三个方程非严格双曲守恒模型的整体 $L^\infty$ 弱解

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Global L∞ weak solutions for a nonstrictly hyperbolic conservation model of three equations

　　

摘要 本文关注的是一类特殊的非严格双曲三方程守恒模型，该系统为不可对角化的双曲系统，由质量方程、动量方程和变熵方程组成。该系统的有趣之处在于：一个特征场为Temple型，而其余两个特征场构成一个非严格双曲系统。本文的主要贡献是突破了不变区域理论的约束——该理论仅能获得对角化系统的解的有界估计。技术上的创新在于借助 s(x, t) 的有界全变差，发现了关于变量 s_x(·, t) 的一个特殊结构方程。作为副产品，补偿紧性理论中的收敛框架被应用于证明在任意有界初值条件下该系统柯西问题熵解的整体存在性。本工作是 Lu（J. Funct. Anal., 2013）的拓展，在该工作中研究了 N+1 方程的一般 Keyfitz-Kranzer 系统，其中 N 个特征场为 Temple 型（Temple, 1983），左侧一个为标量双曲方程。

引言 一维可压缩多方气体流动的 Euler 方程为如下三个守恒律方程组：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = 0,
(ρu)_t + (ρu2 + kρ^γ · e^{sc})_x = 0,
(?ρu2 + k/(γ?1) · ρ^γ · e^{sc})_t + (u(?ρu2 + k·γ/(γ?1) · ρ^γ · e^{sc}))_x = 0,

其中 ρ 为气体密度，u 为速度，s 为熵，γ > 1 为绝热指数，c > 0 为定容比热，k > 0 在标度下可为任意常数。不失一般性，为简便起见，可取 k = θ2/γ，θ = (γ?1)/2，c = 1/2。

对于光滑解，方程组 (1.1) 中的第三个方程等价于

(ρs)_t + (ρus)_x = 0,

与方程组 (1.1) 中的第一、二个方程联立，构成如下三个守恒律方程组：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = 0,
(ρu)_t + (ρu2 + (θ2/γ)ρ^γ · e^{2s})_x = 0,
(ρs)_t + (ρus)_x = 0.

方程组 (1.3) 之所以受到关注，是因为它是一个特殊的 1+2 不可对角化双曲守恒模型，其中 "1+2" 意味着一个特征场为 Temple 型（参见 [1]），其余两个特征场构成非严格双曲系统。在文献 [2] 中，作者研究了广义的 N+1 Keyfitz-Kranzer 系统 [3]，其中 N 个特征场为 Temple 型，左侧一个为标量双曲方程。

当 s 为常数时，方程组 (1.1) 和 (1.3) 均退化为如下等熵气体动力学的两个守恒律方程组：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = 0,
(ρu)_t + (ρu2 + (θ2/γ)ρ^γ · e^{2s})_x = 0.

大量文献研究了柯西问题 (1.4) 弱解的分析（参见 [4]–[11] 及其中的参考文献）。

对于非等熵多方气体的情形，即 s ≠ 常数，文献 [12] 在 Lagrangian 坐标下证明了当地域有限全变差、远离真空的小初值情形下方程组 (1.1) 的存在性定理，其中 γ ∈ (1, 5/3]，证明基于 Glimm 的有限差分格式 [13]。

对于非等熵气体动力学方程 (1.1)，当初始数据任意大（包含真空）时，如何获得整体存在性仍然是一个具有挑战性的开放问题。即使对于简化系统 (1.3)，据我们所知，尚无整体存在性结果。

本文的目标是将补偿紧性理论中的收敛框架应用于方程组 (1.4)，证明方程组 (1.3) 近似解的逐点收敛性，并获得有界初值条件下柯西问题 (1.3) 有界熵解的整体存在性：

(ρ, u, s)|_{t=0} = (ρ_0(x), u_0(x), s_0(x)), ρ_0(x) ≥ 0.

本文的主要贡献是突破了不变区域理论的约束——该理论仅能获得对角化系统的解的有界估计，并为柯西问题 (1.3) 黏性解一致有界的严格证明提供了依据。技术上的创新在于借助 s(x, t) 的有界全变差，发现了关于变量 s_x(·, t) 的一个特殊结构方程。

将方程组 (1.3) 中的第一个方程代入第二和第三个方程，得到关于变量 (ρ, u, s) 的如下系统：

?
?
?
ρ_t + uρ_x + ρu_x = 0,
u_t + uu_x + (θ/2)ρ^{γ?2} · e^{2s} · ρ_x + (2θ/γ)ρ^{γ?1} · e^{2s} · s_x = 0,
s_t + us_x = 0,

对于光滑解，该系统等价于方程组 (1.3) 及方程组 (1.1)。

设方程组 (1.6) 的 Jacobi 矩阵 dF(U) 为：

dF(U) = ?
?
?
?
u, ρ, 0
(θ/2)ρ^{γ?2} · e^{2s}, u, (2θ/γ)ρ^{γ?1} · e^{2s}
0, 0, u
?
?
?
?.

则方程组 (1.3) 的三个特征值为

λ? = u ? θρ^{(γ?1)/2} · e^s,
λ? = u + θρ^{(γ?1)/2} · e^s,
λ? = u,

对应的右特征向量为

r? = (1, ?θρ^{(γ?1)/2} · e^s, 0)?,
r? = (1, θρ^{(γ?1)/2} · e^s, 0)?,
r? = (0, 0, 1)?.

方程组 (1.3) 的 Riemann 不变量为函数 w?(ρ, u, s)、w?(ρ, u, s) 和 w?(ρ, u, s)，满足方程

(w_{i,ρ}, w_{i,u}, w_{i,s}) · dF = λ_i (w_{i,ρ}, w_{i,u}, w_{i,s}), i = 1, 2, 3.

由于方程组 (1.10) 并非良定义的，我们令 s 为常数，则等熵系统 (1.4) 的 Riemann 不变量

w? = z(ρ, u, s) = ρ^{(γ?1)/2} · e^s ? u,
w? = w(ρ, u, s) = ρ^{(γ?1)/2} · e^s + u,

满足方程组 (1.10) 的前两个方程。

通过简单计算，

?λ? · r? = ?θ(1+θ)ρ^{(γ?3)/2} · e^s,
?λ? · r? = θ(1+θ)ρ^{(γ?3)/2} · e^s,
?λ? · r? = 0.

因此由 (1.8) 可知，在区域 {(x, t): ρ(x, t) > 0} 上方程组 (1.3) 是严格双曲的，而在区域 {(x, t): ρ(x, t) = 0} 上是双曲退化的，因为当 ρ = 0 时 λ? = λ? = λ?。由 (1.12) 可知，当绝热指数 γ ∈ (1, 3] 时，方程组 (1.3) 的前两个特征场为真非线性；而当绝热指数 γ > 3 时，在 ρ = 0 处系统不再具有真非线性性。第三个特征场总是线性退化的，或为 Temple 型 [1]。

众所周知，为了利用补偿紧性理论证明解的存在性，首先应当获得近似解的先验 L^p 估计（1 < p ≤ ∞），并寻找足够多的熵-熵通量对。其次，利用 div-curl 引理以及用 Young 测度表示解的弱极限，可以获得测度方程。最后，必须证明 Young 测度归结为 Dirac 测度。

不幸的是，面对超过两个守恒律的非线性双曲系统，上述三个方面均存在大量困难。

事实上，除了标量方程外，即使是两个方程的系统，并非所有熵-熵通量对 (η, q) 都能用于将 Young 测度归结为 Dirac 质量，因为 η_t + q_x（其中 (η, q) 为熵-熵通量对）在应用 div-curl 引理 [14]、[15] 时必须在 H^{-1}_{loc}(? × ??) 中是紧的。

当我们研究不可对角化系统 (1.3) 时，关键困难在于如何获得近似解的先验 L^p 估计（1 < p ≤ ∞），因为不变区域理论 [16] 一般不适用。

在文献 [17] 中，作者研究了如下系统：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = 0,
(ρ(1+s)u)_t + (ρ(1+s)u2 + P(ρ,s))_x = 0,
(ρs)_t + (ρus)_x = 0,

其中 P(ρ,s) = a · s · ρ^{1?ρ}，a 为常数。与方程组 (1.3) 相同，方程组 (1.13) 的两个特征场为真非线性，第三个为 Temple 型。在黏性近似解的 L^∞ 范数一致有界的假设下，借助 DiPerna 在 2×2 严格双曲真非线性系统上的紧性框架 [18]，研究了有界初值条件下柯西问题 (1.13) 的整体熵解。此后，作者在 [11] 中证明了 Riemann 问题的不变区域存在性，并利用 Glimm 格式 [13] 获得了整体存在性。

在文献 [19] 中，当 P(ρ,s) 取为 e^s · ρ^{?1} 时，获得了方程组 (1.13) 的经典光滑解，其中假设特征场单调不减。方程组 (1.13) 在这种特殊压力下之所以有趣，是因为它可以被对角化。

在文献 [20] 中，作者巧妙地在如下抛物型方程组上引入了消失黏性方法：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = ερ_{xx},
(ρu)_t + (ρu2 + P(ρ,s))_x = ε(ρu)_{xx},
s_t + us_x = εs_{xx},

在初值条件 s_0(x) ∈ W^{1,∞}(?)、s'_0(x) ≥ 0 的假设下，获得了弱解的局部存在性。

在文献 [21] 中，作者研究了具有扩散熵的多方气体流动模型：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = 0,
(ρu)_t + (ρu2 + P(ρ,s))_x = 0,
(ρs)_t + (ρus)_x = (1/ρ · s_x)_x,

其中 P(ρ,s) = e^{(γ?1)s} · ρ^γ, γ > 1。借助扩散项 (1/ρ · s_x)_x，采用了一种技巧获得由 Lax-Friedrichs 或 Godunov 格式构造的近似解的先验 L^∞ 估计，并利用 2×2 多方气体流动的紧性框架 [8]、[9] 证明了近似解的逐点收敛性。

近期文献 [22] 提出了处理带时变阻尼的非等熵可压缩 Euler 方程的一些见解。通过为光滑解构造解耦的 Riccati 型方程，作者在适当初值条件下获得了全局光滑解的存在性。

现在我们介绍获得方程组 (1.3) 黏性解先验 L^∞ 估计的基本思路。

经典的消失黏性方法是在方程组 (1.3) 右端添加黏性项，并考虑如下相关抛物型系统的柯西问题：

?
?
?
ρ_t + (ρu)_x = ερ_{xx},
(ρu)_t + (ρu2 + P(ρ) · e^{2s})_x = ε(ρu)_{xx},
(ρs)_t + (ρus)_x = ε(ρs)_{xx},

有界初值

(ρ_ε, u_ε, s_ε)|_{t=0} = (ρ^ε_0(x), u^ε_0(x), s^ε_0(x)), ρ^ε_0(x) ≥ ε > 0,

其中 ρ^ε_0(x) = (ρ_0(x) + ε) * G_ε, u^ε_0(x) = u_0(x) * G_ε, s^ε_0(x) = s_0(x) * G_ε 分别是 ρ_0(x), u_0(x), s_0(x) 的光滑近似，G_ε 为磨光核。然而，如果我们将 (ρ, m, Υ) 视为方程组 (1.15) 中的三个独立变量，其中 m = ρu, Υ = ρs，则项 ρu2 = m2/ρ, ρus = mΥ/ρ 在 ρ = 0 处不是良定义的。

与上述关于 (1.13) 和 (1.14) 的已有结果相比，在研究方程组 (1.3) 的柯西问题时，我们主要需要克服以下三个困难。

困难一：如何获得柯西问题 (1.15) 和 (1.16) 黏性解 ρ_ε 的正下界？

为了克服上述困难，我们不采用经典的黏性逼近，而是采用文献 [23] 中引入的流通近似，并考虑如下抛物型系统：

?
?
?
ρ_t + ((ρ?2δ)u)_x = ερ_{xx},
(ρu)_t + (ρu2 ? δu2 + P?(ρ,δ) · e^{2s})_x = ε(ρu)_{xx},
(ρs)_t + ((ρ?2δ)us)_x = ε(ρs)_{xx},

有界初值

(ρ_{ε,δ}, u_{ε,δ}, s_{ε,δ})|_{t=0} = (ρ^ε_0(x), u^ε_0(x), s^ε_0(x)), ρ^ε_0(x) ≥ 2δ > 0,

其中 ε, δ 为正的小扰动常数，扰动压力

P?(ρ,δ) = ∫_{2δ}^{ρ} t^{?2} t · P'(t) dt, P(ρ) = (θ2/γ) · ρ^γ,

以及 ρ^ε_0(x) = (ρ_0(x) + 2δ) * G_ε, u^ε_0(x) = u_0(x) * G_ε, s^ε_0(x) = s_0(x) * G_ε 分别是 ρ_0(x), u_0(x), s_0(x) 的光滑近似，满足

lim_{|x|→0} |d/dx_i (s^ε_0(x))| = 0, i = 1, 2.

由于 ρ^ε_0(x) ≥ 2δ，对 (1.17) 中第一个方程应用极值原理，可得到一致正下界 ρ_{ε,δ}(x, t) ≥ 2δ，这保证了 (1.17) 中的项 ρu2 = m2/ρ, ρus = mΥ/ρ 是良定义的。此外，(1.17) 中给出的流通近似具有以下优势。

当我们将 s 视为参数时，(1.17) 退化为如下两个方程的系统：

?
?
?
ρ_t + ((ρ?2δ)u)_x = ερ_{xx},
(ρu)_t + (ρu2 ? δu2 + P?(ρ,δ) · e^{2s})_x = ε(ρu)_{xx}.

一致正下界 ρ_{ε,δ}(x, t) ≥ 2δ 帮助我们证明了对于任意弱熵-熵通量对 (η, q)，η_t + q_x 在 H^{-1} 中的紧性，适用于一般的压力函数 P(ρ)（参见 [23]）。

此外，方程组 (1.20) 具有与方程组 (1.5) 相同的 Riemann 不变量和熵方程。

方程组 (1.17) 以及 (1.20) 的这些特殊性质将帮助我们克服下面的：

困难二：如何获得一致上界 ρ_{ε,δ} ≤ M 和 |u_{ε,δ}| ≤ M？

克服上述困难的大致思路如下。首先，将 (1.17) 中第一个方程代入第三个方程，可将 (1.17) 中的第三个方程改写为

s_t + ((ρ?2δ)/ρ) · u · s_x = εs_{xx} + 2ε · (ρ_x/ρ) · s_x.

利用文献 [24] 中的技术（参见 [25]），我们可以容易地证明 s_{ε,δ,x} 在 L1(?) 中一致有界。

其次，将方程组 (1.17) 分别乘以 (w_ρ, w_m, w_s) 和 (z_ρ, z_m, z_s)，得到

w_t + λ2_δ · w_x ? (2δ/ρ · u + θ(ρ?2δ)/ρ · ρ^{(γ?1)/2} · e^s) · ρ^{(γ+1)/2} · e^s · s_x + (2/ρ) · P?(ρ,δ) · e^{2s} · s_x
= εw_{xx} + 2ε · (ρ_x/ρ) · w_x ? ε · e^s · ρ^{(γ?3)/2} · (θ(θ+1)ρ · ρ_{xx} + 2θρ · ρ_x · s_x + ρ2 · s2_x)

以及

z_t + λ1_δ · z_x ? (2δ/ρ · u ? θ(ρ?2δ)/ρ · ρ^{(γ?1)/2} · e^s) · ρ^{(γ+1)/2} · e^s · s_x ? (2/ρ) · P?(ρ,δ) · e^{2s} · s_x
= εz_{xx} + 2ε · (ρ_x/ρ) · z_x ? ε · e^s · ρ^{(γ?3)/2} · (θ(θ+1)ρ · ρ_{xx} + 2θρ · ρ_x · s_x + ρ2 · s2_x),

其中 m = ρu，w, z 由 (1.11) 给出，

λ1_δ = u ? ((ρ?2δ)/ρ)^{(γ?1)/2} · θρ^{(γ+1)/2} · e^s,
λ2_δ = u + ((ρ?2δ)/ρ)^{(γ?1)/2} · θρ^{(γ+1)/2} · e^s

是方程组 (1.17) 左端的前两个特征值。

与 s = 常数 的情形相比，当我们要对 (1.22) 和 (1.23) 应用极值原理时，(1.22) 中的

?(2δ/ρ · u + θ(ρ?2δ)/ρ · ρ^{(γ?1)/2} · e^s) · ρ^{(γ+1)/2} · e^s · s_x + (2/ρ) · P?(ρ,δ) · e^{2s} · s_x

和 (1.23) 中的

?(2δ/ρ · u ? θ(ρ?2δ)/ρ · ρ^{(γ?1)/2} · e^s) · ρ^{(γ+1)/2} · e^s · s_x ? (2/ρ) · P?(ρ,δ) · e^{2s} · s_x

是两个主要障碍。

幸运的是，由于 s_x 在 L1(?) 中一致有界，我们可以选取一个合适的非负有界函数 β(x, t)（满足 β_x(x, t) ≥ 0），并作如下变量变换：

w = v? + M + β(x, t), z = v? + M ? β(x, t),

从而得到

w_t + λ2_δ · w_x = v?_t + λ2_δ · v?_x + (β_t(x,t) + λ2_δ · β_x(x,t)),
z_t + λ1_δ · z_x = v?_t + λ1_δ · v?_x ? (β_t(x,t) + λ1_δ · β_x(x,t)),

其中附加函数 β_t(x,t) + λ^i_δ · β_x(x,t)（i = 1, 2）可用于控制上述两个障碍项。

如果我们能利用极值原理对新变量 (v?, v?) 得到估计 v? ≤ 0 和 v? ≤ 0，则显然由变换 (1.25) 可得界

w(ρ_{ε,δ}, u_{ε,δ}) ≤ M + β(x,t), z(ρ_{ε,δ}, u_{ε,δ}) ≤ M ? β(x,t).

困难三：如何证明当 ε, δ 趋于零时 (ρ_{ε,δ}, u_{ε,δ}, s_{ε,δ}) 的逐点收敛性？

首先，如文献 [2] 中所述，s_{ε,δ} 的逐点收敛性可以利用 div-curl 引理对某些特殊函数对 (c, F(s)) 获得，其中 c 为常数，F(s) 为 s 的适当函数，因为 s_{ε,δ,x}(·, t) 的 L1(?) 估计以及 c_t + F(s_{ε,δ})_x 在 H^{-1}_{loc} 中的紧性。

其次，为证明当 ε, δ 趋于零时 (ρ_{ε,δ}, u_{ε,δ}) 的逐点收敛性，我们可以将变量 s 固定或视为参数，借助 2×2 多方气体动力系统 (1.20) 上的紧性框架 [8]、[9]，证明 (ρ_{ε,δ}, u_{ε,δ}) 的逐点收敛性并获得解的整体存在性。

本文的主要结果列于以下定理 1。

定理 1 设初值 (ρ?(x), u?(x), s?(x)) 在 L^∞(?) 中有界，且 |s?(x)| ≤ N，|s?,x|_{L1(?)} ≤ c? < 1，其中 N, c? 为两个正常数。

然后，(I) 对于固定的 ε, δ，柯西问题 (1.17) 和 (1.18) 的整体光滑解 (ρε,δ, uε,δ, sε,δ) 存在，并满足 |sε,δ| ≤ N, |sε,δx(·, t)|_{L1(?)} ≤ c? < 1，且
{
? z(ρε,δ, uε,δ, sε,δ) ≤ M ? c ∫?∞? |sε,δx| dx ≤ M,
?
? w(ρε,δ, uε,δ, sε,δ) ≤ M + c ∫?∞? |sε,δx| dx ≤ M + c·c?,

其中 z, w 是等熵系统 (1.5) 的黎曼不变量，由 (1.11) 给出；c, M 是两个合适的充分大的常数，满足 M ≤ c 和 0 < c·c? < M。(II) 存在 (ρε,δ(x, t), uε,δ(x, t), sε,δ(x, t)) 的一个子列，当 ε, δ 趋于零时，在集合 ρ? = {(x, t) : ρ(x, t) > 0} 上逐点收敛到一组有界函数 (ρ(x, t), u(x, t), s(x, t))，且极限是柯西问题 (1.3)-(1.4) 的一个弱熵解。

例子：我们可以选取 (ρ?(x), u?(x), s?(x)) 使得 z(ρ?(x), u?(x), s?(x)) ≤ L 且 w(ρ?(x), u?(x), s?(x)) ≤ L，其中 L > 0 为任意常数。令 c? = 1/2，c = M = 2L。则显然满足定理 1 中的所有条件。特别地，
z(ρε,δ?(x), uε,δ?(x), sε,δ?(x)) ? (M ? c ∫?∞? |sε,δ?x(x)| dx) ≤ 0
w(ρε,δ?(x), uε,δ?(x), sε,δ?(x)) ? (M + c ∫?∞? |sε,δ?x(x)| dx) ≤ 0，

我们将利用这些不等式，通过对 (2.6) 应用极值原理来证明 (2.20) 中的估计。

定义 1：一组有界函数 (ρ(x, t), u(x, t), s(x, t)) 称为柯西问题 (1.3)-(1.4) 的弱熵解，若
{
? ∫?^∞ ∫?∞^∞ ρ φ_t + ρu φ_x dx dt + ∫?∞^∞ ρ?(x) φ(x, 0) dx = 0,
? ∫?^∞ ∫?∞^∞ ρu φ_t + (ρu2 + θ2/(γ ρ^γ) e^(2s)) φ_x dx dt + ∫?∞^∞ ρ?(x) u?(x) φ(x, 0) dx = 0,
? ∫?^∞ ∫?∞^∞ ρs φ_t + ρus φ_x dx dt + ∫?∞^∞ ρ?(x) s?(x) φ(x, 0) dx = 0,

对所有测试函数 φ ∈ C?1(? × ??) 成立，并且
∫?^∞ ∫?∞^∞ η(ρ, m, Υ) φ_t + q(ρ, m, Υ) φ_x dx dt ≥ 0

对任意非负测试函数 φ ∈ C?^∞(? × ??_{t=0}) 成立，其中 m = ρu, Υ = ρs，且 (η, q), η(0, m, Υ) = 0 是系统 (1.3) 的一对凸的弱熵-熵通量。

证明片段：定理 1 的证明

在本节中，我们将分别利用若干引理的结论来证明定理 1 的 (I) 和 (II)。

定理 1 中 (I) 的证明。遵循半线性抛物型系统的标准理论，对于任意固定的 ε > 0, δ > 0，我们可以容易地证明，柯西问题 (1.17) 带有有界可测初始数据 (1.18) 总是存在局部光滑解 (ρε,δ(x, t), uε,δ(x, t), sε,δ(x, t)) ∈ C^∞(? × (0, τ))，其中 τ 为一个小时间，仅依赖于初始数据的 L^∞ 范数。

在我们得到……之后

CRediT 作者贡献声明
卢云光：写作——审稿与编辑，写作——初稿，方法论，资源，调查。

利益冲突声明
作者声明不存在利益冲突。

致谢
本文部分工作受中国国家自然科学基金（编号 12071106）以及德国洪堡研究学者奖学金支持。作者非常感谢维尔茨堡大学的同事们给予的热情款待。作者也衷心感谢匿名审稿人对稿件的仔细阅读以及提出的建设性意见和建议，这些意见和建议对本论文质量的提升做出了重要贡献。

卢云光
浙江科技大学理学院，中国