使用局部精化的数值流形方法对功能梯度材料中的断裂和准静态裂纹扩展进行建模

《COMPOSITE STRUCTURES》：Modeling fracture and quasi-static crack propagation in functionally graded materials using a locally refined numerical manifold method

　　

# 摘要

本文提出了一种新颖的局部精细化数值流形方法（NMM）公式化，用于建模功能梯度材料中的断裂与准静态裂纹扩展。与传统的整体精细化策略不同，所提方法动态地转移多级局部精细化区域以跟随扩展的裂纹尖端，仅在感兴趣区域保持高分辨率，同时避免精细化单元的不断积累。该公式化结合了数值流形方法固有的处理位移不连续性和多裂纹相互作用的特性，以及所提出的自适应精细化策略。本文进行了一系列涵盖静态断裂和准静态裂纹扩展的数值基准测试，涉及多样的裂纹构型、材料梯度分布和边界条件。仿真结果与已有解析解和先前数值结果一致，证明了当前建模框架在模拟功能梯度材料断裂问题方面的准确性。此外，该方法表现出良好的数值稳定性和出色的计算效率，突出了其在工程实践中的广阔应用前景，如功能梯度结构件的损伤分析和寿命预测。

# 引言

功能梯度材料（FGMs）在需要结构组件承受复杂机械应力同时保持高度可靠性的工程应用中持续受到关注，例如国防结构、核设施和大跨度桥梁建设[1]、[2]、[3]。FGMs允许材料属性在空间上连续变化，从而显著消除了层状或均质材料中出现的应力不连续和界面失效。因此，FGMs非常适合需要机械完整性和可接受损伤容忍度的结构应用。尽管具有这些优势，FGMs中存在裂纹对断裂分析和结构完整性评估提出了重大挑战。由于弹性特征在空间上变化，FGM中裂纹尖端的应力场不仅取决于裂纹几何形状和外部载荷，还受底层材料梯度的影响[4]。裂纹尖端奇异性与非均匀刚度的相互作用提供了与均质材料截然不同的断裂响应，尤其是在应力强度因子（SIFs）和裂纹扩展行为方面。因此，在FGMs中进行准确的断裂量评估和可靠的裂纹扩展模拟对于FGM结构的安全设计、性能评估和寿命预测至关重要。

此前，众多解析和半解析研究解决了FGMs在各种基本条件下的断裂问题。例如，研究人员考察了半平面中的纯I型裂纹[5]、利用Williams特征函数展开的混合模式断裂[6]，以及非均质材料中的奇异裂纹尖端场[7]。这些基础性工作共同验证了FGMs中平方根奇异性持续存在的事实。后续研究进一步分析了与裂纹垂直的材料属性渐变下的热应力强度因子[8]、任意裂纹取向和材料常数的影响[9]，并提供了全面的综述和解答[10]。关键贡献还包括对半无限裂纹[11]、周期性边缘裂纹[12]、III型裂纹[13]，以及具有任意属性分布材料中的特定模式问题的分析[14]、[15]。最近，研究已扩展到更复杂构型中的裂纹，如近任意渐变界面附近的裂纹[16]，并开发了考虑FGMs中断裂过程区的先进断裂准则[17]。总体而言，这些开创性研究通过求解具有特定裂纹模式、载荷类型和理想化材料分布的基准问题，建立了FGM断裂的理论框架。然而，此类解析方法应用于具有复杂几何形状和多轴瞬态载荷的实际构件的断裂分析和裂纹扩展模拟方面仍存在固有局限。

在计算能力的推动下，人们对推进断裂分析数值技术的关注日益增长。其中，有限元方法（FEM）特别被广泛用于研究具有空间变化弹性属性的FGMs中的裂纹尖端场和混合模式断裂行为[18]、[19]。然而，准确解析裂纹尖端奇异性通常需要在裂纹附近使用极精细的网格，这显著增加了前处理复杂度。为减轻传统FEM固有的网格协调性要求，扩展有限元方法（XFEM）被开发用于裂纹建模。该方法已被应用于具有各种材料分布和不连续性的FGMs断裂分析[20]、[21]，以及在耦合热-力载荷条件下的准静态和动态裂纹扩展模拟[22]、[23]。

除基于FEM的方法外，研究人员还探索了无网格和弱网格依赖技术，以增强表示不连续性和材料异质性的灵活性。例如，已利用无单元Galerkin方法（EFGM）在热载荷条件下研究了梯度介质中的热弹性断裂过程和复杂裂纹图案[24]。沿类似方向，有限块方法（FBM）将块状离散化与无网格近似相结合，并扩展到FGMs的二维和三维断裂分析的弱形式和强形式公式化[25]、[26]，展示了其表示梯度材料中裂纹引起的不连续性的能力。通过利用边界离散化，边界元方法（BEM）已被发展为分析层状和连续梯度材料中的断裂行为和疲劳裂纹扩展，包括半空间问题[27]、[28]。最近，相场模型作为一种有前景的策略被用于FGMs的断裂模拟。这些模型通过扩散损伤场来描述裂纹，并已被应用于梯度材料中的断裂阻力优化和热冲击断裂分析[29]、[30]，使得无需显式裂纹追踪即可捕获复杂的裂纹萌生和演化过程。另一方面，缩放边界有限元法（SBFEM）提供了一个处理裂纹尖端奇异性的半解析框架，已被用于FGMs中的瞬态热弹性断裂问题[31]。

与上述数值技术不同，数值流形方法（NMM）通过双覆盖系统分离近似和积分，为断裂分析提供了一个独特的框架[32]。在该框架内，与裂纹相关的位移不连续性通过将数学片分割为物理片来容纳，使得裂纹面可以被显式表示，而无需引入额外的增强函数。这一能力使NMM能够自然地处理涉及多裂纹相互作用的问题。NMM的另一个显著特征是其使用与演化的物理域无关的固定数学覆盖。因此，裂纹萌生和扩展可以在无需重新划分网格的情况下重现，这对于具有复杂裂纹构型或渐进损伤的问题尤其有用[33]、[34]、[35]。由于这些特性，NMM已被用于解决各种断裂相关问题，如多物理场耦合分析[36]、[37]、[38]、动态断裂模拟[39]、[40]，以及大变形和失效分析[41]、[42]。先前的研究还将NMM应用于FGMs的断裂分析，包括耦合热-力载荷和热冲击条件下二维断裂行为的考察[43]、[44]，以及对具有多裂纹的FGMs中T应力的评估以表征裂纹尖端约束效应[45]。此外，通过引入显式时间积分方法，NMM已被用于对二维FGMs进行动态断裂分析[46]。需要特别指出的是，在功能梯度材料中，裂纹尖端位移场对局部材料属性高度敏感，而在整个裂纹路径上的属性可能在扩展过程中剧烈变化。因此，局部分辨率不足可能导致SIFs和裂纹路径预测中的显著误差。传统上，准确建模裂纹尖端场需要整体网格精细化，这增加了大量的计算开销。基于事后误差估计的自适应精细化是一种严格且成熟的方法[47]、[48]、[49]。然而，对于涉及多裂纹或大量扩展增量的实际工程裂纹扩展问题，这些方法所需的反复求解-估计-重新划网循环可能变得计算成本高昂。此外，它们相对复杂的理论框架和实施程序限制了其在FGMs断裂分析中的广泛应用。

众所周知，应力和位移奇异性仅限于裂纹尖端附近。随着裂纹扩展，先前裂纹尖端的奇异性消失，而新的奇异性在更新后的尖端处发展。因此，将精细化区域重新定位以跟随扩展的裂纹尖端提供了一种物理合理且计算高效的策略。基于这一观察，作者先前提出了一种局部多层网格精细化方法[34]，本研究将其进一步扩展至FGMs的断裂模拟。在该方法中，精细化区域持续跟随扩展的裂纹尖端，确保在应力奇异性对数值解影响最大的区域保持高分辨率网格。同时，沿先前已扩展的裂纹段的网格恢复到初始背景离散化，从而防止精细化单元的无谓积累。精细化区域被划分为多层，允许向裂纹尖端方向逐步加密网格，同时保持背景网格的结构特性。虽然该方法在分析均质材料中的裂纹尖端SIFs和模拟断裂扩展方面非常准确，但将其应用于FGMs会因空间变化的材料属性及其与裂纹演化的相互作用而带来新的问题。

本研究的目的是将局部精细化NMM扩展至FGMs的断裂分析和准静态裂纹扩展。特别关注与整体网格精细化相关的计算成本，因为准确评估演化的裂纹尖端场需要在材料属性持续变化的区域具有足够精细的离散化。在所提方法中，多级精细化网格被放置在当前裂纹尖端周围，并在裂纹扩展过程中随尖端移动。一旦裂纹扩展，先前精细化的区域恢复到背景网格。这样，精细离散化主要限于所需的区域，在不牺牲裂纹尖端解精度的前提下降低了计算成本。所提方法的性能通过一系列涉及不同材料梯度和裂纹构型的断裂和裂纹扩展问题进行检验，结果与解析解和已发表的数值结果进行比较。

## 分节摘要

### 理论框架

本节描述了NMM结合局部网格精细化的理论框架，用于FGMs断裂行为的模拟。首先总结了断裂力学问题相关的控制方程和应力场。然后讨论了NMM的基本思想，包括双覆盖系统、流形单元的生成、局部近似方案和权函数定义。随后，提出了局部网格精细化策略。

### 数值实现

作为一种Galerkin型数值方法，NMM应用Galerkin加权残差法来公式化离散方程，得出断裂分析中静力平衡方程的弱积分形式。NMM与基于连续体的数值方法的一个关键区别在于其对本质边界条件的处理方式。在FEM和XFEM中，节点通常定位在本质边界上或材料界面处，这使得插值场……

### 数值算例

本节旨在验证所提方法在FGMs断裂分析以及模拟裂纹扩展过程方面的能力。首先呈现一个经典基准问题，以展示当前方法在计算精度、内存效率和CPU时间消耗方面的总体优势。然后，逐步增加模型复杂度，以检验方法在处理强材料……等问题的鲁棒性和可靠性。

### 结论

在本工作中，开发了一种新颖的局部精细化数值流形公式化方法，用于FGMs的断裂分析和准静态裂纹扩展。主要科学贡献在于将裂纹尖端跟随的多级精细化策略扩展到FGM断裂问题，其中空间变化的材料属性与演化的裂纹尖端场相互作用。与传统的整体精细化不同，所提策略动态地将局部精细化区域随着……

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**CRediT作者贡献声明**

Kai Wang：撰写——初稿，软件，方法论，概念化。Chaowei Sun：撰写——初稿，监督。Danqing Zhao：撰写——初稿，概念化。Jinhui Yang：监督，方法论。Gang Li：方法论。Chun'an Tang：监督。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**

本工作部分由中国国家自然科学基金（52609244）、西京大学高层次人才专项资金（XJ25B01, XJ24B12）、陕西自然科技基础研究计划（2025JC-YBQN-662, 2026JC-YBQN-0039）、陕西省重点科技计划（2025SF-YBXM-556）和陕西省教育厅专项科研计划项目（25JK0706）资助。

Kai Wang | Chaowei Sun | Danqing Zhao | Jinhui Yang | Gang Li | Chun'an Tang