非协调四边形准Wilson元求解带位移障碍的二阶变分不等式问题的高精度分析

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：High accuracy analysis of nonconforming quadrilateral quasi-Wilson element for second-order variational inequality problem with displacement obstacle

　　

摘要

本文针对带有位移障碍的二阶变分不等式问题，在一种四边形网格上采用非协调准Wilson单元，发展了一种高效高精的有限元格式。通过充分利用该单元协调与非协调分量之间的正交性质，并结合Bramble–Hilbert引理，我们严格推导了断裂H1范数下??(?^{3/2?ε})阶的超逼近结果。该结果在精确解满足??∈??^{5/2?ε}(Ω)∩??^{2,∞}(Ω)，其中0<ε<1 2的假设下成立。与常规有限元方法的插值误差在h1范数下的收敛阶相比，本方法实现了额外??(?^{1 2?ε})阶的收敛阶提升。此外，通过一种经济的插值后处理技术，得到了相应的超收敛误差估计。另外，四个数值算例验证了理论结果及所提格式良好的数值性能。 引言 设ω??2为有界凸区域，设f、χ为ω上的已知函数。我们考虑如下带位移障碍的变分不等式问题(1.1)：求u∈v使得 ??(??,?????)≥??(?????), ???∈??, 其中 ??(??,??)=∫_Ω ???·??? d??d??, ??(??)=∫_Ω ???? d??d??, ??={??∈????(Ω): ??≥?? a.e. in ω, ??≤0 on ?ω}. 有限元方法(fem)作为求解上述问题的有效工具之一，在数值分析领域引起了广泛关注。该领域的初步研究主要集中在低阶协调三角单元，特别是线性三角单元(即p?单元)和二次三角单元(即p?单元)[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]。尤其地，strang [1]指出，对于问题(1.1)，p?单元在能量范数下的收敛误差阶为o(h)。然而，对于p?单元或其他高阶有限元，数值实验表明，即使自由边界光滑，也能达到o(h^{3 2})的收敛阶。brezzi和sacchi [3]开创性地对上述障碍问题进行了理论分析，当外力函数??=?1、障碍??=0时，分别得到了P?单元的O(h)阶和P?单元的??(?^{3/2??})阶误差估计，其中对任意?>0均成立。此外，Brezzi、Hager和Raviart [4]通过全面的理论分析，将上述结果推广到f和χ的更一般情形。遗憾的是，P?单元的??(?^{3/2??})阶误差估计依赖于自由边界具有有限长度的假设。后来，Wang [8]去除了这一限制性假设，通过更精细的分析获得了与[4]相同的误差界。关于障碍问题解的正则性，一个重要的结果可见[4], [6], [7]：若??∈L2(Ω)∩BV(Ω)，且??∈C3(Ω?)，则u∈W^{s,p}(Ω)对所有1<ε<1 2下，我们在渐近正则平行四边形网格[34]上推导了断裂h1范数下??(?^{3 2?ε})阶的超逼近估计。随后，通过构造专用的后插值算子，得到了超收敛结果。 本文其余部分组织如下。第2节介绍准wilson单元的构造及后续理论分析所需的若干基本引理。第3节在渐近正则平行四边形网格上推导断裂h1范数下的超逼近和超收敛结果。第4节通过四个代表性数值算例验证理论预测。最后，第5节总结本文工作。 各节摘要 准wilson单元及若干基本引理 沿用[35]中的标准记号，我们考虑配备范数‖·‖_{s,p,ω}和半范|·|_{s,p,ω}的sobolev空间w^{s,p}(ω)，其中s和p为非负实数。特别地，当p=2时，Sobolev空间W^{s,2}(Ω)简记为H^s(Ω)，范数‖·‖_{s,2,Ω}简化为‖·‖_{s,Ω}。 设k?=[?1,1]×[?1,1]为(ξ,η)平面上的参考单元，其四个顶点为b??(?1,?1)、b??(1,?1)、b??(1,1)、b??(?1,1)，四条边为F??=线段b??b??、F??=线段b??b??、F?? 超收敛分析 在本部分，我们首先利用准wilson单元的固有性质和高精度分析结果，推导其??(?^{3 2??})阶超逼近误差估计。此外，我们通过一种经济的后处理插值方法获得了相应的超收敛结果。 文献[7]已证明变分问题(1.1)等价于： ??? ?δu=f, 在ω?={(x,y)∈Ω: u(x,y)>χ(x,y)}中
?Δu ≥ f, 在Ω?={(x,y)∈Ω: u(x,y)=χ(x,y)}中
u ≥ χ, 在Ω中, u=0, 在?Ω上

我们定义闭

数值结果

本节报告四个数值算例以验证理论推导的正确性。首先，算例1和算例2用于检验准Wilson单元对有已知精确解的问题(1.1)的数值性能。此外，算例3和算例4分别用于展示其在L形区域和异性网格划分下的有效性。

算例1[15] 设Ω=[?1.5,1.5]2，f=?2，障碍函数χ=0。Dirichlet边界条件由……确定

结论

在本工作中，我们采用准Wilson单元求解障碍问题，并在渐近正则平行四边形网格上推导了相应的超逼近和超收敛结果。与标准有限元方法的常规H1范数误差估计相比，本方法实现了更高的数值精度，并进一步推广了准Wilson单元在四边形网格上的适用范围。此外，本文的分析策略和技术工具

CRediT作者贡献声明

曹旭：初稿撰写、软件、方法论、调研、经费获取、形式分析、概念构思。石东洋：审校与编辑、监督、方法论、调研、经费获取、概念构思。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

致谢

作者感谢匿名审稿人和编辑提出的宝贵意见和富有建设性的建议，这些意见和建议显著提升了本文的呈现质量和水平。

本工作得到了国家自然科学基金(编号12071443)和河南省自然科学基金(编号252300420334)的资助。

曹旭|石东洋
洛阳理工学院数理系，河南洛阳，471023，中国