弱非线性克莱因-戈登方程长时间动力学的对称指数波积分器

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A symmetric exponential wave integrator for the long-time dynamics of weakly nonlinear Klein–Gordon equation

　　

**摘要**

我们提出了一种针对弱非线性 Klein–Gordon 方程在长时间尺度 $O(\varepsilon^{-2})$ 上的对称中点规则指数波积分器（sMEWI）。该格式由中心两侧 Duhamel 公式结合积分中点近似导出，从而得到一个显式的、对称的二阶精度格式。在精确解的长时间正则性假设下，我们采用正则补偿振荡（RCO）技术建立了改进的均匀误差界 $O(\varepsilon^2 \tau^2)$。该界在长时间尺度 $T_\varepsilon = T/\varepsilon^2$（其中 $T$ 为固定常数）上成立。此外，对于全离散 Fourier 伪谱实现，我们证明了误差估计 $O(h^m + \varepsilon^2 \tau^2)$。我们进行了广泛的数值实验以验证理论误差界并展示所提 sMEWI 的优势。与 Strang 分裂方法、Gautschi 型指数波积分器 Fourier 伪谱（EWI-FP）方法以及对称指数波积分器（sEWI）的比较研究表明，sMEWI 展现出更强的长时间稳定性和近离散能量守恒。

**引言**

考虑周期边界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（$d = 1, 2, 3$）上的弱非线性 Klein–Gordon 方程（NKGE）[1, 2, 3, 4, 5, 6]：

$$\partial_{tt} u(x, t) - \Delta u(x, t) + u(x, t) + \varepsilon^2 u^3(x, t) = 0, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$$

初始条件为

$$u(x, 0) = u_0(x), \quad \partial_t u(x, 0) = u_1(x), \quad x \in \Omega,$$

其中 $\varepsilon \in (0, 1]$ 表征三次非线性的强度。当 $0 < \varepsilon \ll 1$ 时，方程 (1.1) 中 $O(\varepsilon^2)$ 的非线性项可通过引入 $w(x, t) = \varepsilon u(x, t)$ 转化为具有 $O(\varepsilon)$ 初始数据的等价方程：

$$\begin{cases} \partial_{tt} w(x, t) - \Delta w(x, t) + w(x, t) + w^3(x, t) = 0, \\ w(x, 0) = \varepsilon u_0(x), \quad \partial_t w(x, 0) = \varepsilon u_1(x). \end{cases}$$

NKGE (1.1) 具有某些重要的数学性质，例如能量

$$E(t) := \int_\Omega \left[ |\partial_t u(x, t)|^2 + |\nabla u(x, t)|^2 + |u(x, t)|^2 + \frac{\varepsilon^2}{2} |u(x, t)|^4 \right] dx = \int_\Omega \left[ |u_1(x)|^2 + |\nabla u_0(x)|^2 + |u_0(x)|^2 + \frac{\varepsilon^2}{2} |u_0(x)|^4 \right] dx = E(0), \quad t \geq 0.$$

此外，NKGE (1.1) 在时间上是对称的，即通过变换 $u(t, x) \to u(-t, x)$，方程 (1.1) 保持不变。

NKGE 作为一种相对论波动方程，在量子力学中具有突出的地位，用于描述自旋为零的粒子 [7]。特别是，具有三次非线性的 NKGE 可作为聚合物、相对论 Bose 气体以及固体中有序-无序转变的模型 [8, 9]。

Lindblad [3]、Hayashi 和 Naumkin [4]、Klainerman [5]、Sunagawa [6] 中的分析研究表明，光滑小振幅解至少持续到 $O(\varepsilon^{-2})$ 阶的时间。因此，相关的数值任务不仅仅是近似短时振荡，而是要准确地捕捉弱非线性效应在长时间区间

$$0 \leq t \leq T_\varepsilon := T/\varepsilon^2, \quad T > 0 \text{ 固定}$$

上的累积影响。

目前已有大量关于 NKGE 数值方法的文献。在非相对论区域，统一精度的多尺度积分器和指数型积分器已在 Bao 等人 [10]、Faou 和 Schratz [11]、Baumstark 等人 [12]、Cai 和 Zhou [13]、Calvo 和 Schratz [14] 中发展，数值策略的详细比较见 Bao 和 Zhao [15]。对于与 NKGE (1.1) 相关的弱非线性长时间动力学，Bao 等人 [16] 为有限差分时间域方法建立了依赖于 $\varepsilon$ 的长时间误差界和网格策略，Feng [17] 对四阶紧致有限差分进行了类似分析。在分裂方面，Bao 等人 [18] 为时间分裂 Fourier 谱方法证明了统一的长时间误差界，而 Bao 等人 [1] 引入了 RCO 技术并将 Strang 分裂方法的长时间时间估计提高到改进的阶 $O(\varepsilon^2 \tau^2)$。在指数波积分器（EWI）方面，Feng 和 Yi [19] 为 Gautschi 型 EWI Fourier 伪谱方法建立了统一的长时间误差界，Deng 和 Li [20] 提出了能量守恒的 EWI Fourier 伪谱离散化。除了有限差分、时间分裂和 EWI 方法外，结构保持离散化也已被研究用于 Klein–Gordon 型方程。最近关于非线性色散波系统的相关研究包括 Klein–Gordon–Dirac 系统的能量守恒 Fourier 伪谱格式及其误差估计 [21]，以及 Klein–Gordon–Zakharov 系统的高阶辅助变量格式 [22]。对于无界域上的耦合非线性 Klein–Gordon 方程，Zhang 等人 [23] 进一步发展了同时保持能量和质量守恒的 ESAV/Lagrange 乘子 Hermite 谱格式。Wang 和 Wu [24] 基于离散梯度方法和 Duhamel 原理发展了高维 NKGE 的能量守恒格式，并进行了局部误差、全局收敛性和非线性稳定性分析。相关 Hamilton 色散方程的长时间结构保持也已被研究；例如，Gauckler [25] 建立了应用于三次非线性 Schr?dinger 方程的分步 Fourier 方法中能量的长时间近守恒。同时，指数和中点型思想在高度振荡的色散问题中继续发挥重要作用，如 Jahnke 和 Mikl [26] 的绝热指数中点规则以及非线性色散波动方程的低正则性指数型积分器 [27]。这些工作突出了对称性、振荡积分公式和长时间结构保持在色散波动方程数值处理中的重要性。更广泛地，半线性波动方程中振荡波积分器的长时间行为已在 Hairer 和 Lubich [28]、Gauckler [29] 中研究，与对称或改进统一精度积分器相关的最新发展见 Wang 和 Zhao [30]、Jia 和 Jiang [31]、Li 和 Chen [32]、Li 等人 [33]。

尽管取得了这些进展，仍存在一个重要空白。Strang 分裂已通过 RCO 分析达到了改进的长时间均匀误差界，但它属于分裂族而非 EWI 族。经典 Gautschi 型 EWI 非常自然地保持了振荡线性结构，但已有的长时间界未能恢复相同的改进 $\varepsilon$-均匀精度。这使得构建一个真正对称的 EWI 以能够保持锐利的长时间界 $O(\varepsilon^2 \tau^2)$ 变得极为迫切。

本文高度受 Bao 和 Wang [34] 最近引入的显式对称指数波积分器（sEWI）框架的启发。然而，将该框架直接应用于弱 NKGE 无法在长时间区间上得到改进的均匀误差界。为了克服这一关键限制，本文的核心策略是重新审视中心两侧 Duhamel 表示，并通过积分中点规则近似振荡非线性积分。这一修正产生了一种新的对称中点规则 EWI（sMEWI）。关键在于，所得局部截断误差具有正则补偿振荡（RCO）分析所需的精确代数结构，从而使我们能够建立到长时间尺度 $O(\varepsilon^{-2})$ 的改进均匀误差界 $O(\varepsilon^2 \tau^2)$。因此，所提 sMEWI 格式在对称启动后保持完全显式，完美继承了连续问题的内在时间可逆对称性，并展现出优越的长时间稳定性以及近离散能量守恒。

本文的核心贡献如下：

- **克服现有对称积分器在长时间区域中的理论瓶颈。** 我们成功解决了最近提出的 sEWI [34] 无法捕捉弱 NKGE 在长时间区间上改进均匀误差界的关键限制。通过创造性地将中心两侧 Duhamel 公式与中点近似相结合，所提 sMEWI 格式将局部截断误差塑造为完美匹配正则补偿振荡（RCO）分析的结构。这使我们能够严格建立到长时间尺度 $O(\varepsilon^{-2})$ 的改进均匀误差界 $O(\varepsilon^2 \tau^2)$。

- **在高度振荡区域中的优越长时间 $\varepsilon$-均匀性和计算优势。** 与广泛使用的方法（如 Strang 分裂 [1]、Gautschi 型 EWI Fourier 伪谱（EWI-FP）方法 [19] 和 sEWI [34]）相比，sMEWI 展现了明显的优越性。当 $\varepsilon \to 0$ 时，传统方法遭受严重的精度退化或误差放大，而我们的方法在延长时间段内保持了非常有利的 $\varepsilon$-均匀误差界。广泛的数值结果清楚地展示了 sMEWI 在弱非线性区域中的不可否认优势，特别是在长时间模拟中。

- **显式实现和近离散能量守恒。** sMEWI 是显式和时间对称的，因此不需要隐式非线性求解器。此外，其离散能量漂移在长时间区间内保持均匀小，如第 4 节中能量误差估计所量化。

本文其余部分组织如下。第 2 节致力于 sMEWI 时间半离散格式的表述及其改进长时间均匀误差界的严格证明。在第 3 节中，我们给出空间上的 Fourier 伪谱离散化并建立相应的全离散误差估计。第 4 节报告数值实验，包括长时间收敛测试、与现有方法的比较以及具有物理动机的问题。最后，第 5 节总结主要结论并讨论可能的未来发展方向。全文中，$A \lesssim B$ 表示 $A \leq CB$，其中 $C > 0$ 为与 $\varepsilon$、时间步长 $\tau$、网格尺寸 $h$ 和频率截断参数 $\tau_0$ 无关的常数。

**sMEWI 半离散化及其长时间误差界**

为符号简便，我们呈现一维（1D）NKGE (1.1) 的严格误差分析。Fourier 伪谱实现可通过张量积网格扩展到矩形多维区域；然而，相应的理论证明需要高维 Sobolev 代数估计和多指标 RCO 分析。我们考虑以下 1D NKGE：

$$\begin{cases} \partial_{tt} u(x, t) - \partial_{xx} u(x, t) + u(x, t) + \varepsilon^2 u^3(x, t) = 0, \quad x \in \Omega = (a, b), \quad t > 0, \\ u(x, 0) = u_0(x), \quad \partial_t u(x, 0) = u_1(x), \quad x \in \overline{\Omega} = [a, b]. \end{cases}$$

**全离散 sMEWI-FP 格式**

设 $N$ 为偶数，令 $h = (b - a)/N$，定义网格点 $x_j = a + jh$，$j = 0, \ldots, N-1$。对于网格向量 $z = (z_0, \ldots, z_{N-1})^T$，其离散 Fourier 系数为

$$\tilde{z}_l = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} z_j e^{-i \mu_l (x_j - a)}, \quad l \in \mathcal{T}_N.$$

离散 Fourier 乘子定义为

$$(\langle \nabla \rangle_N z)_j = \sum_{l \in \mathcal{T}_N} \delta_l \tilde{z}_l e^{i \mu_l (x_j - a)},$$
$$(\langle \nabla \rangle_N^{-1} z)_j = \sum_{l \in \mathcal{T}_N} \delta_l^{-1} \tilde{z}_l e^{i \mu_l (x_j - a)},$$
$$(e^{i \sigma \langle \nabla \rangle_N} z)_j = \sum_{l \in \mathcal{T}_N} e^{i \sigma \delta_l} \tilde{z}_l e^{i \mu_l (x_j - a)}, \quad j = 0, \ldots, N-1, \quad \sigma \in \mathbb{R}.$$

对于非线性项，设

$$(G_N(z))_j = \frac{1}{8}(z_j + \overline{z}_j)^3, \quad F_N(z) = i \langle \nabla \rangle_N^{-1} G_N(z).$$

则 sMEWI 的全离散 Fourier 伪谱实现为

$$\begin{cases} \psi_{0,j} = u_0(x_j) - i \ldots \end{cases}$$

**数值实验**

我们通过

$$e_{H^1}(t_n) = \|u(\cdot, t_n) - I_N u^n\|_{H^1}, \quad t_n = n\tau$$

来度量长时间误差。相对离散能量误差定义为

$$\delta_E(t_n) = \frac{|E_{h,n} - E_{h,0}|}{E_{h,0}}.$$

**结论**

我们提出了一种针对具有弱三次非线性 NKGE 的 sMEWI 方法，并在长时间尺度 $[0, T/\varepsilon^2]$ 上进行了分析。该格式在对称启动后是显式的，保持了时间可逆性，并且与 Fourier 伪谱离散化自然兼容。其核心分析特征在于中点求积引起的局部误差可分解为中心振荡项和高阶余项，这使得 RCO 分析尤为适用。

**CRediT 作者贡献声明**

Jingchen Han：撰写—初稿、软件、方法论、调查、数据整理。
Junqing Jia：撰写—审阅与编辑、可视化、调查。
Xiaoyun Jiang：可视化、方法论、概念化。
Hui Zhang：监督、资源、获取资金、概念化。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**作者单位**

Jingchen Han | Junqing Jia | Xiaoyun Jiang | Hui Zhang

山东大学数学学院，中国济南，250100