在Levy噪声扰动下，对具有时变延迟的F-Caputo分数随机微分方程的平均结果进行研究

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：An averaging result on F-Caputo fractional stochastic differential equations with time-varying delays under Levy noise perturbations

　　摘要
本研究探讨了一类受到可变延迟和Lévy噪声影响的Φ-Caputo分数随机微分方程。解的存在性和唯一性直接源于Banach不动点定理，而标准方程与平均方程之间的Lp收敛性是通过使用H?lder不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Kunita不等式来证明的。此外，还提供了数值模拟来验证平均化结果。

引言
分数微积分经历了三个多世纪的发展，从一个数学奇观发展成为用于建模具有记忆和遗传特性的复杂系统的必备工具。除了经典的Riemann-Liouville和Caputo定义外，为了适应不同的情况，不断有新的定义被提出，包括Hadamard [2]、Erdélyi-Kober [3]、Atangana-Baleanu [4]等。为了统一分数算子并克服传统幂律核在记忆建模中的限制，研究人员转向使用一般函数作为积分核。基于Samko等人 [5] 和Dzhrbashyan [6] 的工作，他们通过广义单调函数构建了分数积分算子，Almeida [7] 引入了Φ-Caputo分数导数。通过插入一个重塑核的尺度函数Φ(t)，Φ-Caputo导数为描述复杂系统中的非线性增长、异质衰减和状态依赖记忆提供了一个灵活的工具。当Φ2(t) = t 或 Φ2(t) = ln(t) 时，该定义分别简化为经典的Caputo导数和Caputo-Hadamard导数。因此，这一广义框架能够捕捉随时间或系统状态变化的记忆衰减，比传统算子提供了更大的灵活性。

随机性在现实世界系统中无处不在，这揭示了基于常微分方程的确定性模型的局限性。在Wiener建立了布朗运动的数学理论之后，It?发展了随机微分方程（SDEs）的理论 [9]，并应用于金融衍生品定价 [10] 和随机控制 [11]。然而，尽管由布朗运动驱动的SDEs可以捕捉连续的随机波动，但它们无法解释股票价格在任意短时间间隔内的突然跳升等现象。这需要一个更一般的驱动噪声类。Lévy驱动的SDEs为容纳这种不连续性提供了自然的扩展。

Lévy过程 (????)??≥0 是一类具有独立且平稳增量的随机过程，其特点是由特征指数ψ(r)（满足 χ?exp?(?????·????) = e^(-t??(??)) 唯一确定的 [12]。关于这个特征指数的结构，Lévy-Khintchine公式表明它可以分解为一个三元组 (??,??,?)，其中 ?? 是漂移向量，?? 是扩散协方差矩阵，? 是一个Lévy测度 [13]。这种分解完成了Lévy过程在分布层面的分类和解释。在路径层面上，Lévy-It?分解定理进一步指出，任何Lévy过程都可以分解为四个独立的部分：一个确定性漂移、一个布朗运动、一个补偿的小跳跃过程和一个复合泊松过程 [14]。这两个结果是Lévy过程理论的核心，并在金融建模、统计物理学和风险理论 [15], [16] 中得到了广泛应用。

分数微积分通过核函数对过去的状态进行加权，从而捕捉长期记忆。相比之下，当当前状态依赖于特定过去的时刻时就会出现延迟。这种延迟源自信号传输和反馈控制等机制，仅用分数记忆无法描述，需要明确地纳入系统模型中。当与分数微积分和随机扰动结合时，得到的分数随机延迟微分方程（FSDDEs）能够更真实地描述存在记忆、噪声和传输延迟的系统。这些方程已在稳定性分析 [17], [18] 和数值算法 [19] 中得到了广泛研究。

系统模型变得越来越复杂，涉及多尺度相互作用、非线性和随机性。平均化原理为简化这类系统提供了一个强大的工具 [20]。它通过平均变化快的组件来获得一个关于慢变量的简化方程，从而在保持核心动态的同时提高了分析的可处理性和计算效率。近年来，SDEs的平均化原理引起了相当大的关注，特别是在分数随机动力学 [21], [22], [23], [24]、时延系统 [25], [26], [27] 和非高斯噪声环境 [28], [29], [30] 的背景下。谈到分数导数的类型，自从Xu等人 [21] 成功地将经典的Khasminskii平均方法从整数阶扩展到Caputo分数阶系统以来，它被进一步推广到涉及更复杂和抽象的分数导数定义的随机系统，如Hilfer [22]、Caputo-Hadamard [23] 和Caputo-Katugampola [24]。尽管这些分数导数已经具备一定的记忆效应，但它们无法替代反映特定历史时期的时延项的引入。Luo等人 [25] 对具有固定延迟的It?-Doob型FSDEs直接分析了延迟效应，通过构造一个统一的最大值函数并结合积分不等式工具，获得了原始系统和平均系统之间的均方收敛。在此基础上，考虑到许多物理和金融系统中的延迟经常表现出动态波动或随机变化，平均化原理的研究逐渐从固定延迟系统转向更一般的时间变化延迟 [26] 和随机延迟 [27] 框架。同时，随机驱动的选择也从标准布朗运动（SBM）转向具有长记忆的分数布朗运动（FBM）。Pei和Xu等人 [31] 超出了传统的单一噪声设置，揭示了由FBM和SBM共同驱动的SDEs的平均化原理。Shen等人 [32] 将这一原理扩展到依赖于分布的SDEs，并在较弱的平均条件下证明了均方收敛。Wang等人 [33] 也特别考虑了FBM下的集值扩散项，将平均化原理扩展到集值随机系统。此外，许多学者通过不断放宽对系数的要求来扩大平均化原理的应用范围。Xu等人 [34] 研究了在非Lipschitz系数下的快慢系统的强平均化原理，Guo等人 [35] 假设非线性项仅具有局部Lipschitz和单调条件，然后Liu等人 [36] 最终实现了从有限维度到无限维度以及从非Lipschitz到局部单调系数的全面升级。此外，Ben Makhlouf等人 [37], [38] 的工作也具有重要意义。他们利用Picard迭代和相关不等式技术推导了在非Lipschitz条件下Hadamard FSDEs解的存在性、唯一性和平均化原理，为类似分数随机系统的定性分析提供了可重用的技术路径。

Lévy噪声在建模突然干扰方面具有显著优势，因此为受此类噪声驱动的SDEs制定平均化原理至关重要。Xu和Duan等人 [28] 是首次系统地为受非高斯Lévy噪声驱动的随机系统制定了平均化原理的理论基础。Shen等人 [39] 进一步在上述模型中加入了中性项、分数算子和可变延迟等多个因素，展示了处理复杂系统的有效方法。在这个通用理论框架内，受Lévy过程特例（如布朗运动、复合泊松过程和α-稳定过程）驱动的系统的平均化原理也得到了很好的发展。Ahmed等人 [40] 探究了由布朗运动和泊松跳跃共同驱动的时延Hilfer型FSDEs，而Zou和Luo [41] 讨论了涉及布朗运动和中性项的Caputo型FSDEs，并提出了Lp收敛意义上的平均化原理。Sun和Xie等人 [29] 关注了由α-稳定过程驱动的多尺度SDEs。当面临解决方案缺乏第二矩的问题使得传统的Khasminskii方法无效时，文献 [30] 创造性地改进和深入了泊松方程技术，为分析非高斯、无限维情况提供了新方法。与上述关注平均化原理的研究相比，Rhaima等人 [42] 通过延迟反馈控制器实现了由Lévy噪声驱动的高度非线性中性延迟系统的渐进稳定，对Lévy跳跃施加了特别严格的矩条件。

Φ-Caputo分数导数和Lévy噪声的联合建模具有高度的灵活性。一方面，这类模型概括并统一了单一的幂律记忆形式；另一方面，它们可以克服高斯噪声在模拟突然跳跃方面的局限性。受Yuan和Zhu [43] 的Lp框架的启发，该框架对大偏差行为提供了更精确的控制，我们考虑了一个由Lévy噪声和可变延迟驱动的Φ-Caputo分数随机微分方程，并关注其Lp意义上的平均化原理?{ { { {?{ { { {????·Φ??0?(??) = ??(??,?(??),?(?????(??)) + ??(??,?(??),?(?????(??)))????(??)???, ??∈[???,??],?(??) = ??(??), ??∈[??????,???]}，其中左侧的δ阶Caputo分数导数???·Φ是相对于一个严格递增的、正值且一阶导数连续的尺度函数Φ定义的。Lévy运动由???(??)表示，初始时间t?限制为t? ≥ 0。

为了解决上述问题，本文的主要贡献有三方面：
• 使用可调核进行建模，概括了僵化的记忆假设 [22], [41]，并允许研究人员通过优化Φ直接设计算子的记忆结构。
• 将Lévy噪声与Φ-Caputo分数导数结合，可以同时调整内在记忆效应和外部随机性。引入时变延迟进一步丰富了模型，通过结合动态相互作用，从而比现有研究 [25], [44] 提供了更大的通用性和灵活性。
• 为了将矩分析扩展到标准第二矩框架 [39] 之外，我们使用了Kunita不等式处理补偿泊松积分，并在数值模拟中使用了截断的α-稳定Lévy测度，与潜在的矩假设保持一致。

总体而言，本文在Φ-Caputo分数导数、时变延迟和补偿泊松小跳跃的结合下建立了Lp意义上的随机平均化原理。该框架涵盖了并扩展了多个现有模型 [21], [22], [23], [25], [28], [34], [35], [37], [38], [39], [40], [41], [44]，为具有非均匀记忆、时变延迟和跳跃影响的复杂系统提供了一种统一的方法。就分数导数而言，与Hilfer算子 [22] 不同，其记忆核固定在幂律形式中，而Φ-Caputo导数通过单调函数Φ拉伸时间轴，从而统一了各种分数模型，如Caputo [21], Hadamard [37], [38] 和Caputo-Katugampola [24]。关于延迟结构，与现有文献 [25], [41] 中通常采用的固定延迟假设不同，本文考虑了有界时变延迟来表征网络拥塞、生物节律和流速变化等实际现象中的时变延迟特征。固定延迟自然作为一个特例包含在内。关于噪声类型，仅包含布朗运动的模型 [23], [34] 无法捕捉样本路径的不连续性，不适合描述金融价格缺口和工程故障等离散冲击事件。本文引入了具有鞅属性和有限矩的补偿泊松小跳跃噪声，当跳跃测度消失时，它可以简化为纯扩散模型。至于Lp收敛框架，它不仅涵盖了广泛使用的均方收敛 [39], [40]，还灵活地适应了补偿泊松小跳跃的有限矩属性，从而能够更精确地描述极端事件概率。特别是，本文揭示了分数阶δ与矩阶p之间的耦合关系，这在均方收敛框架下是无法体现的。在系数假设方面，本文采用了经典Lipschitz和线性增长条件，而不是非Lipschitz框架中的凹函数控制 [44]。由于凹函数通常允许线性上限，且有界条件结合Jensen不等式可以产生线性增长，这种设置在保留通用性的同时显著简化了理论分析。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了必要的定义和辅助引理。第3节确立了所研究主题的适定性。第4节和第5节陈述并证明了主要结果。

初步知识
在进入主要结果之前，我们回顾了一些关于Φ-Caputo分数微积分和Lévy过程的必要定义和引理。
定义2.1 [2] 假设Φ∈?1(??)在U上严格递增且为正，并设?(t) ≡ Φ′(t) > 0。函数?关于Φ的左分数积分定义为???;Φ?+?(??) = 1/Γ?∫????(??)(Φ(??)?Φ(??))??1?(??)????，其中δ > 0且??=(?,j)，-∞≤? 0，且?,Φ∈???(??)，?(t) ≡ Φ′(t) > 0在U上。相对于解的存在性和唯一性，?的左Caputo分数阶导数假设(Ω,?,??)是一个完备的概率空间，配备了一个满足常用条件的过滤序列{???}??0≤??≤??，而{??(??):??∈[??0???,??]}是一个适应于???的???值随机过程。定义3.1让?:=??([??0???,??];???)表示在[??0???,??]上连续的???值函数的Banach空间，配备了上确界范数‖?·?‖∞。对于每个ω?∈?Ω，样本路径??(·,??)属于?。所有?值随机变量?(t, ?·?)的集合构成了一个Banach空间?????(Ω;?)，其范数为∥??(·,·)∥????:=(???(sup??0???≤??≤???∥??(??,??)∥??))1??。平均原理采用Khasminskii [20]中的标准缩放程序，并注意到像布朗运动一样，补偿泊松过程的方差随时间线性增加，我们给出以下定义。定义4.1在对等积分方程(3.2)进行时间尺度变换(t?→?t?)后，标准方程变为????(??)=????(??0)+??Γ?(??)?∫????0???(??)?(Φ?(??)?Φ?(??))???1????(??,????(??),????(??????(??)))????+√??Γ?(??)?∫????0???(??)?(Φ?(??)?Φ?(??))???1????(??,????(??),????(??????(??)))???????(??)+√??Γ?(??)?∫????0∫|??|0??????是一个正的截断α-稳定Lévy测度，0??0。让延迟函数为???(??)=1????(?????0)，其中msub结论本文研究了在双重扰动下Φ-Caputo分数阶随机微分方程的平均原理：时变延迟和Lévy噪声。我们的方法首先利用Lévy-It?分解定理和交织技术将原始方程转换为更易处理的形式。在这个简化的结构中，在一系列假设和关键不等式的支持下，Banach不动点定理确保了唯一解的存在性。随后，通过结合CRediT作者贡献声明Xue Yang：写作 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，形式分析。Danfeng Luo：写作 – 审稿与编辑，监督，资金获取，形式分析。利益冲突声明作者声明他们没有已知的可能影响本文工作报告的财务利益或个人关系。Xue Yang|Danfeng Luo贵州大学数学系，贵州贵阳，550025，中国