Caputo 系统中的精确永久保持：持续记忆补偿、仿射积分器的锐峰界与尾部代价定律

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Exact Permanent Hold in Caputo Systems: Continuing Memory Compensation, Sharp Peak Bounds for Affine Integrators, and Tail-Cost Laws

　　

摘要

对于具有固定下终端的 Caputo 系统，一条在有限时间后变为常数的轨迹通常会保留由其先前运动所决定的非零导数。本文研究从指定初始状态精确转移至目标状态，并在预定截止时间后实现永久保持，同时不丢弃该记忆效应。平稳后的信号具有局部一致收敛的矩表示，并带有显式的各阶余项。其广义 Stieltjes 变换结构给出了历史水平的执行器范围条件，并表明非常数历史不能由具有有限时间支撑的被控对象有效补偿来维持。对于常漂移仿射积分器 $\mathbf{C}_0D_t^\alpha x = a + Bu$，在任意有限维输入范数下求解了全时域最小峰值问题。设 $\kappa_T = \Gamma(\alpha+1)T^{-\alpha}$ 且 $\Delta = x_e - x_0$，精确值为 $\max\{\rho_{B,\mathcal{U}}(-a),\; \rho_{B,\mathcal{U}}(\kappa_T \Delta - a)\}$。显式不完全 Beta 插值达到该值，因此继承的记忆不会在不可避免的稳态负载和终端转向下限之上产生第三个峰值。欧几里得饱和准则、分量饱和准则以及闭式欧几里得最小截止时间随之得出。与路径无关的尾部势垒和固定历史的矩律刻画了平稳后的记忆增量。对于具有有界模型残差的非线性满秩行被控对象，一个独立的误差管定理给出了在不会触发执行器饱和下的认证裕度；但不声称鲁棒精确保持。计算验证了余项和峰值界限，展示了优化器的普通速度奇异性，并独立传播了具有原始完整记忆的标称和不确定非线性闭环。

引言

分数阶模型用依赖于历史的算子替代局部导数。这种幂律记忆在物理和工程模型中非常有用，但它改变了有限时间到达的含义。如果一条从时间零初始化的 Caputo 轨迹在 $T$ 时刻变为 $x_e$ 并在此之后保持常数，那么对于 $t > T$，
$$\mathbf{C}_0 D_t^\alpha x(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^T (t-s)^{-\alpha} \dot{x}(s)\, ds,$$
这通常非零。因此，终端相等性 $x(T) = x_e$、收敛到 $x_e$ 以及精确不变性（即对所有 $t \geq T$ 有 $x(t) = x_e$）是不同的数学要求。在下文讨论的控制仿射模型中，精确不变性还要求终端后的平衡条件成立，即对所有 $t > T$（几乎处处），
$$f(t, x_e) + Bu(t) + d(t) = \mathbf{C}_0 D_t^\alpha x(t).$$
这一区别解释了为什么多条已有的研究路线相关联但不可互换。非存在性结果排除了广泛自治分数动力系统的非平凡有限时间稳定平衡点[1][2][3]。更直接地，Lü 和 Zuazua[4] 引入了一种记忆感知的完全零可控性概念：控制支撑在 $[0, T]$ 上且状态必须对所有 $t \geq T$ 保持为零。他们证明了即使在控制满维数的有限维系统中，该性质也不成立。他们的结果已经确立了由不可重置的分数阶记忆所产生的基本障碍；本文不声称该障碍为新现象。相反，本文允许 $T$ 时刻之后持续输入，并探究该输入可以维持哪些历史、其被控对象有效分量是否能获得有限支撑、以及其精确全时域峰值和尾部代价是什么。

预设时间和分数阶滑模控制器保持有控制的、通常时间依赖的右端项，并证明了到达或实际收敛性质[5][6][7][8][9][10]。Feng 和 Xiang[11] 同样强调 Caputo 导数在有限时间到达后不一定为零。这些结果并不矛盾：一个到达定理仅在闭环输入也在整个尾部满足(2)时，才能建立原始初始化下的永久保持。

对分布式频率模型的近期几何处理发展了受控和条件不变性，同时用无限维记忆状态表示初始化[12]。该框架在不变性层面上密切相关，但并未建立此处求解的固定下终端 Caputo 全时域输入幅值问题。

近期的分数阶可控性和最优控制研究同样施加终端或有限时域目标。这些包括常输入可达性、最小能量转向、相对和精确终端可控性、时间最优 bang-bang 控制、Pontryagin 型必要条件、以及带有等式、路径或不等式约束的数值优化[13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24]。特别是 Joli? 等人近期的非线性精确可控性结果[24] 寻求使用 $[0, T]$ 上的控制使 $x(T) = x_e$；它不对 $(T, \infty)$ 上的被控对象施加固定记忆方程。温和记忆可控性[25] 和有限窗口导数近似[26] 也很重要，但它们改变了核函数或近似了原始非局部算子。本文的问题保留了原始 Caputo 下终端，并同时施加终端到达和精确终端后不变性。

表 1 记录了目标层面的区别。早期表述中终端后的空白要求并非不可能性主张。它意味着所引用的定理本身并未验证(2)。Lü 和 Zuazua[4] 的完全零可控性障碍排除了对其所处理的分数阶系统简单地关闭控制。本文研究的问题始于剩余的替代方案：保留原始下终端，允许持续补偿，并刻画其执行器范围、时间支撑、最小峰值和尾部代价。重置下终端会消除继承项但改变动力学。

由此产生的问题是：

$(Q_0)$ 哪些历史和目标与执行器矩阵的范围相容，以及有效记忆补偿何时可以具有有限支撑？

$(Q_1)$ 对于常漂移仿射积分器，精确永久保持所必需且充分的峰值和分量执行器容量是什么？

$(Q_2)$ 哪些与路径无关和依赖于历史的量决定平稳后的尾部及其 $p$ 次幂代价？

据作者所知，固定 Caputo 下终端、持续终端后补偿、精确永久不变性以及全时域最小峰值目标的结合，在本文研究的这种形式下此前尚未解决。解析工具——分数阶积分、广义逆、多项式逼近、矩渐近展开和 Stieltjes 变换——是经典的[27][28]。本文的贡献是以下范围内的控制论综合及其核心的锐利优化结果。

1. 持续补偿刻画。在 Lü 和 Zuazua[4] 的记忆感知障碍基础上，利用紧支撑变换的单射性刻画了相对于 $\mathrm{im}\, B$ 的整个可行历史，并证明即使持续的被控对象有效补偿也不能具有有限支撑，除非历史为常数。受控目标约化将已知的平衡输入与继承信号分离，显式的保留模型记录了部分或完全重置如何改变该结论。

2. 仿射积分器的锐利全时域峰值律。在任意有限维输入范数下识别了两个不可避免的下限：稳态目标平衡负载和终端转向负载。正则化不完全 Beta 插值在整个半轴上达到它们的最大值。因此继承的记忆不产生第三个峰值溢价。无漂移无溢价律、欧几里得唯一性域、加权分量饱和准则以及闭式欧几里得最小截止时间作为推论得出。

3. 普适与历史分辨的尾部律。任何非零位移都施加了与路径无关的 $t^{-\alpha}$ 势垒。对于固定的可行历史，第一个非零速度矩决定了精确的平稳后代价渐近展开，而平移 Legendre 速度实现了所有高阶矩尾部。

支撑结果提供了带有显式余项的收敛矩表示、平稳界面正则性准则、标称逆动力学实现定理、鲁棒误差管和饱和裕度证书，以及显式光滑参考。与定理链接的计算检验了余项和峰值界限，比较了仅终端、重置、锐利和光滑参考构造，并传播了非线性冗余执行器闭环而不重用解析状态。精确绝对输入峰值最优性仍限于常漂移和常输入矩阵。未知的模型残差给出认证管，而非鲁棒精确保持。

章节片段

分数阶模型和精确保持表述

设 $0 < \alpha < 1$。对于 $g \in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty); \mathbb{R}^n)$，定义 Riemann–Liouville 分数阶积分
$$(\mathcal{I}^\alpha g)(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} g(s)\, ds.$$
对于 $x \in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty); \mathbb{R}^n)$，其具有固定下终端 $0$ 的 Caputo 导数为
$$\mathbf{C}_0 D_t^\alpha x(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t (t-s)^{-\alpha} \dot{x}(s)\, ds.$$
分数阶积分的半群性质给出 $\mathcal{I}^\alpha \mathbf{C}_0 D_t^\alpha x(t) = x(t) - x(0)$。实际上，将(4)代入(3)，应用 Fubini 定理，并使用
$$\int_s^t (t-\tau)^{\alpha-1}(\tau-s)^{-\alpha}\, d\tau = B(\alpha, 1-\alpha) = \Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha),$$
可将二重积分化简为 $\int_0^t \dot{x}(s)\, ds$。定义和标准的性质如下所述。

记忆尾部：精确公式、展开与单射性

对于 $T$ 时刻之后为常数的轨迹，引入外部记忆变换
$$\mathcal{M}_{x,T}(t) := \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^T (t-s)^{-\alpha} \dot{x}(s)\, ds, \quad t > T.$$
对于 $k \geq 0$，将其速度矩记为
$$\mu_{k,T}(x) := \int_0^T s^k \dot{x}(s)\, ds.$$
特别地，$\mu_{0,T}(x) = x_e - x_0$。

定理 1 精确矩表示与尾部展开

设 $x \in AC([0,T]; \mathbb{R}^n)$，并将其扩展为对 $t \geq T$ 有 $x(t) = x_e = x(T)$。则对 $t > T$ 有 $\mathbf{C}_0 D_t^\alpha x(t) = \mathcal{M}_{x,T}(t)$，且
$$\mathcal{M}_{x,T}(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_k}{k!} \mu_{k,T}(x)\, t^{-\alpha-k}, \quad t > T,$$
其中 $(\alpha)_k = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)$ 为下降阶乘符号。该级数在任意 $[T+\varepsilon, \infty)$ 上绝对且一致收敛，$\varepsilon > 0$。对于每个整数 $N \geq 0$ 和每个 $t > T$，
$$\mathcal{M}_{x,T}(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \sum_{k=0}^{N} \frac{(\alpha)_k}{k!} \mu_{k,T}(x)\, t^{-\alpha-k} + R_N(t),$$
其中余项为
$$R_N(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^T \left[(t-s)^{-\alpha} - \sum_{k=0}^{N} \frac{(\alpha)_k}{k!} s^k t^{-\alpha-k}\right] \dot{x}(s)\, ds.$$

路径可实现性与结构障碍

设 $B^\dagger \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 为 $B$ 的 Moore–Penrose 逆[34][35]。使用固定投影记号
$$P_B := BB^\dagger \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad P_B^\perp := I_n - P_B, \quad N_B := I_m - B^\dagger B.$$
这里 $P_B$ 和 $P_B^\perp$ 分别是到 $\mathrm{im}\, B$ 和 $(\mathrm{im}\, B)^\perp$ 的正交投影，$N_B$ 是到 $\ker B$ 的正交投影。

命题 2 轨迹可实现条件

设 $r \in C^1([0,\infty); \mathbb{R}^n)$ 满足 $r(0) = x_0$，设 $d \in L^1_{\mathrm{loc}}$。定义
$$v_r(t) := \mathbf{C}_0 D_t^\alpha r(t) - f(t, r(t)) - d(t).$$
存在局部可积输入使 $x = r$ 满足(6)当且仅当
$$v_r(t) \in \mathrm{im}\, B \quad \text{对几乎所有} \; t \geq 0 \; \text{成立}.$$
当(26)成立时，所有实现输入为
$$u(t) = B^\dagger v_r(t) + (I_m - B^\dagger B)w(t),$$
其中 $w \in L^1_{\mathrm{loc}}$ 是任意的。

标称记忆一致的参考实现

在本节中，假设 $\mathrm{rank}\, B = n$。则 $m \geq n$ 且
$$B^\dagger = B^\top (BB^\top)^{-1}, \quad BB^\dagger = I_n.$$
选取任意紧过渡参考 $r \in C^1([0,\infty); \mathbb{R}^n)$ 满足
$$r(0) = x_0, \quad r(t) = x_e \;(t \geq T).$$

定理 3 标称精确参考实现

假设假设 1 成立。设 $K = K^\top \succeq 0$，设 $d \equiv 0$，并施加
$$u(t) = B^\dagger [\mathbf{C}_0 D_t^\alpha r(t) - f(t, x(t)) - K(x(t) - r(t))].$$
则闭环 Volterra 方程具有唯一弱解 $x = r$；该解也是古典解，并且满足
$$x(t) = r(t) \quad \text{对所有} \; t \geq 0 \; \text{成立}.$$
特别地，从预定截止时间开始保持目标。对于 $t > T$，标称补偿为
$$u(t) = B^\dagger \mathcal{M}_{r,T}(t),$$
其中 $\mathcal{M}_{r,T}$ 由定理 1 刻画。

仿射积分器的锐利全时域峰值界限

有限区间可控性和最优控制表述在有限时域上施加终端状态或代价[14][15][16]。有界控制时间最优 Caputo 问题则最小化首次到达时间并产生 bang-bang 控制[18][23]。在不确定性、观测器和执行器故障下的鲁棒和饱和分数阶跟踪也已被研究[38][39]；这些结果处理稳定性或有界跟踪，而非精确全时域极小极大问题。

普适尾部势垒和固定历史代价律

以下结果与路径无关，因此避免了在不同平稳前历史之间的无效逐点对比。

定理 5 普适位移尾部势垒

设 $\|\cdot\|_{\mathcal{U}}$ 为任意输入范数。在定理 2 的假设下，若 $\Delta = x_e - x_0 \neq 0$，则每个精确保持输入满足
$$\mathrm{ess\,liminf}_{t \to \infty} \, t^\alpha \|u(t)\|_{\mathcal{U}} \geq \frac{\rho_{B,\mathcal{U}}(\Delta)}{\Gamma(1-\alpha)}.$$
因此，对于每个满足 $\alpha/p \leq 1$ 的 $p > 0$，其平稳后 $p$ 次幂代价为 $+\infty$。

证明 对几乎所有 $t > T$，由定理 2 有 $Bu(t) = \mathcal{M}_{x,T}(t)$；因此 $\|u(t)\|_{\mathcal{U}} \geq \rho_{B,\mathcal{U}}(\mathcal{M}_{x,T}(t))$。定理 1 给出 $t^\alpha \mathcal{M}_{x,T}(t) \to \Delta / \Gamma(1-\alpha)$。连续性和...

闭式光滑五次多项式过渡

对于显式光滑参考，设
$$\sigma(\theta) = 10\theta^3 - 15\theta^4 + 6\theta^5, \quad 0 \leq \theta \leq 1,$$
使得 $\sigma(0) = 0$，$\sigma(1) = 1$，且其前两个导数在两端点处为零。以全局约定 $\Delta := x_e - x_0$，定义
$$r(t) = \begin{cases} x_0 + \sigma(t/T)\,\Delta, & 0 \leq t \leq T, \\ x_e, & t > T. \end{cases}$$
则 $r \in C^2([0,\infty); \mathbb{R}^n)$。设 $(d_3, d_4, d_5) = (10, -15, 6)$。该光滑参考并非峰值最优：与定理 4 中的优化器不同，它在初始时刻施加有界普通速度。

命题 11 闭式 Caputo 前馈

对于 $0 < t \leq T$，
$$\mathbf{C}_0 D_t^\alpha r(t) = \Delta \sum_{j=3}^{5} d_j \frac{\Gamma(j+1)}{\Gamma(j+1-\alpha)} T^j t^{j-\alpha}.$$
对于 $t > T$，
$$\mathbf{C}_0 D_t^\alpha r(t) = \frac{\Delta}{\Gamma(1-\alpha)} \sum_{j=3}^{5} \frac{j\, d_j}{T^j} t^{j-\alpha}\, B(T/t;\, j, 1),$$
其中 $B(\cdot;\, j, 1)$ 为不完全 Beta 函数。

解析不可截断反例

不可截断定理是抽象的。标量分数阶积分器使该机制完全显式：
$$\mathbf{C}_0 D_t^\alpha x(t) = u(t), \quad x(0) = x_0.$$
设 $r$ 为任意 $C^1$ 紧过渡参考，满足 $r(0) = x_0$ 且对 $t \geq T$ 有 $r(t) = x_e$。记忆一致输入为对所有 $t \geq 0$ 有 $u_c(t) = \mathbf{C}_0 D_t^\alpha r(t)$。

命题 13 有限输入截断后的状态恢复

固定任意 $T_c \geq T$ 并定义截断输入
$$u_{\mathrm{tr}}(t) = \begin{cases} u_c(t), & 0 \leq t \leq T_c, \\ 0, & t > T_c. \end{cases}$$
则 $x_{\mathrm{tr}}(t) = r(t)$ 对 $0 \leq t \leq T_c$ 成立，因此在截断时间内保持 $x_e$。对于 $t > T_c$，
$$x_{\mathrm{tr}}(t) = x_0 + \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{T_c} (t-s)^{\alpha-1} u_c(s)\, ds.$$
若 $u_c \in L^\infty(0, T_c)$ 且...

定理关联计算和独立全记忆验证

本节的计算检验定理的后果但不替代其证明。每个报告的数字由存档脚本和机器可读输出[40]生成。闭式恒等式和定理界限的检验与对非线性 Volterra 方程的独立数值传播分开进行。

范围讨论及与已有理论的关系

分析澄清了为什么受控预设时间收敛和自治有限时间平衡点的非存在性可以同时正确。经典非存在性结果[1][2][3] 关注的是自治右端为零的常数状态。Lü 和 Zuazua[4] 已经证明完全零可控性在控制支撑于平稳时间之前时失败，因为记忆也必须被控制。Feng 和 Xiang[11] 的有限时间平衡表述允许...

结论

本文关注从指定初始状态精确转移至目标状态并在预定截止时间后永久保持，而非一组初始条件的预设时间稳定化。具有固定 Caputo 下终端时，平稳后的导数是平稳前速度的紧支撑广义 Stieltjes 变换。其单射性产生了历史水平的执行器范围障碍，并证明非常数历史不能由具有有限支撑的被控对象有效补偿来维持。

未引用浮动

表 3 和图 5。

生成式 AI 和 AI 辅助技术在手稿准备过程中的声明

在本工作准备过程中，作者使用 ChatGPT 协助编辑数学表述、组织文献和审查计算代码。作者审查和编辑了内容，验证了数学论证、数值结果和引用，并对发表的文章承担全部责任。

数据和代码可用性

支持本研究的代码和生成的数值数据通过 Zenodo 记录公开可用：https://doi.org/10.5281/zenodo.21310170 [40]。

归档的发布版本包含源代码、依赖规范、生成的图形、数值结果以及一个一键复现的入口点。

利益冲突声明

作者声明不存在竞争利益。

CRediT作者贡献声明

Junpeng Liu：概念构思、方法设计、形式分析、调查研究、软件开发、验证、可视化、撰写—初稿、撰写—审阅与编辑。

CRediT作者贡献声明

Junpeng Liu：形式分析、概念构思、调查研究、方法设计、软件开发、验证、可视化、撰写—初稿、撰写—审阅与编辑。

利益冲突声明

作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能被认为会影响本文所述的工作。

资金支持

本研究未获得公共、商业或非营利部门资助机构的任何特定拨款。

Junpeng Liu

长春理工大学数学与统计学院，吉林省长春市卫星路7186号，130022，中国