在f(R,T)引力下，依赖于重子数密度的袋参数B(n)对具有非零奇异夸克质量（ms≠0）的奇异星的影响

《Annals of Physics》：Influence of baryon number density-dependent bag B(n) on strange stars with non-zero strange quark mass (ms≠0) in f(R,T) gravity

　　

在本研究中，我们在 f(R,T) 引力框架下，针对奇异星提出了一类新的爱因斯坦场方程各向同性解，采用函数形式 f(R,T)=R+2ζT，其中 ζ 表示物质与几何之间的耦合参数。恒星构型采用修改后的 Mak-Harko 密度分布进行开发，结合 MIT 袋模型状态方程，并纳入有限奇异夸克质量 (ms)。为了以物理一致的方式实施夸克物质假说，我们采用了一个由指数形式参数化的重子数密度 (n) 依赖的 B(n)。奇异夸克物质的稳定性通过每重子能量 (EB) 进行评估，受限于 EB≤930.4MeV 的要求，这是 Fe56 的每重子结合能。该条件对 n 施加了下限，低于此值时，EB 会超过稳定性阈值。然而，该极限值取决于奇异夸克质量 ms。n 的上限固定在 0.36fm?3，与 ms 无关，由 B(n) 的可接受下限决定。通过求解修改后的 TOV 方程，获得最大恒星质量和半径。对于 ms=0MeV，n=0.36fm?3 和 ζ=?0.1，模型预测最大质量 M=2.03M⊙，半径为 11.49 km。质量和半径都对 ms、ζ 和 n 的变化敏感。该模型满足所有能量条件并符合动力学稳定性标准，证实了其作为一致恒星构型的物理可行性。

广义相对论 (GR) 一直是解释天体物理和宇宙学尺度引力现象的基石。它与大量精密测试有着惊人的吻合，例如来自远处背景恒星光线的引力透镜效应、引力红移、Shapiro 时间延迟效应、水星反常近日点进动以及太阳系内的月球激光实验。在太阳系外，涉及黑洞 (BH) 合并引力波发射检测和双脉冲星轨道变化的 GR 预测正在被验证 [1], [2], [3]。为了检验 GR 在强引力场中的有效性，可以分析相关的黑洞合并探测，这些探测本质上涉及极端引力条件。然而，问题依然存在，即 GR 在此类情况下是否依然成立。黑洞奇点处等价原理的违背引发了对 GR 普遍性的担忧，暗示其在这些极端环境中可能存在潜在局限性。因此，尽管取得了成功，宇宙学和天体物理中的几个未解决问题表明可能需要对 GR 进行修改。在此背景下，Weyl [4] 首次修改了 GR 以统一引力和电磁学，随后许多研究人员跟进修改 GR 以解释各种天体物理和宇宙学方面，如暗能量、暗物质和晚期宇宙加速的存在 [5], [6], [7], [8], [9], [10]。在低能区间，观测和理论挑战在 ΛCDM 模型中显现，表明 GR 作为引力基本描述可能存在潜在局限性。这些挑战使得探索替代引力框架 [11], [12] 变得必要，这些框架需与观测结果保持一致 [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]。GR 的一个主要问题出现在量子场论语境中，在有效场论框架内它缺乏可重整性 [20], [21]。具体来说，GR 不能以可重整的方式量子化，而不引入无限多个独立参数，这造成了严重的理论困难。

为了解决广义相对论 (GR) 的不可重整性，提出了几种对爱因斯坦 - 希尔伯特作用量的修改 [22]。一种常见方法是纳入高阶曲率不变量，这在高能标下变得显著，可能会缓解 GR 的一些局限性。此外，标量 - 张量模型 [23]、平行引力 [24] 和其他标量场框架 [25], [26], [27] 等其他替代理论已被广泛探索。一些方法旨在统一引力与其他基本相互作用 [4], [28], [29]，而另一些则将量子效应纳入引力动力学 [30]。这些理论和观测挑战促使了对更完整引力理论的持续搜寻。在修改理论中，f(R) 引力通过里奇标量的任意函数 f(R) 推广爱因斯坦 - 希尔伯特作用量从而扩展了 GR [31]。该框架在宇宙学中已被广泛研究，特别是在解释宇宙加速膨胀方面。Harko 等人 [32] 进一步将此模型推广到 f(R,T) 引力，包括能量 - 动量张量的迹 T。在该理论中，物质 - 曲率耦合导致能量 - 动量张量的协变散度非零，导致测试粒子发生非测地线运动 [33]。然而，对于 f(R,T)=R+hT 等特定形式，恢复了测地线运动 [34]。f(R,T) 框架已广泛应用于天体物理背景中。Moraes 等人 [35] 推导了修改后的流体静力学平衡方程，表明可以支撑更高的最大质量。多项研究在该理论中探索了致密星、引力波 [36] 和引力星 [37]。利用 Karmakar 条件 [38] 和共形对称性 [39] 等技术构建了解析恒星模型。Singh 等人 [40] 证明线性形式 f(R,T)=R+2ζT 在 ζ 值较小事会产生更刚性的状态方程 (EoS)。在该框架内对奇异星和质量 - 半径关系的进一步调查突出了其天体物理相关性 [41], [42], [43], [44], [45], [46]。致密星以其极端密度和强引力场为特征，是测试偏离 GR 的理想实验室。在 f(R,T) 引力中，T 的引入修改了场方程并引入了有效的能量 - 动量张量，改变了流体静力学平衡条件。因此，Tolman–Oppenheimer–Volkoff (TOV) 方程 [47], [48] 被修改，导致恒星质量、半径、潮汐形变度和转动惯量等恒星性质出现可观测的差异。致密星的最大质量通常位于 1.46-2.48M⊙ 范围内，具体取决于状态方程 (EoS) [49]。一个著名的假说认为中子星内部可能包含去禁闭夸克物质。Itoh [50] 首次提出了存在流体静力学平衡下的夸克星，而 Madsen [51] 表明没有外部压力时，两味夸克物质是不稳定的。奇异 (s) 夸克的加入降低了每重子能量，稳定了系统，并导致了奇异夸克星 (SQS) 的概念 [52], [53], [54]。Witten [55] 进一步建议奇异夸克物质 (SQM) 可能代表量子色动力学 (QCD) 的真正基态，其每重子能量低于 56Fe。在极高密度下，渐近自由意味着强子溶解为弱相互作用的夸克 - 胶子等离子体 (QGP)。有建议认为中子星核心的条件可能足以引发这种转变 [56]，尽管确切机制仍不确定。唯象模型，特别是 MIT 袋模型 [57]，提供了一个有用的框架来描述此类条件下的夸克物质，并已被广泛用于致密星研究 [58], [59], [60], [61], [62]。在 f(R,T) 引力框架下，稳定性分析、复杂系统动力学以及建模方法论已在参考文献 [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69], [70], [71], [72], [73] 中讨论过。

在 MIT 袋模型中，夸克的禁闭由袋常数 Bg 控制，它代表了非微扰和微扰真空之间的压力差。现在，在奇异星 (SS) 建模中，Bg 被视为常数参数或显式依赖于密度。对于常数 Bg，两个真空之间的压力差保持恒定，这可能不适合描述致密天体的不同观测性质，如质量 - 半径比、表面红移、致密性等。然而，在高密度区间，必须考虑周围环境的影响，这可能会影响内部夸克物质状态方程 (EoS) 的准确表示。在此背景下，必须指出的是，随着密度增加，微扰和非微扰真空之间的区别可能减弱，导致 Bg 消失。因此，考虑密度依赖方法，我们可以获得一个灵活而稳健的结构来模拟广泛的 SS 候选者。因此，引入密度依赖袋 (Bg(ρ)) [74] 或重子数密度依赖袋 (Bg(n)) [75] 更为合适。此外，纳入非零奇异夸克质量 (ms≠0) 在现实的 SS 建模中至关重要，因为 ms 的存在显著修改了传统的 SQS 模型，同时影响其结构和动力学性质。在本模型中，我们考虑时空是静态且球对称的。此外，我们假设恒星模型不带任何电荷和磁场。在此假设下，压力各向同性条件可能成立 [76], [77], [78], [79]。本工作的主要目的是在 f(R,T) 引力形式体系下，针对 Mak 和 Harko [80] 规定的密度分布形式的修改形式，调查由 3 味夸克和电子组成的奇异星性质。由于非零 ms 和重子数密度 (n) 都对系统的每重子能量 (EB) 有相当大的影响，研究中采用了非零 ms 以及重子数密度依赖袋函数 (Bg(n)) 以构建更现实的状态方程，从而获得恒星构型的物理参数。这种方法有助于预测基本的 SS 性质，包括质量 - 半径关系、稳定性条件、因果性约束和基本能量条件的有效性。

本文结构组织如下。在第 2 节中，分析了构成粒子之间的热力学关系，以推导连接密度和压力的状态方程。第 3 节介绍了重子数密度依赖袋模型，其中定义并详细检查了袋函数 B(n) 的合适函数形式。还分析了每重子能量 EB 对重子数密度 n 的依赖关系，以约束 B(n) 的选择。第 4 节概述了 f(R,T) 引力模型的理论框架。第 5 节展示了修改后的爱因斯坦场方程及其解，以及对模型参数的约束，特别是耦合参数 ζ。第 6 节调查了不同参数集的质量 - 半径关系。在第 7 节中，通过径向分布、因果性和能量条件分析确立了模型的物理可行性。第 8 节利用各种标准考察了构型的稳定性。最后，第 9 节总结了研究的主要结果和结论。

章节片段
热力学行为
在极其致密和高压的环境中，如致密天体内部，中子被认为会分解为其构成夸克。这些夸克处于平衡状态，确保恒星物质的电荷中性。夸克共同形成单个色单态重子，其特征为重子数 A。由于夸克本质上是费米子，夸克物质可以描述为由 3 A 个夸克组成的费米气体。夸克禁闭的影响可以有效地在...内建模

重子数密度 (n) 依赖袋
自 Itoh [50] 的开创性工作以来，具有可能夸克核心的大质量中子星 (NS) 的存在一直具有相当大的理论兴趣，并在近期研究中继续引起显著关注 [84]。虽然强子物质的状态方程 (EoS) 受到相对较好的约束，但在超级核密度下建模夸克物质 EoS 仍存在相当大的不确定性。在远超核饱和密度的密度下，奇特自由度的出现

f(R,T) 引力理论的数学基础场方程
遵循 [32] 工作的 f(R,T) 形式体系中的作用量给出为：S=α∫d4x?g f(R,T)+∫d4x Lm?g,
其中，α=c4/16πG，R 被称为里奇标量，T 是能量 - 动量张量的迹，Lm 是物质的拉格朗日密度，g=det gση。为了对模型进行完整分析，为简单起见选择了 8πG=1 和 c=1 的条件，这意味着 α=1/2。

Lm 本质上与能量-动量张量 $T_{\mu\nu}$ 相关联，其表达式为[105]：
$$T_{\sigma\eta} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta(-\sqrt{-g}\,L_m)}{\delta g^{\sigma\eta}}.$$
若 Lm 仅依赖于……

**修正爱因斯坦场方程及其在 f(R,T) 引力中的解**

采用球对称静态度规：
$$ds^2 = -e^{\nu(r)}dt^2 + e^{\lambda(r)}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2),$$
其中 $\nu(r)$ 和 $\lambda(r)$ 为未知的度规势，结合方程 (15)、(16) 以及选取 $f(R,T) = R + 2\zeta T$，可得以下一组修正场方程：
$$\frac{\lambda'}{r}e^{-\lambda} + \frac{(1-e^{-\lambda})}{r^2} = (1+3\zeta)\rho - \zeta p,$$
$$\frac{\nu'}{r}e^{-\lambda} - \frac{(1-e^{-\lambda})}{r^2} = (1+3\zeta)p - \zeta\rho,$$
$$e^{-\lambda}\left[\frac{\nu''}{2} + \frac{\nu'^2}{4} + \frac{\nu'-\lambda'}{2r} - \frac{\nu'\lambda'}{4}\right] = (1+3\zeta)p - \zeta\rho,$$
其中 $(\,')$ 表示对 $r$ 的导数。

在本模型中，存在四个未知量：能量密度 ($\rho$)、……

**由 TOV 方程求最大质量**

Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) 方程，参考文献 [47]、[48]，在 f(R,T) 引力理论中已被修正为以下形式[132]，其中物质拉格朗日密度取 $L_m = p$：
$$\frac{dm}{dr} = \frac{1}{2r^2}\left[\rho + \frac{\zeta}{r^2}(3\rho - p)\right],$$
$$\frac{dp}{dr} = -(\rho+p)\left[1+\beta\left(\frac{m}{r^2}+\frac{1}{2r}p+\frac{\zeta}{r^2}(3p-\rho)\right)\right]\frac{1}{(1-2m/r)} - \frac{1+\beta}{1+\beta}\frac{d\rho}{dr},$$
其中 $\beta = \frac{\zeta}{1+2\zeta}$。值得注意的是，我们取 $8\pi G = 1$，$c = 1$，并数值求解方程 (32)、(33) 以在该框架内计算最大质量值和半径值。为维持稳定的恒星构型，各参数取值范围为……

**本模型的物理应用**

本节对致密天体（特别是奇异夸克星）的物理性质进行分析，重点研究其在 f(R,T) 引力中的压强 ($p$)、能量密度 ($\rho$) 及其他相关性质。在本分析中，研究了在有限奇异夸克质量 ($m_s$) 的情形下，重子数密度 ($n$) 对这些变量的影响。为进行物理检验，我们选取 X 射线双星 4U1820?30，其观测质量为 $1.58\,M_\odot$[136]。

**$g_{rr}$ 和 $g_{tt}$ 度规分量的变化**

**稳定性分析**

为验证模型的有效性，执行了以下稳定性检验：

1. 不同力作用下流体静力学平衡的检验
2. 绝热指数的计算
3. 压强绝对值在 Lagrangian 扰动下的稳定性检验
4. 潮汐形变性与潮汐 Love 数的确定

**讨论**

本工作分析了有限奇异夸克质量 ($m_s$) 对致密星物理性质的影响，所采用的修正引力框架为 $f(R,T) = R + 2\zeta T$，其中 $\zeta$ 代表物质-几何耦合参数。恒星内部被建模为由去禁闭的 u、d、s 夸克及电子组成的电中性系统。夸克间的禁闭动力学采用 MIT 袋模型进行描述。由于状态方程 (EoS) 起着关键作用……

**CRediT 作者贡献声明**

- **Rohit Roy**：撰写—原稿、方法论、调查、形式分析、概念化
- **Debadri Bhattacharjee**：撰写—原稿、方法论、调查、形式分析、概念化
- **Koushik Ballav Goswami**：撰写—原稿、方法论、调查、形式分析、概念化
- **Pradip Kumar Chattopadhyay**：撰写—审阅与编辑、验证、监督、方法论、调查、概念化

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何已知可能影响本文所报告工作的竞争经济利益或个人关系。

**致谢**

RR 感谢库奇-比哈尔潘查南·巴尔马大学物理系为本研究的开展提供了必要帮助。DB 感谢印度政府科学技术部 (DST) 提供的奖学金资助，编号：DST/INSPIRE Fellowship/2021/IF210761。PKC 感谢印度浦那 IUCAA 在访问学者计划下提供的支持。DB 和 PKC 感谢 IUCAA 在访问期间提供的设施支持。

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