关的力学和振动特征、可调刚度和能量吸收、耦合响应以及数据辅助性质预测 [[20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]]。

同时，关于板和壳的研究提供了与本研究采用的等效结构形式相关的连续介质力学背景。关于先进板和壳分析的研究支持了简化但物理可解释的结构表示 [[30], [31], [32]]，而 Song 等人 [33] 和 Huo 等人 [34] 分别建立了圆柱壳的振动公式和薄壁正交各向异性圆柱壳的基准解。设计圆柱结构提供了进一步几何相关的示例 [35]。数据驱动方法，包括贝叶斯优化、物理信息学习和基于神经网络的模型修正，也已应用于复杂机械系统中的参数识别和模型修正 [[36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44]]。关于机电超材料结构、局部共振节点和振动控制系统的相关研究进一步证明了频域动力学响应在结构分析中的重要性 [[45], [46], [47], [48], [49]]。

等效连续建模和均匀化提供了减少离散结构系统同时保留其主要整体力学特征的方法。代表性研究解决了动力学等效蜂窝夹层结构和柔性节点梁式桁架 [50,51]，而经典和多尺度连续介质公式将均匀化和有效性质建模扩展到了类似桁架的空间结构、周期性点阵以及梁式或板式点阵系统 [[52], [53], [54], [55], [56], [57], [58], [59], [60]]。对于可展开天线，动态等效已通过基于梁、环、连续介质和圆柱壳的表示进行了研究。双层环形天线和空间天线桁架已通过动力学等效梁、环或连续介质表示进行建模，以维持主要整体振动特征 [13,14]。基于简化重复单元的等效圆柱壳模型进一步表明，环形桁架结构的整体振动特征可以由等效壳模型表示 [12]。等效连续介质和圆柱壳类型模型已被用于分析旋转圆形桁架天线和热激励下的环形桁架天线 [15,17]，同时桁架变形和热载荷的影响也已纳入反射面精度优化中 [61]。关于圆形桁架天线、圆形网面天线以及圆形桁架天线梁环模型的研究进一步表明，呼吸振动、内部共振、振动控制行为以及组合激励下的非线性响应是圆形桁架和环形桁架天线低频动力学的重要方面 [[8], [9], [10], [11],62]。结合上述等效连续介质和圆柱壳研究，这些结果表明，降阶连续介质表示可以重现后续动力学分析所需的主要整体振动特征。

然而，大多数现有等效程序是从理想化重复单元格、假设边界条件或简化节点模型推导等效刚度或惯性参数的。因此，产生的参数可能准确重现选定的固有频率或模态形状，但它们并不总是针对经过实验验证的工程模型的完整复频响应进行校准。

在环形桁架天线动力学等效建模研究中，圆柱壳是一种理想的等效形式。这些圆柱壳有效地保持了环形桁架支撑结构的独特环形几何特征，同时便于基于既有的解析壳理论进行动力学分析，从而具有强大的理论兼容性。对复合材料层合圆柱壳的研究表明，圆柱壳模型可以描述不同激励下的复杂非线性振动、呼吸振动和共振响应 [[63], [64], [65], [66]]。半解析壳建模和复合材料圆柱壳非线性振动分析为利用壳模型分析整体振动和降阶动力学提供了宝贵的见解 [67,68]。Rayleigh-Ritz 公式和一阶剪切变形理论被广泛应用于各种边界条件下复合材料圆柱壳的自由振动 [69,70]。关于层合和功能梯度圆柱壳的研究进一步阐明了各向异性刚度、剪切变形、边界条件和几何特征对其模态和非线性振动行为的影响 [71,72]。尽管这些理论高效且物理意义透明，但它们需要具有精确动力学解释的特定参数，如有效密度、弹性常数、剪切刚度、泊松比和阻尼参数。对于由碳纤维组件、铝合金节点、齿轮和锁定铰链组成的实际环形桁架结构，这些参数无法直接从材料手册或简单质量平均技术中分配。因此，基于环形桁架结构本身的动态行为开发等效壳模型至关重要。该模型不仅需要通过 FE 方法进行验证，还需要使用理论壳模型进行验证。这种情况产生了一个复杂的跨结构反问题：模型从离散环形桁架天线过渡到连续介质壳结构，同时确保目标响应在感兴趣的频率范围内保持动力学一致性。

在实践中，FE 模型修正技术已广泛用于通过最小化数值预测与实验或参考动态数据之间的差异来校准结构参数。综述强调了 FE 模型修正在结构工程和动力学中的核心应用价值 [[73], [74], [75], [76]]。通过基于灵敏度的公式、正则化方法和通用单元矩阵方法，参数选择、错误控制和稳定更新的理论基础得到了进一步确立 [77,78]。FE 模型修正也已成功应用于桁架和点阵系统。代表性研究包括基于 FRF 的点阵结构修正 [79]、面向节点刚度的空间点阵结构修正 [80] 以及基于振动的实际钢桁架桥贝叶斯修正 [81]。

频率响应函数（FRF）尤为相关，因为它们包含关于质量、刚度、阻尼和模态参与度的信息。多传感器复频响应函数可以组织成特征图，并基于 BCNN 用于模型修正 [82,83]。关于基于 FRF 修正的经典研究表明，FRF 数据可以直接用于改进解析和 FE 模型，而无需仅依赖模态量 [84,85]。此外，近期的基于 FRF 的公式表明，频域数据可以促进工程结构中参数和阻尼的识别 [86,87]。近期的公式将 FE 模型修正扩展到复数材料参数估计和贝叶斯概率推断 [88,89]。

诸如基于扰动的技术、自适应正则化以及鲁棒更新方法等方法，聚焦于参数变异性、数据不完整和测量信息不足等问题[[90]、[91]、[92]]。代理辅助、全局优化以及基于高斯过程的模型更新方法有助于降低反复有限元（FE）分析所带来的计算负担[[93]、[94]、[95]]。此外，基于极限学习机的更新方法提供了一种根据频率响应函数（FRF）修正参数的高效途径[96]。传统FE模型更新通常被表述为在预设的结构拓扑或FE表示框架内进行参数标定[73、74]。该范式也被成功应用于格构和桁架系统[[79]、[80]、[81]]，在这些系统中，底层结构表示保持预定义状态，而对不确定的结构或节点参数进行更新。本问题与之不同，待识别的参数属于连续圆柱壳，其结构表示和参数化方式与离散环形桁架参考模型不同。此外，自数据驱动更新方法早期发展以来，神经网络就已被探索用于结构模型更新[97]。近期涉及贝叶斯神经网络（BNN）的研究表明，概率学习能够增强结构模型更新的鲁棒性并量化预测不确定性[98、99]。实用贝叶斯框架和多隐层BNN进一步为从有限或昂贵的仿真数据集中识别结构参数提供了基础[100、101]。基于FRF特征图的方法尤其相关，因为它将多传感器复值FRF转换为图像状的实部和虚部特征图。当与BCNN结合时，该技术在避免模态识别的同时可同时更新结构和阻尼参数[82、83]。深度卷积载荷识别方面的相关进展也支持了使用数据驱动映射解决力学反问题[102]。物理信息神经网络和物理信息机器学习表明，数据驱动模型可以与物理约束或控制方程信息相结合，以提高可解释性和泛化能力[103]。这些进展表明，基于FRF特征的BCNN不仅可以作为黑箱预测器，还可以作为从频域动态行为到可解释壳体参数的有效逆映射。尽管上述方面取得了进展，但在实现环形桁架天线与壳结构等效方面仍存在三个重要缺口。首先，现有的环形可展开天线简化动力学模型包括梁环、等效连续体和圆柱壳表示，而环桁架到壳的等效主要通过对理想化重复单元的解析均匀化建立。这些方法很少使用经过实验验证的工程FE模型中完整的多点FRF作为等效目标。其次，现有的FE模型更新方法，包括针对桁架和格构结构开发的方法，主要通过修正被更新模型的参数来降低模型-数据差异[73、74、[79]、[80]、[81]]。而本任务旨在从环形桁架参考模型的FRF特征中推断结构不同的连续圆柱壳的参数集。第三，等效壳参数的验证通常仅通过模态对比或FE仿真进行，缺乏配套的理论壳模型来确认所识别的参数是否能支持后续解析动力学。这些缺口对于大型可展开环形桁架天线至关重要，因为等效模型既要促进快速的数值分析，又要支持低频径向呼吸行为的理论探究。为应对这些挑战，本文提出了一种由FRF数据驱动的跨结构动态等效建模新方法，该方法用等效圆柱壳替代复杂的环形桁架结构。首先，研究建立了实验原型，并通过锤击模态试验验证了环形桁架结构FE模型的低阶动态特性。经验证的环形桁架结构FE模型作为参考模型，其多输出点加速度FRF通过实部和虚部分段积分转换为双通道FRF特征图。接下来，使用一致性约束的正交各向异性等效参数化构建参数化圆柱壳样本库。训练一个BCNN来学习从FRF特征图到等效参数（包括密度、弹性模量、剪切模量、泊松比和阻尼比）的逆映射。随后将经验证环形桁架模型的目标FRF特征图输入训练好的网络以识别相应的等效壳参数。这些识别出的参数被用于等效圆柱壳FE模型和基于一阶剪切变形理论与瑞利-里兹方法的理论模型中。最终形成的验证链连接了实验原型、环形桁架FE模型、等效圆柱壳FE模型和理论壳模型。因此，本文的主要贡献是一种响应一致的跨结构等效方法，该方法能够从频域动态特征中识别出可解释的连续壳参数，并在FE建模和理论建模层面上对其进行验证。本文的研究成果可为大型环形桁架天线的低频动力学分析和结构设计提供更加可靠的简化建模框架。本文其余部分组织如下。第2节介绍所提出的跨结构动态等效方法的总体框架。第3节建立并实验验证环形桁架结构的参考FE模型，随后构建FRF特征图和参数化圆柱壳样本库。第4节开发并训练用于等效参数识别的BCNN逆映射模型。第5节执行参数推断，并将识别出的参数回代到等效圆柱壳FE模型中进行验证。第6节建立理论圆柱壳模型，并通过模态验证进一步考察所识别等效参数的适用性。最后，第7节总结本研究的主要结论。各节摘要跨结构等效方法与参数定义作为大型卫星的主要承力部件，环形桁架结构由众多杆件和节点组装而成，具有复杂的拓扑构型。推导能够准确捕捉其动态特性的解析或半解析模型颇具挑战性。由于环形桁架结构的动态性能直接影响整个卫星的在轨指向精度和结构可靠性，因此迫切需要一种简化的分析。经验证的参考模型与参数样本库本节首先介绍环形桁架天线的实验原型。通过对结构构件和连接件进行合理简化，建立环形桁架结构的FE模型。在近似自由边界条件下进行锤击模态试验，并将测量模态结果与仿真结果对比以验证FE模型。此次标定提供了一个可用于后续跨结构等效分析的参考模型。基于BCNN的逆映射用于等效参数识别本节建立BCNN逆映射的代理模型，旨在识别圆柱壳的等效参数。该模型的建立基于第3节中定义的问题表述、FRF特征图构建以及圆柱壳样本库。为了生成目标FRF特征图，我们使用了经验证的环形桁架结构参考FE模型。相比之下，参数化圆柱壳样本库提供了配对的FRF特征图。等效壳FE模型的参数推断与验证本节重点在于基于目标FRF特征执行等效模型的参数推断，并将识别出的等效参数回代到圆柱壳FE模型中进行验证。首先，将来自经验证环形桁架FE模型的目标FRF特征图输入训练好的BCNN，以获得等效圆柱壳等效参数的预测分布。然后采用这些预测的均值。等效圆柱壳的理论建模与验证上一节通过模态对应和频率响应对比验证了等效圆柱壳FE模型的代入一致性。本节进一步将识别出的等效参数引入连续壳理论的理论框架中，并考察同一组参数是否能够再现等效壳的模态信息。以自由振动特性作为验证对象，重点聚焦于。结论本研究提出了一种由FRF数据驱动的跨结构动态等效建立新方法，旨在将环形桁架天线表示为等效圆柱壳。该方法使用实验验证的环形桁架结构FE模型作为参考模型，而圆柱壳FE模型作为等效模型。为便于该过程，FRF中的多输出点加速度通过双通道FRF特征图进行转换。CRediT作者贡献声明Wei Zhang：撰写—原稿、可视化、形式分析、数据整理。Qingyun Zhang：撰写—原稿、可视化、软件、方法学、形式分析。Zhongwen Pan：撰写—审阅与编辑、监督、资金获取、概念构思。Tao Liu：撰写—审阅与编辑、资源、方法学、资金获取、概念构思。Xiangying Guo：可视化、验证、资源、资金获取、数据整理。Yingjing Qian：撰写—审阅与编辑。Wei Zhang|Qingyun Zhang|Zhongwen Pan|Tao Liu|Xiangying Guo|Yingjing Qian|Chao Tang|Hong Lin|Xiaodong Yang北京理工大学数学与统计学院、机械工程与自动化学院机械结构非线性振动与强度北京市重点实验室，北京 100124，中华人民共和国