含扩散的高阶自催化模型的分岔分析与时空动力学

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Bifurcation analysis and spatiotemporal dynamics for a high-order autocatalysis model with diffusion

　　

**摘要**

尽管反应扩散系统中复杂时空模式的形成机制已被广泛研究，但自催化模型中余维数为2的分岔问题仍未得到充分研究。本研究针对具有Neumann边界条件的高阶自催化模型中余维数为2的分岔进行解析研究。首先通过线性稳定性分析建立了模型中图灵不稳定性和Hopf分岔发生的条件。我们进一步研究了图灵-图灵分岔和图灵-Hopf分岔的存在性。特别是，我们选取两个扩散系数作为分岔参数，并通过多时间标度分析方法推导振幅方程，从而进一步揭示了系统的丰富动力学多样性，包括非恒定稳态、混合模非恒定稳态、空间均匀周期解和空间非均匀周期解。这一进展不仅为理解系统的复杂动力学行为提供了更系统的基础，还准确捕捉了参数变化如何调控其解景观。最后，我们给出了一些数值模拟来支持并补充解析结果，确认了该框架的可靠性，并为高阶自催化系统提供了新的见解。

**引言**

当化学反应的某一种产物能作为同一反应的催化剂时，该反应被认为是自催化反应[1]。由于自催化物种引起的非线性反馈，自催化反应扩散系统可以表现出丰富的动力学行为，包括非恒定稳态、振荡和复杂时空模式。因此，从稳定性、分岔和模式形成的角度提出了各种自催化模型并进行了研究。代表性例子包括Sel'kov[2]、[3]、[4]，Brusselator[5]、[6]、[7]，Lengyel-Epstein[8]、[9]、[10]、[11]、[12]以及双分子自催化模型[13]、[14]、[15]。以往研究主要集中于非恒定正稳态的存在性[3]、[4]、[5]、[6]、[8]、[9]、[12]、[14]、[16]、[17]，Hopf分岔[7]、[10]、[11]、[15]、[18]，以及稳态分岔与Hopf分岔的相互作用[11]、[15]、[19]、[20]、[21]。这些研究大大推进了对自催化系统中模式形成机制的理解。

大多数现有自催化模型聚焦于特定的整数阶反应，如二次（U+V→2V，速率kuv）或三次（U+V→3V，速率kuv2）自催化[22]、[23]。然而，为了建立一个能够描述不同反应级自催化动力学的更通用框架，我们考虑以下一般化化学反应机理：M → U，速率k?m；U+pV→(p+1)V，速率kuv?；V→W，速率bv。其中u和v分别表示反应物U和自催化剂V的浓度。前驱物M被认为大大过量，因此其浓度保持为m?。考虑空间扩散后，封闭容器中的控制方程为：

（方程组）

作为一般化模型的一个特例，对应于方程(1)中p=2的三次自催化模型受到了相当大的关注。Finlayson和Merkin[24]使用线性稳定性分析和数值模拟研究了电场对空间模式形成的影响。[25]报道了稳定模式和驻波，而[26]采用Lyapunov-Schmidt方法和奇异性理论研究从双重特征值分岔出的空间非均匀稳态。除三次情形外，一般化自催化项uv?中p的物理含义应予澄清。此处，p ≥ 2表示相对于自催化物种v的反应级数，而非单个基元反应的分子数，因此不必为整数。尽管如果将uv?解释为单个基元步骤，较大的p在物理上不太可能，但宏观动力学模型中的反应级数通常是经验确定的有效参数。因此，此处将p ≥ 2视为对高阶自催化动力学的一种有效描述，表征了相对于自催化剂浓度更强的非线性依赖关系，并使得能够系统地研究其动力学效应。

通过无量纲化，系统可改写为以下形式，这是本文的主要研究对象：

（方程组）

从物理化学角度看，模型(2)描述了一个广义的扩散自催化过程，其中u代表反应物（或底物），v代表自催化物种。非线性项uv?表征了反应物通过有效的高阶自催化机制转化为自催化剂的过程，而无通量边界条件描述了不可渗透的空间域，即没有物质跨越边界的传输。特别值得关注的是非线性自催化动力学与两种物种不同扩散速率之间的相互作用，这可能会使空间均匀状态失稳并产生各种时空模式。此外，作为经典三次自催化模型的一般化，系统(2)提供了一个方便的框架，用于系统地研究非线性反应级数如何影响图灵和Hopf不稳定性，特别是它们在图灵-图灵和图灵-Hopf余维数为2的分岔点附近的相互作用。

尽管图灵不稳定性与稳态分岔在反应扩散系统中已被广泛研究[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]，但广义自催化系统中不同不稳定性机制之间的相互作用仍未得到充分理解。以往研究[35]、[36]通过标准形理论和中心流形约化研究了图灵-Hopf分岔，揭示了非恒定稳态和周期解。然而，尽管振幅方程为探索反应扩散系统和表征模式动力学提供了一种有效方法[21]，但针对广义扩散自催化模型(2)中余维数为2的分岔仍缺乏系统的振幅方程分析。特别是，高阶非线性项uv?对临界模式相互作用的影响仍不清楚。

基于这一空白，我们研究系统(2)的余维数为2的分岔结构，以揭示非线性自催化动力学与扩散如何共同决定模式动力学。本工作的主要创新在于在统一的广义自催化框架内同时分析了图灵-图灵和图灵-Hopf分岔。具体而言，我们分析了唯一正平衡点的稳定性，建立了图灵不稳定性和两类余维数为2的分岔发生的条件，并使用多时间标度方法[37]推导了相应的振幅方程。这些振幅方程使我们能够分类临界点附近的局部动力学。进一步进行数值模拟以验证理论结果并展示相应的时空模式。

本文其余部分安排如下。第2节讨论唯一正平衡点的稳定性，并建立图灵不稳定性、图灵-图灵分岔和图灵-Hopf分岔的条件。第3节使用多时间标度方法推导两个余维数为2的分岔点附近的振幅方程。第4节给出数值模拟以验证理论结果。最后，第5节总结主要结论。

**第2节 分岔的存在性**

我们提出以下基本假设：

(C1) a?? + a?? < 0，

(C2) a??a?? - a??a?? > 0。

在反应扩散系统中图灵不稳定性的研究[38]中，这类条件被广泛应用。条件C1要求Jacobian矩阵的迹为负，而条件C2要求行列式为正。这对约束条件确保了在没有扩散时系统的局部渐近稳定性。

对于反应扩散系统(2)，它拥有一个唯一的...

**第3节 振幅方程**

如前文分析所建立的那样，系统(2)在点T* = (d?*, d?*)处发生图灵-图灵分岔，涉及波数k = k?, k?；同时在点H* = (d?*, d?*)处发生图灵-Hopf分岔，临界波数为k = k_c。下文将分别使用多时间标度方法推导其振幅方程。

**第4节 数值模拟**

在本节中，我们对图灵不稳定性、图灵-图灵分岔和图灵-Hopf分岔进行数值模拟，以验证前几节提出的理论预测。

**第5节 结论**

本文旨在探索Neumann边界条件约束下的高阶自催化系统。在此背景下，我们建立了余维数为1的分岔（图灵分岔和Hopf分岔）和余维数为2的分岔（图灵-图灵分岔和图灵-Hopf分岔）发生的条件。与[35]中引用的传统中心流形和标准形理论不同，我们的方法采用弱非线性分析来考察...

**作者贡献**

Gaihui Guo：写作—审阅与编辑，方法论。Huifeng Shen：写作—原稿撰写，验证。Fujie Jia：监督，资源。Conghui Zhang：监督，软件。所有作者均审阅了手稿。

**利益冲突声明**

作者声明该工作是我们的原创研究，此前从未全部或部分发表。提交本文不存在利益冲突，我们也没有需要披露的相关财务或非财务利益。

**CRediT作者贡献声明**

Gaihui Guo：写作—审阅与编辑，方法论。Huifeng Shen：写作—原稿撰写，验证。Fujie Jia：监督，资源。Conghui Zhang：监督，软件。

**竞争性利益声明**

作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

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