面向连续与跳跃激励联合作用下随机动力响应预测的深度神经网络—蒙特卡罗框架

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Deep Neural Network-Monte Carlo Framework for Stochastic Dynamic Response Prediction Under Combined Continuous and Jump Excitations

　　

高斯白噪声和泊松白噪声被广泛用于建模连续随机激励和跳跃随机激励，两者联合作用的综合效应相比单一噪声类型能更真实地模拟实际系统环境。在此类联合噪声激励下，系统的随机响应通常通过求解相应的前向Kolmogorov方程获得。然而，泊松白噪声的引入将相应方程转化为积分-微分形式或涉及无穷阶导数的形式，显著增加了求解的复杂度。目前大多数基于深度神经网络（DNN）的研究主要集中于求解无穷阶导数形式，通常需要截断近似，可能导致精度损失和数值不稳定。此外，随着维数的增加，无论是传统方法还是现有DNN方法，在执行归一化约束和计算非局部积分项时都面临日益增长的计算成本。依赖网格划分的传统方法尤其受到维度灾难的影响。为此，本文聚焦于提高Kolmogorov方程中非局部积分项计算的灵活性。具体而言，本文从前向Kolmogorov方程的积分-微分形式出发，采用物理信息神经网络（PINNs）计算整数阶导数项，并利用蒙特卡洛（MC）方法计算积分项，从而提出了MC-PINNs框架。此外，该方法灵活地结合硬约束、L-BFGS微调或自适应采样方法求解多种示例，包括磁悬浮交通系统，以及工程仿真中常用的基准模型，如多维Ornstein-Uhlenbeck过程和两自由度耦合Duffing振子。结果表明，MC-PINNs不仅在求解瞬态和稳态数值算例及工程案例时表现出良好的鲁棒性，而且无需重新推导控制方程即可灵活处理不同的跳跃幅度。

工程结构通常承受多种随机激励。例如，风速波动和温度变化等连续随机干扰可以描述为高斯白噪声，而由跳跃或突发驱动的现象通常用泊松白噪声或Lévy噪声建模。鉴于连续和跳跃随机激励在实际工程系统中的普遍共存，系统研究在联合激励下的动力响应有利于刻画非高斯性、强非线性和强耦合特征。

其中，高斯白噪声与泊松白噪声的组合为描述工程系统中的随机激励提供了代表性框架，该框架能够捕捉广泛而复杂的动态行为，但也显著增加了求解此类系统的难度。联合激励对动力系统瞬时和累积效应可通过求解相应的前向Kolmogorov方程获得，该方程描述了随机微分方程（SDE）解的概率密度函数（PDF）随时间的演化过程。需要指出的是，泊松白噪声的引入将此类方程转化为积分-微分形式或涉及无穷阶导数的方程，显著增加了求解的复杂度。由于精确解通常难以获得，研究者主要依赖传统方法，如随机平均法、指数-多项式闭合法、路径积分法、谱有限差分法、广义胞映射法等。尽管这些方法在求解联合高斯和泊松噪声激励下的问题中得到了广泛应用，但传统方法仍面临若干局限性，包括复杂的网格划分、高昂的计算成本、难以适用于超过三维的问题，以及难以有效处理控制方程部分未知的情形。需要指出的是，现有的降维方法，如状态空间分割法和概率密度演化法，已成功应用于某些高维随机动力系统。然而，不进行降维或网格离散化而直接求解多维系统响应仍然具有挑战性，这促使了更新或替代方法的发展。

在此背景下，得益于高性能计算的进步和复杂数值计算方面的显著成果，深度神经网络已被证明是一种高效且灵活的方法，在求解前向Kolmogorov方程方面展现了巨大潜力和广泛应用前景。Xu提出了带惩罚因子的DL-FP算法来求解稳态前向Kolmogorov方程，Zhang通过整合深度KD-tree方法进一步优化了其在有限数据下的性能。Tang引入了一种基于流的生成模型KRnet来高效求解稳态前向Kolmogorov方程，随后Zeng和Feng将其扩展到分数阶和时间相关情形。Wang和Jiang提出了径向基函数神经网络（RBFNN）的迭代高斯神经元选择策略来求解前向Kolmogorov方程，后续工作将RBFNN应用于预测Bouc-Wen滞回系统和振动-冲击系统的随机响应。Jia考虑了物理信息神经网络方法来求解稳态前向Kolmogorov方程和参数识别问题。上述研究主要关注连续随机激励，而实际应用通常涉及跳跃或不连续现象。因此，在基于DNN的非高斯激励方法方面也取得了重要进展。Zhang采用DL-FP算法求解α-稳定Lévy噪声下的分数阶前向Kolmogorov方程。Yang使用RBFNN分析多阱势能的能量采集系统在泊松白噪声激励下的瞬态响应。然而，现有基于DNN求解前向Kolmogorov方程的方法仍面临若干局限性。大多数现有研究集中关注连续或跳跃随机激励中的某一种，而同时涉及两者的情形仍尚不完善。此外，在泊松白噪声作用下，上述研究主要依赖涉及无穷阶导数的形式，不可避免地引入了代价高昂且实际不可行的截断近似，可能降低精度并引入数值不稳定。此外，跳跃幅度通常被假设为服从正态分布，限制了其捕捉多样化幅度特征的能力。

鉴于PINNs在求解随机动力系统方面的日益成功，我们最新的研究提出了一种结合PINNs与Gauss-Legendre（GL）求积的混合方法，称为GL-PINNs，并引入基于残差的自适应分布采样方法或自适应任务分解与渐进学习策略以提高算法性能。该方法针对低维系统的瞬态响应，从联合高斯和泊松白噪声激励下前向Kolmogorov方程的积分-微分形式出发，不涉及无穷阶导数的截断近似。然而，其数值实现仍存在某些局限性。当使用GL求积处理多维状态空间上的归一化积分或残差评估时，确定性求积节点数可能随状态维数急剧增加，导致更高的计算成本。此外，GL-PINNs中非局部跳跃积分的处理依赖于预设的幅度分布，因为不同分布通常需要相应的截断区间、求积设置和公式重新推导，这降低了GL-PINNs在不同泊松跳跃幅度设置下的灵活性。

受MC-fPINNs和MC-tfPINNs框架的启发，本研究开发了一种蒙特卡洛PINNs（MC-PINNs）方法，用于求解积分-微分方程（IDE）形式的前向Kolmogorov方程，以预测多维系统的动力响应。引入MC积分的主要目的是用MC采样替代用于非局部积分项的GL求积，从而使该项可以使用随机采样点进行计算，而非快速增长的确定性GL求积节点数。具体而言，MC-PINNs采用PINNs架构来逼近微分项，同时采用MC积分策略来计算积分项。此外，将硬约束机制、基于L-BFGS优化器的微调或自适应采样方法整合到MC-PINNs算法中，有效地提高了求解的精度和稳定性。在数值算例中，采用MC模拟作为参考解来评估MC-PINNs在预测多维动力系统瞬态和稳态响应方面的性能。实验结果验证了所提方法不仅在磁悬浮交通系统等实际工程案例中有效，也在工程仿真中常用的基准算例中表现出色，包括多维Ornstein-Uhlenbeck过程和两自由度Duffing振子。结果表明，MC-PINNs框架具有鲁棒性和稳定性，能够准确捕捉联合激励下动力系统的瞬态和稳态响应，并显著扩展了先前GL-PINN研究所考虑的维数和幅度多样性。特别是，当跳跃幅度服从不同概率分布时，MC-PINNs消除了重新推导解析公式的需要，显著简化了代码实现。

本文的主要贡献总结如下：

1. 开发了一种MC-PINNs框架，用于求解联合高斯和泊松白噪声激励下前向Kolmogorov方程的积分-微分形式，避免了无穷阶导数的截断近似。
2. 引入MC积分来评估非局部跳跃积分，用随机采样的跳跃幅度替代GL求积，提高了对不同跳跃幅度分布的灵活性。
3. 所提框架在瞬态和稳态随机响应问题上进行了验证，包括磁悬浮交通系统和多维基准系统，并在需要时整合了硬约束、L-BFGS微调和自适应采样。

本文的组织结构如下。第2节展示了联合高斯和泊松白噪声作用下的多维动力系统。第3节介绍了MC积分方法用于评估积分项，并提出了MC-PINNs算法。第4节通过三类示例演示了MC-PINNs在不同设置下求解前向Kolmogorov方程的有效性。最后，第5节对全文进行了总结。

**联合激励下的随机动力学模型**

本节介绍了由高斯和泊松白噪声联合驱动的基础随机动力系统。值得注意的是，相应的前向Kolmogorov方程以积分-微分形式而非近似的无穷阶导数展开式给出。通过直接处理积分项，我们的方法规避了传统Kramers-Moyal展开中因忽略高阶导数而产生的固有截断误差。这一公式确保了

**方法论**

为了刻画联合激励下随机动力系统的瞬态和稳态响应，我们求解上述推导的积分-微分形式前向Kolmogorov方程。相应地，第3.1节提出了一种MC积分方案用于非局部积分项的高效评估，第3.2节开发了求解所得IDE的核心MC-PINNs框架。为了进一步提高MC-PINNs的收敛性和预测精度，第3.3节

**数值算例**

展示了四个具有代表性的随机动力学系统算例，受到高斯白噪声和两种幅度设置（高斯和均匀）的泊松白噪声联合激励，并与MC参考解结果进行了对比，包括第4.1节中的磁悬浮交通系统工程算例，以及工程仿真中常用的基准模型，如两自由度耦合Duffing振子等。

**结论**

本文提出了一种深度神经网络-蒙特卡洛框架，称为MC-PINNs，用于求解在高斯和泊松白噪声联合激励下、跳跃幅度为高斯或均匀分布的动力系统的稳态和瞬态随机响应。显著的是，与先前的GL-PINNs框架不同，所提方法不再依赖于可能随维数快速增长的结构化求积节点，而是采用MC采样来逼近相应的

**作者贡献声明**

冯晓彤：撰写—初稿、验证、方法学、形式分析、概念化。詹万荣：监督、形式分析。马世超：监督、形式分析。贾文涛：撰写—审稿与编辑、监督、软件、方法学、调查、概念化。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所述工作。

冯晓彤 | 詹万荣 | 马世超 | 贾文涛
西北工业大学数学与统计学院，西安，710072，中国