界面拟合有限元建模用于机械与几何调制的压电PN结

《COMPOSITE STRUCTURES》：Interface-fitted finite element modeling of mechanically and geometrically modulated piezoelectric PN junctions

　　

**摘要**

压电PN结可以通过机械诱导的压电场主动调节势垒构型和载流子输运，为压电晶体管、机械栅控二极管和机械传感器等应用提供了新途径。然而，机械和几何调制下压电PN结响应的多维机制仍未被充分理解。本文通过在界面处施加电子和空穴准费米能级连续性条件，建立了压电PN结的理论框架。基于约束变分原理，提出了一种界面拟合有限元法（FEM），用于解决压电PN结中的界面模型问题。数值结果表明，在势垒区域内施加机械载荷能最有效地调制结响应。较大的拉伸应力可以诱导更强的压电场，可能导致势垒反转，并使势垒区域内的少数载流子浓度超过多数载流子浓度。同时，在研究范围内，拉伸应力与长高比的最优组合可使输出电流密度最大化。所提出的界面拟合FEM不仅为调节压电PN结性能提供了量化工具，也为分析复杂界面问题和设计实用的压电器件提供了灵活的框架。

**引言**

压电半导体（PSCs），如ZnO、GaN和CdS，由于其压电和半导体性质的耦合特性，引起了广泛关注[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。PN结是众多半导体器件中的基本组件，其内建电场主要由材料特性、掺杂类型和浓度决定[8]、[9]。传统PN结的性能仅限于通过外加电压或温度变化进行调节，难以实现被动、动态和高灵敏响应[10]、[11]、[12]。近年来，由PSCs形成的压电PN结通过机电载流子耦合效应克服了这一限制[2]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。这种独特的耦合机制使压电PN结在开发下一代压电晶体管、机械栅控二极管和机械传感器方面具有显著优势，为压电器件、自适应电子和多功能半导体系统的应用提供了新途径[2]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]。

如图1所示，压电场效应晶体管中的机械载荷可以诱导压电场，为传统的外加栅极电压调制提供了替代方案。这种机械诱导的场可以有效地调制PN结内的内建电场，从而实现对接势垒、载流子输运、复合行为的主动调节，并最终影响输出性能[2]、[8]、[9]、[14]。然而，压电PN结的势垒区域以载流子浓度的陡峭变化、强非线性漂移电流和复合行为为特征，导致结内复杂的物理场耦合。此外，机械载荷对接响应的影响在很大程度上取决于其位置和大小，因为这些因素决定了势垒区域内压电场的分布[14]。类似地，几何尺寸也可能改变应变分布和局部压电场，从而修改结响应[28]、[29]。因此，阐明机械和几何调制压电PN结的内在机制仍然是一个关键问题。

尽管实验研究为压电PN结中机械可调电响应提供了重要见解[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]，但其内在机制仅通过实验难以澄清。在实际测量中，机械诱导的电响应不仅受压电对接势垒的调制所支配，还可能受非均匀应变[28]、[29]、非预期应力分量[28]、[29]和压阻效应[35]、[36]、[37]的影响。此前的研究表明，非均匀应变可以显著改变局部压电场的分布，而压阻效应可以通过应变引起的电阻率、载流子迁移率和载流子浓度的变化来影响器件电流。更重要的是，如图1(c)和(d)所示，机械诱导的压电场及其对接区域内势垒重构、载流子再分布和复合行为的影响，通常在实验中难以直接测量[28]、[29]、[38]、[39]。因此，仅凭实验观察往往不足以将压电贡献与其他应变相关效应区分开来，或者建立多物理场演化与所测器件响应之间的明确关系。

目前，已为压电PN结提出了几种解析模型[40]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]。然而，大多数现有解析模型主要局限于一维构型，且忽略了载流子复合，因此不足以准确捕捉实际二维或三维PN结中强非线性载流子输运和复合行为[41]、[43]。此外，仅有少数解析研究考察了机械载荷和几何构型如何调节压电PN结的电响应，尽管这两种因素都可能显著改变压电场、结势垒、载流子再分布和输出电流。因此，这些局限性促使我们开发用于非线性多维压电PN结的数值方法。

尽管有限元法（FEMs）为分析多维机械调制压电半导体提供了一种潜在方法，但大多数现有数值研究仍聚焦于单区域n型或p型材料[46]、[47]、[48]、[49]、[50]，仅少数工作涉及PN结等界面现象[14]、[51]、[52]、[53]、[54]、[55]、[56]。这些研究要么依赖降维模型，要么未能充分考虑界面载流子不连续性和机械、电气、载流子输运场之间的耦合。由于界面条件应施加在电子和空穴准费米能级的连续性上，而非直接施加在载流子浓度上[14]、[52]，载流子浓度在同质结界面附近可能呈现陡峭梯度，甚至跨越异质结界面时出现不连续性。传统的具有共享界面载流子自由度的FEM难以解决此类界面行为，这可能导致对界面节点处载流子浓度数值初始猜测的强烈敏感性（用于非线性初始化），即使对于同质结也需要过度的局部网格加密。尽管通用多物理场软件（如COMSOL Multiphysics）提供了耦合机械变形、静电学和半导体输运的便捷工具，但其标准工作流通常依赖预定义的界面公式，从而限制了定制界面处理的透明度和灵活性[56]、[57]、[58]、[59]。

在本文中，我们首先建立了压电PN结的基本理论框架，涉及机械变形、电场和载流子输运的多场耦合。该框架摒弃了传统的耗尽层近似和低注入假设，用界面处电子和空穴准费米能级的连续性条件取代了载流子浓度的连续性条件。此外，基于约束变分原理，提出了一种界面拟合FEM来解决压电PN结中的界面模型问题。在该方法中，在界面节点两侧引入了电子和空穴浓度的两个独立节点值，以及相应的节点拉格朗日乘子，以确保电子和空穴准费米能级的连续性。基于所提出的FEM，定量阐明了载荷位置、载荷大小和长高比对势垒构型、载流子复合和输出电流密度的影响，揭示了机械诱导的势垒反转以及使电流密度响应最大化的最优载荷和几何条件的存在。

本文的组织结构如下。第2节展示了压电PN结的基本理论框架，并在界面处施加了电子和空穴准费米能级的连续性条件。然后，第3节通过约束变分原理提出了用于界面模型的界面拟合FEM，以研究压电PN结。在第4节中，使用界面拟合FEM研究了机械载荷的位置和大小以及几何尺寸对压电PN结的影响。最后，在第5节中得出了一些结论。

**章节片段**

**压电PN结的基本方程**

在本节中，回顾并展示了压电PN结的理论框架。对于如图2(a)所示的压电PN结，它由占据Ω1区域并由?Ω1包围的P型区域和占据Ω2区域并由?Ω2包围的N型区域组成。那么，PN结的占据域为Ω=Ω1∪Ω2，其边界为?Ω。界面用Γ表示以考虑该处的连续性条件，我们有Γ=?Ω1∩?Ω2。在压电PN结中，电学……

**用于界面模型的界面拟合FEM**

压电PN结通常在复杂的多物理场服役环境中工作，需要进行结构优化以满足压电器件、自适应电子和多功能半导体系统的设计要求[2]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。此外，阐明方程(5)中描述的电子-空穴复合对压电PN结特性的影响是必要的，因为这一过程为……引入了强非线性。

**数值算例与讨论**

在本节中，通过将数值结果与准一维PN结棒算例的解析解进行对比，验证了所提出的界面拟合FEM的准确性。还使用L2范数进行了收敛性研究。然后，利用本FEM研究了载荷位置、方向和大小对压电PN结机电行为、载流子输运和输出电流密度响应的影响。此外，……

**结论**

在本文中，提出了一种界面拟合FEM，通过约束变分原理研究压电PN结。通过将数值结果与准一维PN结棒的解析解进行对比，验证了所提出的界面拟合FEM的准确性，并使用L2范数进行了收敛性研究。通过使用界面拟合FEM，研究了机械载荷和几何尺寸对压电PN结特性的影响。

**CRediT作者贡献声明**

Haiyang Zhou：撰写——初稿，可视化，验证，调查，形式分析。Xinpeng Tian：撰写——审阅与编辑，监督，软件，资金获取。Qian Deng：撰写——审阅与编辑，监督，项目管理，资金获取。Jan Sladek：撰写——审阅与编辑，监督。Vladimir Sladek：撰写——审阅与编辑，监督。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能被认为影响本文所报告的工作。

**致谢**

本工作得到了国家自然科学基金（项目编号：12350002）和湖北省自然科学基金（项目编号：2025AFA003）的支持。

Haiyang Zhou | Xinpeng Tian | Qian Deng | Jan Sladek | Vladimir Sladek