一种具有有限时间收敛性和可调带宽的基于动力到达律的新型滑模控制方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A novel power-reaching-law-based sliding mode control with finite-time convergence and adjustable bandwidth

　　

# 摘要

收敛速度与振荡抑制之间的根本性权衡长期以来限制了离散时间滑模控制的应用。为了克服这一限制，本文提出了两种新颖的离散幂次到达律。第一种律在保证与传统单幂次律相同带宽的前提下实现了更快的收敛速度；第二种律在保持与第一种律相同收敛速度的同时进一步缩小了带宽，尽管它需要一个附加条件。两种律均实现了有限步收敛，且对滑模变量的初始值无任何约束。此外，本文推导了估计到达时间和准滑模带宽的显式解析表达式，从而实现了精确的性能量化和灵活的带宽调节。所提出的控制方案应用于具有时变时延和外部扰动的系统。设计了滑模控制器及其相应的滑模面，以保证滑模动力学渐近稳定。数值仿真验证了该方法的有效性。

# 引言

滑模控制（SMC）凭借其强鲁棒性和快速响应特性，在理论研究和应用领域持续受到广泛关注 [1], [2], [3], [4], [5]。随着数字计算技术的日益普及，控制系统正逐步向离散时间实现转变 [6], [7]。作为连续物理过程与数字控制器之间的关键接口，离散时间控制系统已成为航空航天系统、智能设备和汽车电子等高精度应用中的一项基本架构 [8], [9]。然而，在离散时间实现中，传统滑模控制面临一个根本性挑战：滑动运动无法精确地保持在切换流形上 [10], [11]。因此，亟需重新审视有限时间可达性、到达条件和滑模稳定性等关键概念 [12], [13], [14]。这些努力不仅对推动控制理论的发展至关重要，对于提升实际数字控制系统的性能同样不可或缺。

离散时间滑模控制理论发展的起源可以追溯到高文等人1995年的开创性工作，该研究正式建立了准滑模（QSM）及其关联的准滑模带（QSMB）的基本概念 [15]。他们的工作建立了一个离散到达律，其表达式为 $s(k+1)-s(k)=-\varepsilon T \text{sgn}(s(k))-qTs(k)$，这是一个基于等式的到达条件，揭示了早期线性到达律中固有的抖振问题。为此，研究工作聚焦于改进到达律的设计方法以降低抖振。文献[16]提出了一种非切换方法，促进了广义到达律的发展。随后，文献[17]推导出了离散时间单幂次到达律的数学公式 $s(k+1)-s(k)=-KT|s(k)|^\mu \text{sgn}(s(k))-qTs(k)$。然而，分析表明，在该律下存在一个固有的权衡：提高收敛速度会加宽QSM带宽，从而加剧抖振。为了优化这一平衡，文献[18]调整了幂指数 $\mu$ 和增益矩阵 $K$。虽然该方法在抑制抖振方面有效，但当事件系统状态远离滑模面时，收敛速度明显变慢，大幅增加了到达时间。文献[19]随后为连续系统引入了双幂次到达律，但该律并不易于直接应用于离散时间场景。更近期，文献[20]开发了一种多幂次到达律，同时改善了收敛速度和控制精度。尽管有了这些改进，幂次到达律下的收敛率仍然基本固定。为了克服这一限制，文献[21]提出了一种广义离散到达律，能够实现滑模变量收敛速度的灵活调节。然而，一个显著的缺点是要求滑模变量的初始值不得超过1，这极大地限制了实际应用。尽管文献[22]放松了初始值约束，但仍然不允许自由调节滑模带宽——其下界仍固定在1，从而限制了进一步的抖振抑制。

近年来，幂次到达律和滑模同步策略在忆阻器混沌系统中也受到了越来越多的关注。文献[23]基于幂次到达律研究了忆阻器混沌系统的有限时间和固定时间同步。文献[24], [25]进一步研究了忆阻器混沌系统的预定时间同步问题，为简单系统开发了两阶段滑模控制方案，并为安全通信中的多涡卷Chua电路设计了自适应控制器。这些研究证实了幂次到达律和滑模控制在改善收敛和同步性能方面的有效性，但它们的离散时间实现仍面临着速度与抖振之间的固有权衡。

综上所述，已有大量工作致力于改进到达律 [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]。然而，离散时间滑模控制领域仍面临两个基本挑战：（1）设计能够有效解决收敛速度与系统抖振之间固有权衡的离散到达律。具体而言，期望在不加宽带宽的前提下实现更快收敛，并进一步在不牺牲收敛速度的情况下缩小带宽；（2）开发能够精确量化系统收敛时间和QSM带宽的方法。

为应对这些挑战，本文引入了两种新颖的离散幂次到达律。针对第一个挑战，提出了一种分段单幂次律，在保证与传统单幂次律相同带宽的前提下实现更快的收敛速度；并引入了一种精细化律，在保持与第一种律相同速度的同时进一步缩小带宽，尽管后者需要一个附加条件。两种律均在不限制滑模变量初始值的情况下实现有限步收敛，克服了现有算法 [21], [22] 中存在的局限性。针对第二个挑战，推导了有限到达时间和QSM带宽的显式解析表达式。这些表达式能够实现精确的性能量化和灵活的带宽调节。因此，本文提供了一个系统化的框架，用于改善收敛速度、减轻抖振以及定量描述到达过程。

本文的组织结构如下。第2节概述了系统模型和必要的预备知识。第3节详细阐述了所提出的到达律的构造，设计了相应的滑模面和滑模控制器，并建立了闭环系统渐近稳定的充分条件。第4节通过数值仿真对所提出的到达律与现有方法进行比较，验证了所提方法的有效性。最后，第5节总结了本工作的理论贡献和研究优势。

**记号说明。** 设 $\mathbb{R}^n$ 表示 $n$ 维实空间，$\mathbb{R}^{m \times n}$ 表示所有 $m \times n$ 实矩阵的集合。设 $\mathbb{N}$ 表示包含零的自然数集合。对于矩阵 $A$，$A^T$ 表示其转置，$A^{-1}$ 表示其逆矩阵（当逆存在时）。记号 $P > 0$ 表示 $P$ 是实对称正定矩阵。在对称分块矩阵中，星号 $*$ 用于表示由对称性产生的项。算子 $\text{diag}\{\cdots\}$ 表示分块对角矩阵。所有矩阵在需要时均假定具有兼容的维度以进行代数运算。

# 预备知识

本文研究一类受时变时延和外生扰动影响的离散时间系统，其动力学方程如下：

$$\begin{cases} x(k+1) = Ax(k) + A_d x(k - \tau(k)) + B(u(k) + \omega(k)), \\ x(k) = \psi(k), \quad \forall k = -\tau_M, -\tau_M + 1, \cdots, 0 \end{cases}$$

其中 $x(k) \in \mathbb{R}^n$ 为状态向量，$u(k) \in \mathbb{R}$ 为控制输入，$\omega(k) \in \mathbb{R}$ 表征外生扰动，$\psi(k) \in \mathbb{R}^n$ 表示给定的初始状态条件。时变时延 $\tau(k)$ 影响系统动力学，满足有界条件 $\tau_m \leq \tau(k) \leq \tau_M$，其中 $\tau_M$ 和 $\tau_m$ 为已知的非负整数常数，且 $\tau_M \geq \tau_m \geq 0$。

**引理1（Lyapunov稳定性）** 如果存在一个正定矩阵 $P > 0$，使得 $A^T P A - P \leq -Q$，其中 $Q > 0$，则系统 $x(k+1) = Ax(k)$ 在原点渐近稳定。

**假设1** 外生扰动 $\omega(k)$ 是有界的，即 $|\omega(k)| \leq d_m$，其中 $d_m$ 是已知的正常数。

# 主要结果

现在我们进行系统（1）的滑模控制设计。首先构造一个合适的滑模面以形成闭环系统，并推导其稳定性的充分条件。利用引理1，提出两种新颖的离散时间到达律。它们保证滑模变量以指数速率在有限时间内收敛到QSM带宽内，且QSM带宽完全可调，提供了增强的设计灵活性。随后综合相应的控制律，以

**定理1** 如果存在对称正定矩阵 $P > 0$ 和适当矩阵 $Q$，使得以下线性矩阵不等式成立：

$$\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ * & -Q \end{bmatrix} < 0$$

其中 $\phi_1 = A^T P A - P + \text{diag}\{\cdots\}$，$\phi_2 = A_d^T P$，则系统（1）在所设计控制律的作用下是渐近稳定的。

**证明** 选取Lyapunov候选函数 $V(k) = x^T(k) P x(k)$，计算其前向差分为：

$$\Delta V(k) = V(k+1) - V(k) = x^T(k+1) P x(k+1) - x^T(k) P x(k)$$

将系统（1）和所设计的控制律代入上式，经过整理后，利用引理1的条件可得 $\Delta V(k) \leq 0$，从而证明了系统的渐近稳定性。证毕。

**定理2** 考虑系统（1），在假设1的条件下，若存在正定矩阵 $P > 0$ 和正数 $K > 0$，满足以下线性矩阵不等式：

$$\begin{bmatrix} -P & A^T P \\ P A & P - A_d^T P^{-1} A_d - Q \end{bmatrix} < 0$$

则存在滑模控制律 $u(k) = -B^T P x(k) - \bar{K} \text{sgn}(s(k))$，使得系统闭环渐近稳定，其中 $\bar{K} = B^T P A_d x(k - \tau(k)) + B^T P x(k)$，$K = \max\{|B^T P A_d x(k - \tau(k)) + B^T P x(k)| + d_m\}$。

**定义1（分段单幂次到达律）** 定义分段单幂次到达律如下：

$$s(k+1) = \begin{cases} (1 - K T |s(k)|^\mu) s(k) - \varepsilon T \text{sgn}(s(k)), & |s(k)| > s_0 \\ (1 - K T s_0^\mu) s(k) - \varepsilon T \text{sgn}(s(k)), & |s(k)| \leq s_0 \end{cases}$$

其中 $K > 0$，$\varepsilon > 0$，$0 < \mu \leq 1$，$s_0 > 0$ 为分段阈值。

**定义2（精细化到达律）** 定义精细化到达律如下：

$$s(k+1) = \begin{cases} (1 - K T |s(k)|^\mu - \eta T |s(k)|^\mu \text{sgn}(s(k))) s(k) - \varepsilon T \text{sgn}(s(k)), & |s(k)| > s_1 \\ (1 - K T s_1^\mu - \eta T s_1^\mu \text{sgn}(s(k))) s(k) - \varepsilon T \text{sgn}(s(k)), & |s(k)| \leq s_1 \end{cases}$$

其中 $K > 0$，$\varepsilon > 0$，$\eta > 0$，$0 < \mu \leq 1$，$s_1 > 0$ 为分段阈值，且附加条件为 $K T s_1^\mu (1 + \eta) < 1$。

**定理3** 对于系统（1），若到达律满足定义1中的分段单幂次到达律，则滑模变量 $s(k)$ 在有限步内收敛到准滑模带 $|s(k)| \leq \varepsilon / (K T s_0^\mu)$，到达时间为：

$$t_r = \begin{cases} \frac{1}{(1-\mu)KT} \left( |s(0)|^{1-\mu} - s_0^{1-\mu} \right) + N_1, & |s(0)| > s_0 \\ N_2, & |s(0)| \leq s_0 \end{cases}$$

其中 $N_1$ 和 $N_2$ 为有限正整数步数。

**定理4** 对于系统（1），若到达律满足定义2中的精细化到达律，在附加条件 $K T s_1^\mu (1 + \eta) < 1$ 成立的条件下，滑模变量 $s(k)$ 在有限步内收敛到准滑模带 $|s(k)| \leq \varepsilon / (K T s_1^\mu (1 + \eta))$，且该带宽严格小于定理3中的带宽，到达时间满足：

$$t_r \leq \frac{1}{(1-\mu)(K+\eta)KT} |s(0)|^{1-\mu} + N_3$$

其中 $N_3$ 为有限正整数步数。

# 算例

**例1** 通过一个数值算例对本文提出的滑模控制方案进行实证评估。考虑以下离散时间系统：

$$A = \begin{bmatrix} 1.0015 & 0.0250 \\ 0.0170 & 0 \end{bmatrix}, \quad A_d = \begin{bmatrix} 0.23 & -0.0346 \\ -0.0346 & 0.19 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0.25 \\ 0.337 \end{bmatrix}$$

选择矩阵 $J = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0.33 & 1 \end{bmatrix}$ 以确保 $JB$ 可逆。显然，时延上界为 $\tau_M = 5$，下界为 $\tau_m = 1$。通过求解定理1中不等式（13）的严格线性矩阵不等式，得到控制器增益为 $K = \begin{bmatrix} 2.0188 \\ 0.0841 \end{bmatrix}$。在初始条件 $x(0) = [-40, 25]^T$ 下，状态

**例2** 为了进一步验证所提方案的有效性，考虑如下三维离散时间系统：

$$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.9 & 0.05 \\ 0 & 0 & 0.7 \end{bmatrix}, \quad A_d = \begin{bmatrix} 0.1 & 0 & -0.02 \\ 0 & 0.08 & 0 \\ 0.01 & 0 & 0.06 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0 \\ 0.2 \end{bmatrix}$$

通过求解线性矩阵不等式，得到相应的控制器增益。仿真结果表明，与现有方法相比，所提出的分段单幂次到达律在相同带宽下具有更快的收敛速度，而精细化到达律在保持相同收敛速度的同时实现了更窄的准滑模带宽，从而有效抑制了抖振。

# 结论

本文提出了两种新颖的离散幂次到达律，与传统方法相比，实现了更快的收敛速度并显著减少了抖振。第一种律在保证与传统方法相同带宽的前提下实现了更快的收敛速度；第二种律在满足附加条件的情况下，在保持与第一种律相同速度的同时进一步缩小了带宽。所提出的策略应用于具有时变时延的离散时间系统，并建立了渐近稳定的充分条件。

# 资助

本工作得到了国家自然科学基金的资助（项目编号 62203414）。

# 作者贡献声明

马学尚：撰写—初稿、数据整理。
韩月桥：撰写—审阅与编辑、经费获取。
姜宝平：验证、监督。

# 利益冲突声明

作者声明不存在潜在的利益冲突。

作者声明他们没有已知的 competing financial interests 或个人关系可能会影响本文所报告的工作。

马学尚 | 韩月桥 | 姜宝平
中国海洋大学 数学科学学院，青岛，266100，中国