有限水深、方向扩散不规则海况下单桩波浪诱导惯性力和泥线弯矩的统计描述

《Coastal Engineering》：Statistical description of wave-induced inertial forces and mudline moments on a monopile in finite-depth, directionally-spread, irregular seas

　　

摘要

我们建立了一个针对有限水深、不规则、有方向扩散的单桩的理论随机框架。该框架能够预测波浪引起的深度积分惯性力和泥线力矩的概率密度函数。该公式基于线性波浪理论与Morison方程的惯性分量耦合，适用于任意波浪谱和可分离方向性扩散函数的组合。除了需要对各自的光谱进行数值积分以确定力和力矩的方差之外，该框架是完全显式的。结果表明，虽然其水平分量为高斯分布，但水平合力与泥线力矩服从Hoyt分布。在均匀方向扩散的极限下，该分布退化为Rayleigh分布；在单向极限下，退化为半正态分布。该理论与全非线性波浪模型的结果进行了验证。一个实际例子展示了如何基于随机描述直接确定对应于期望超越概率的设计荷载。该框架为方向扩散、有限水深海域中合力载荷的统计分布提供了新的理论见解，并且非常适合用于确定惯性主导区域（低Keulegan-Carpenter数）单桩的初步设计荷载，而无需进行蒙特卡洛模拟。

引言

在现实的不规则、有方向扩散的海况下，海上单桩上的波浪荷载本质上是随机的。特别与设计相关的是合力水平力和泥线力矩的概率密度函数（PDF），因为这些分布决定了用于基于可靠性的评估中的稀有利荷水平和超越概率。在当前的设计实践中，与DNV-RP-C205等海上标准和推荐做法一致，波浪荷载统计量通常由局部时域荷载历史构建。这些历史是通过生成不规则波浪实现并利用既定的工程荷载模型评估相应的水动力荷载来获得的。这种时域方法对于疲劳导向的设计特别重要，在这种设计中，重复的加载和卸载循环，而非单个极端荷载，往往控制着结构的性能。然而，基于集合的模拟，通常以蒙特卡洛方式进行，当需要多种海况、波浪方向和长时程实现时，计算量巨大。它们还难以直接洞察水深、方向扩散和波浪运动学如何塑造荷载分布。这促使我们发展一种谱随机公式，其中积分荷载的统计量从有限水深的水动力传递函数中获取，而非仅从有限时域实现的集合中推断。本文开发了这样一种针对有限水深、有方向扩散、不规则海况中惯性主导的单桩荷载的公式。

对于直径??远小于峰值波长????的单桩，此处以????/??>5为特征，该结构可被视为水动力细长的，波浪荷载使用Morison型公式描述，与DNV-RP-C205（DNV, 2025）的细长构件框架一致。Morison等人（1950）最初提出，后来由Borgman（1958）以一般向量形式表达，Morison方程将物体上的力分解为惯性和阻力贡献。本研究关注低Keulegan-Carpenter数区域，?????3，在此区域内，波浪引起的颗粒位移相对于桩径较小，阻力贡献为次要。因此，本框架中不包含阻力、涡脱落引起的升力及其他尾流相关的横流效应。这些效应在较大????时可能变得更加重要，特别是在严重的和强单向海况下。近期大量研究表明，线性波浪理论与仅惯性水动力力表示的结合在某些条件下可能不足。非线性波浪荷载可产生高次谐波强迫、铃振型响应以及泥线弯矩的高阶贡献，特别是在陡波条件下以及高阶荷载激发结构共振时（Bachynski等，2017，Wang等，2021）。这些效应对泥线力矩可能有显著影响，但超出了本研究的范围，本研究仅限于一阶波浪运动学和惯性主导的荷载。然而，对于Schl?er等（2016）研究的与疲劳相关、非破碎的不规则风-浪条件，包括风速和有效波高递增的海况，线性波浪理论被发现在估计疲劳荷载方面总体上足够，而全非线性波浪效应对于极限荷载评估更为重要。因此，本分析旨在适用于主要波浪频率的荷载主导深度积分力和泥线力矩的条件。正如所概述的，例如，细长圆柱上的波浪荷载可以用Morison方程描述，此处简化为惯性分量并用未扰动的波浪加速度表示。对于非破碎波，该加速度场由势流理论描述，它将方向波浪谱与波浪运动学联系起来，为分析深度积分惯性力和泥线力矩的统计特性提供了基础。

先前的解析研究利用Morison型公式结合势流波浪运动学推导了局部随机波浪力的统计特性（Pierson和Holmes, 1965，Borgman, 1967，Borgman, 1972，Song等，2000）。推导相应的深度积分量的统计特性需要考虑波浪加速度传递函数随高度的变化。然而，对于这里考虑的仅惯性荷载，不需要明确确定不同高度处加速度场的交叉协方差结构，因为在评估力和力矩统计量之前可以进行垂直积分。对于单色线性波浪，这种垂直依赖性是确定性的，并在水深范围内完全相干，而对于不规则波浪场，协方差结构源于频率依赖的垂直传递函数的叠加。这种区别在有限水深中尤为重要。Tickell（1977）认识到了这一困难，并推导了多个高度处力的形式联合PDF，但未能获得总合力的显式分布。更近期，Klahn等（2021a）基于无限深水中方向扩散波浪场的一阶理论，推导了深度积分惯性力分量以及合力的概率密度函数的解析表达式。然而，他们的公式未包含泥线力矩或有限水深效应。据作者所知，尚未提出相应的有限水深理论。本研究通过将Klahn等（2021a）的解析框架扩展到有限水深并考虑泥线力矩来解决这一空白。

本研究通过基于Morison方程惯性分量的随机传递函数框架来解决这一空白。重点是有限水深中惯性主导荷载区域的单桩型细长圆柱基础；其他海上结构配置可能涉及不同的水动力机制，超出了本公式的范围。我们推导了有限水深中两个水平分量及其对应合力（深度积分力和泥线力矩）的解析PDF。该公式明确显示了水深、谱形状和方向扩散如何通过有限水深传递函数进入荷载统计。所得表达式直接描述了有限水深波浪运动学和方向扩散如何控制惯性主导的积分荷载分布。从实践角度看，本研究提供了一种以前无法获得的、大部分闭式的概率描述，作为海上结构分析中常用的蒙特卡洛模拟方法的补充解析框架。其主要优势在于所得分布对控制参数的显式依赖，而不仅仅在降低单个荷载评估的成本。因此，在惯性主导区域内，该公式可以协助初步单桩荷载评估、参数筛选、敏感性分析、不确定性传播以及在开展更详细的数值分析之前估计极限力和泥线力矩。它还可以作为数值模拟的独立解析基准。因此，我们认为所提出的理论对现有文献做出了独特而有用的贡献。

本文其余部分组织如下。在第2节中，我们简要描述有限深度水中的方向扩散不规则波浪场及其相应的力和泥线力矩场。在第3节中，我们呈现力和力矩向量的两个水平分量及其合力的统计描述。第4节中引入几种方向扩散函数，随后在第5节中考察理论的特殊极限情况。第6节中，统计预测与有限水深中不同波陡和方向扩散程度的全非线性模拟结果进行验证。第7节中提供一个确定给定风暴最大预期荷载的示例应用。最后在第8节中得出结论。

文章片段

方向扩散不规则波浪场的描述

考虑有限深度水中的不规则、方向扩散波浪场。为了描述它，采用笛卡尔坐标系，其中(??, ??)平面与静水位??=0重合，??轴向上。??轴取为与平均波浪方向对齐。泥线位于??=??处，其中?表示水深，假设为常数。

合力和泥线力矩的统计描述

除了各自的传递函数????(??)和????(??)外，可以看出深度积分力（14）和泥线力矩（17）向量场具有相似的结构。因此，在下文中，水平荷载分量将用(???, ???)一般地表示，合力为??=√(???2+???2)。对于力，??=??且(???, ???)=(??_??, ??_??)。对于泥线力矩，??=??且(???, ???)=(??_??, ??_??)，使得???和???分别始终代表顺流向和横流向响应。

方向扩散函数

本节中，我们对几种流行的方向扩散函数??(??)明确评估公式（25）中的积分，以获得??的方便闭式。如前所述，方向分布都以??轴为平均波浪方向为中心。

理论的特殊极限

本节中，我们阐明理论统计框架在若干特殊极限情况下如何简化。

统计理论的验证

本节中，我们将本理论的PDF与全非线性波浪模拟结果进行比较，包括由Morison模型计算的力和泥线力矩。阻力分量在理论公式和数值比较中均未包含。比较涵盖不同特征波陡和有限深度水中不同程度的方向扩散。全非线性波浪模型在第6.1节中描述，而初始条件……

确定最大预期荷载的示例应用

现在我们将提供一个实际例子，旨在展示理论在确定给定风暴最大预期荷载方面的实际应用。为此，考虑一个直径??=6米的单桩，位于水深?=20米恒定处，???=?（即单桩跨越整个水柱），承受对应于不规则方向扩散波浪场的设计风暴，其峰值周期????=10秒，谱有效波高??_??0=4米，具有方向……

结论

开发了一个随机理论框架，用于预测任意高度圆柱在有限水深、方向扩散、不规则海况中波浪引起的深度积分力和泥线力矩的统计特性。该框架将线性波浪理论与Morison力密度方程的惯性部分相结合。原则上，对于任何波浪谱和方向扩散函数的组合，只要它们是可分离的且方向……

作者贡献声明

Yanyan Zhai：撰写初稿，验证，形式分析。Mathias Klahn：撰写——审阅与编辑。Erik Damgaard Christensen：撰写——审阅与编辑。David R. Fuhrman：撰写——审阅与编辑，撰写初稿，指导。

利益冲突声明

作者声明他们没有任何已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本论文中报告的工作。

致谢

本研究得到了丹麦独立研究基金STORM项目的财务支持：有限水深中极端水波的统计与结构力（拨款编号：10.46540/2035-00064B）。非常感谢这一支持。

Yanyan Zhai | Mathias Klahn | Erik Damgaard Christensen | David R. Fuhrman
丹麦技术大学土木与机械工程系，Kgs.Lyngby, 2800, 丹麦