基于准三维精细化等几何分析框架的粘弹性基础上功能梯度石墨烯折纸启发的负泊松比超材料夹层板振动分析

《COMPOSITE STRUCTURES》：Quasi-three-dimensional refined isogeometric framework for vibration analysis of functionally graded graphene origami-enabled auxetic metamaterial sandwich plates on viscoelastic foundations

　　

## 摘要
针对功能梯度石墨烯折纸型辅助超材料（FG-GOEAM）夹层板与粘弹性地基耦合的自由振动分析，提出了一种准三维精细化等几何有限元公式。该结构由两片石墨烯折纸增强的辅助面板和均匀的核心层组成，并沿厚度方向根据选定的梯度分布模式赋予逐层属性。所采用的准三维板理论考虑了横向剪切变形和局部横向正变形，且无需引入剪切修正因子。地基通过温克勒刚度、帕斯特纳克剪切层刚度和粘性阻尼来表示。采用哈密顿原理推导控制方程，并在等几何分析框架内使用非均匀有理B样条基函数对其进行离散化。该公式旨在阐明石墨烯折纸梯度、夹层构型、粘弹性支撑、厚度比、边界条件及几何复杂性对振动特性的耦合影响。与现有参考解的基准对比表明，该公式具有高精度。得益于其精确的几何表示和光滑的高阶近似，等几何框架还便于分析那些难以用解析方法处理的复杂几何结构。数值结果表明，振动响应受材料分布、夹层构型和地基参数的共同支配。

## 引言
夹层结构因其面板/核心层架构在相对低质量下可提供高弯曲刚度和结构效率，被广泛应用于轻量化工程中。凭借这些优势，夹层结构在振动和结构分析中一直受到广泛关注，尤其是针对具有定制面板、核心层和支撑条件的先进构型[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。

在先进的结构材料中，辅助系统因其负泊松比可提供反常变形特性和可调机械性能而受到极大关注。早期研究通过内凹蜂窝架构和分子网络设计展示了这种行为[7]、[8]，而更近期的增材制造超结构进一步展示了梯度辅助架构的潜力[9]。在这一类中，石墨烯折纸型辅助超材料（GOEAMs）提供了一种独特的方法，通过石墨烯增强体的折纸灵感变形来定制其有效机械响应。Zhao等人[10]、[11]、[12]从原子尺度建模到FG-GOEAM梁应用研究了石墨烯折纸型辅助超材料，包括可调辅助响应、非线性振动和弯曲行为。An等人[13]使用广义有限差分方法研究了FG-GOEAM不规则板的弯曲和屈曲。Lv等人[14]分析了具有复杂切口的FG-GOEAM板的自由振动。其他近期研究处理了圆形FG-GOEAM板的自由和强迫振动[15]、[16]，而一篇近期综述总结了石墨烯折纸型辅助超材料结构的进展[17]。

FG板和夹层板的分析需要合适的板理论。经典板理论忽略了横向剪切变形，因此主要适用于薄板，而一阶剪切变形理论通常需要剪切修正因子。为了克服这些局限，已经发展了各种高阶和准三维（准3D）理论[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]。Neves等人[18]以及Thai等人[19]、[20]为FG板提出了精细化高阶和准3D公式，考虑了横向剪切以及在准3D模型中的厚度拉伸效应。Belkhodja等人[21]进一步为单层和夹层板发展了混合准3D理论，而Alazwari和Zenkour[22]考虑了置于粘弹性温克勒-帕斯特纳克地基上的FG板。这些进展连同Reddy[23]的经典高阶框架，展示了精细化运动学对于具有显著厚度方向变形板的重要性。

准3D理论的实现需要一个计算框架，能够提供足够光滑的场近似同时精确表示复杂几何；在这方面，由Hughes等人[24]提出的等几何分析（IGA）是一个合适的选择。该方法随后被发展并应用于各种板问题。Tran等人[25]采用IGA-HSDT公式对FG板进行弯曲、振动和屈曲分析。Nguyen-Xuan等人[26]基于HSDT为复合材料夹层板开发了IGA公式，而Thai等人[27]在IGA框架内应用广义剪切变形理论于FG各向同性和夹层板。进一步的进展考虑了双向FG板的常厚度和变厚度[28]、[29]，以及FG微板的精细化准3D模型[30]。最近，Garg等人[31]、[32]综述了层合、功能梯度和纳米复合材料结构IGA的最新进展，并进一步将h精细化IGA公式应用于具有径向和曲线裂纹的环形复合板自由振动分析。

周围支撑介质会显著影响板结构的振动响应。温克勒模型用独立的法向弹簧表示地基，而帕斯特纳克模型额外考虑了支撑介质内的剪切相互作用。粘弹性扩展进一步纳入阻尼效应，因此能更合适地描述耗散支撑，尽管常值地基系数无法表示频率相关的支撑行为。各种地基模型已被用于FG和夹层结构。Gawah等人[33]、[34]研究了置于粘弹性支撑上的FG-GPL多孔板和FG-CNTRC梁中的波传播，并展示了地基刚度和阻尼对其动力学特性的显著影响。Li等人[35]使用准3D HSDT研究了温克勒、帕斯特纳克和克尔地基上FGM板的自由振动，而Frahlia等人[36]考察了粘弹性地基参数对FG板动力学响应的影响。Ghazwani等人[37]为具有辅助核心的FG夹层板开发了通用粘弹性地基模型，而Zaitoun等人[38]考虑了湿热条件下与粘弹性介质相互作用的FG夹层板。相关研究处理了具有通用边界条件的FG板[39]、石墨烯增强聚合物纳米板[40]、有缺陷FG梁[41]、GPL增强FG板[42]，以及承受材料、几何、热和湿热效应的FG板[43]、[44]、[45]、[46]、[47]。Doan等人[48]使用广义粘弹性地基模型研究了石墨烯氧化物增强复合板的阻尼振动，而Son等人[49]分析了置于多参数粘弹性地基上的FG夹层纳米板的非局部振动。

粘弹性材料和先进夹层概念在其他结构应用中也有探索。Zhang和Zhang[50]研究了用于缓解相邻结构间地震诱发碰撞的粘弹性材料，而相关研究考虑了预扭曲机械超材料叶片[51]、石墨烯包覆旋转叶片[52]以及冲击载荷下的泡沫夹层梁[53]。这些研究进一步说明了阻尼、材料架构和支撑条件在结构动力学行为中的作用。然而，现有研究主要涉及常规FG、增强、多孔、泡沫核心或辅助核心结构。因此，与粘弹性温克勒-帕斯特纳克地基相互作用的FG-GOEAM夹层板的振动行为仍未得到充分研究。

上述综述表明，夹层结构、GOEAM材料、准3D板理论、IGA公式和支撑介质效应在不同背景下各自被研究过。然而，这些进展大多彼此分离。GOEAM相关研究仍主要集中在梁或单板层，而夹层布局的关注有限。准3D理论已成功应用于夹层板，但其与GOEAM基材料模型结合使用仍有限制。此外，许多关于弹性和粘弹性介质支撑板的研究依赖于解析、半解析或传统数值方法，而基于IGA的此类问题处理相对较少。尽管IGA对精细化板模型有效，但其应用于先进超材料夹层板（特别是与粘弹性介质相互作用的FG-GOEAM夹层板）仍未得到充分确立。因此，需要一个统一的准3D IGA模型，在单一公式中纳入夹层排列、厚度方向FG-GOEAM分布、横向剪切变形、局部横向正变形、温克勒刚度、帕斯特纳克剪切层刚度和地基阻尼。

基于此动机，本工作开发了一种用于FG-GOEAM夹层板在粘弹性温克勒-帕斯特纳克介质支撑下自由振动分析的准3D等几何公式。位移场考虑了横向剪切变形和局部横向正变形。FG-GOEAM面板的有效属性由石墨烯折纸相关参数定义，包括石墨烯重量分数、折叠度和分布模式。考虑了几种夹层布局以阐明面板/核心层排列的作用。粘弹性支撑由三个参数表示：温克勒刚度、帕斯特纳克剪切层刚度和阻尼系数。该公式首先与基准解进行校验，然后用于评估材料分布、夹层构型、厚度比和支撑参数对无量纲固有频率的影响。结果旨在为与粘弹性介质相互作用的轻质FG-GOEAM夹层板振动评估提供参考数据。此外，还考察了具有中心圆形切口的多补丁方形FG-GOEAM夹层板，以阐明切口引起的模态重排以及地基有效性与横向模态参与度的依赖关系。

本方法提供了精确的几何表示、光滑的高阶近似以及直接评估振动特征谱的能力。其主要局限在于大规模问题的计算成本，以及线性振动、完美粘合、确定性材料属性和频率无关地基参数的假设。变分能量基神经方法[54]、[55]为传统计算方法提供了有前景的替代方案，值得在后续研究中进一步探索。

### 章节摘要
#### FG-GOEAM夹层板模型
考虑一个长度为a、宽度为b、总厚度为h的FG-GOEAM夹层板，如图1所示。该板参照笛卡尔坐标系x,y,z，其中x轴和y轴位于中面，z轴沿厚度方向。夹层板由三部分组成：下面板、核心层和上面板。底面板和上面板由FG-GOEAM制成，而核心层假设为均匀各向同性。

#### 精度验证问题
首先，表1列出了本文IGA公式获得的简支各向同性方板前八个无量纲固有频率，以及Alazwari和Zenkour[22]、Akavci[1]和Mantari等人[59]报道的结果。材料假设为各向同性，泊松比ν=0.3。考虑了四种边长-厚度比：a/h=1000、100、10和5。如表中所示，本文结果与可用的参考结果非常吻合。

## 结论
开发了一种六变量准三维等几何公式，用于置于粘弹性地基上的功能梯度石墨烯折纸型辅助超材料夹层板的振动分析。该公式与参考解吻合良好，代表性基准之间的差异保持在约1%以内。数值结果表明，增加石墨烯折纸含量通常会提高振动。

## CRediT作者贡献声明
Pham Quoc Hoa：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原始草稿，验证，软件，调查，形式化分析。Cuong-Le Thanh：验证，软件，方法论。

## 利益冲突声明
作者声明他们不存在任何可能影响本文报道工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

## 致谢
本研究未获得任何外部资金支持。

Pham Quoc Hoa | Cuong-Le Thanh