压电双材料中极化方向对界面裂纹特性的影响

《Engineering Fracture Mechanics》：Influence of poling directions in piezoelectric bimaterials on interfacial crack characteristics

　　

•裂纹尖端奇异性仅由极化角之差所决定。•在某些双相材料中，随着极化角差的增大，识别出从κ类到ε类的转变。•由同一种压电材料制成的双相材料始终属于κ类。•推导了任意极化方向下能量释放率的一般表达式。•获得了平行极化和反平行极化情况下的能量释放率闭合解。

引言

压电材料在现代工程应用中的大量使用，使得人们对其断裂机理的研究产生了持续的兴趣。最常见的研究对象是双相材料和复合材料，由于可以有目的地组合其力学、电学和功能特性，它们被广泛用于智能结构中。然而，组分的电-力学特性差异导致界面处产生应力集中，使此类结构容易萌生和扩展界面裂纹。由于压电材料的脆性断裂行为，界面裂纹构成了压电器件和智能结构中主要的退化机制，往往导致其强度、可靠性和使用寿命的显著降低。

压电断裂力学的理论基础在专著[1]中得到了系统阐述，并在许多关于电-力学耦合介质中裂纹的研究中得到了进一步发展，特别是在文献[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]中。该领域的重要进展已在多篇综述论文和专著[18]、[19]、[20]、[21]中进行了记录。

在大多数关于界面裂纹行为的研究中，采用的是最初在Eshelby等人[22]、Stroh[23]和Ting[24]的工作中为各向异性弹性介质所开发的方法，随后被推广到压电介质[25]、[26]。研究已确立，压电双相材料中的界面裂纹可能表现出振荡奇异性（与弹性双相材料类似）或非振荡奇异性。这导致了ε类（振荡行为）和κ类（非振荡行为）分类的发展[18]、[27]，该分类成为压电体中界面裂纹分析的基础，并在许多考虑各种边界条件和物理效应的研究中得到了广泛应用[28]、[29]、[30]、[31]。在大多数情况下，材料的极化方向被规定为固定的（通常垂直于裂纹）。这种假设大大限制了所获得结果的适用性，因为在实际情况中极化方向可能变化，极化角是一个重要的参数，显著影响应力和电场的分布以及奇异性和断裂参数的特征。

近年来，极化方向对压电双相材料界面裂纹特性的影响引起了越来越多的关注。Pryce等人[32]使用边界积分方程法研究了不同极化方向下半无限界面裂纹在不同加载面下的行为。Viun等人[33]通过复变函数法和有限元法研究了极化方向对有限可渗界面裂纹行为的影响。Hrstka等人[34]分析了极化方向对双组分配体材料中缺口和裂纹尖端附近电-力学场奇异性特征的影响。结果表明，双相材料属于ε类或κ类并不是一种不变特征，而是取决于其组分的相互取向。Zhao等人[35]考虑了极化方向对夹层结构中界面裂纹特性的影响。Govorukha等人[36]研究了具有不同极化方向的双相材料中带接触区的电可渗裂纹模型。

界面裂纹问题的另一种解析方法是分布位错技术（DDT），最初由Bilby和Eshelby[37]提出，并在Hills等人的专著[38]中进行了全面阐述。DDT结合积分变换方法已成功应用于压电材料，特别是多裂纹系统[39]、[40]、[41]。在DDT框架内，断裂问题被转化为以分布位错密度表述的奇异积分方程，为处理复杂几何形状和加载条件提供了一种灵活高效的方法。Stroh形式化方法具有不同的适用范围，并提供互补的优势。它不侧重于复杂的裂纹构型，而是通过与控制方程相关的特征值问题，为研究电-力学场的基本结构提供了统一的解析框架。因此，两种方法应被视为互补而非竞争，各自适用于不同类型的断裂力学问题。

尽管Stroh形式化方法和DDT都为界面裂纹问题的分析提供了强大的解析工具，但在统一的解析框架内，任意极化方向对奇异电-力学场的影响尚未得到研究。特别是，控制振荡奇异性与非振荡奇异性之间转变的条件尚未以一般形式建立，对应于任意和极限极化构型的能量释放率解析表达式仍然不可得。

本研究通过将近轴对称压电双相材料的Stroh形式化扩展到任意极化方向来解决这些问题。所提出的公式使得能够系统地分析控制裂纹尖端奇异性的特征值结构，并推导在平行极化和反平行极化方向等重要极限情况下能量释放率的闭合表达式。这些结果为材料极化在界面断裂中的作用提供了新的解析见解，并为具有任意极化构型的压电双相材料结构的分析和设计建立了理论基础。

问题片段

问题公式化与基本关系

考虑占据平面x?x?的双相材料的二维变形。该双相材料由两种横观各向同性压电材料组成，标记为1和2，分别位于半平面x?>0和x?<0中。材料的极化方向与x?轴分别成角ψ?和ψ?。材料沿界面x?=0完美粘接，除了在x? 0

特征值p?是特征方程

Q + p?(R + R^T) + p?2T = 0，k = 1,2,3,4

的根，其中

Q = [[c??, 0, 0, 0], [0, c??, 0, e??], [0, 0, ?(c??-c??), 0], [0, e??, 0, -χ??]]

R = [[0, c??, 0, e??], [c??, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [e??, 0, 0, 0]]

T = [[c??, 0, 0, 0], [0, c??, 0, e??], [0, 0, c??, 0], [e??, 0, 0, -χ??]]

作用于上的广义面力向量

具有不同取向极化方向的双相材料性质

设材料1和2的极化角分别为ψ?和ψ?（图1）。我们用Y?(ψ?)、Y?(ψ?)、H(ψ?,ψ?)替换先前的记号Y?、Y?、H。根据[26]，

Y?(ψ?) = Ω(ψ?)Y?(0)Ω^T(ψ?)，m = 1,2

其中 Ω(ψ) = [[cosψ, sinψ, 0, 0], [-sinψ, cosψ, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]

是一个正交矩阵，具有性质 Ω^T(ψ) = Ω?1(ψ) = Ω(-ψ)，Ω(ψ+θ) = Ω(ψ)Ω(θ)，detΩ(ψ) = detΩ^T(ψ) = 1。

用所定义的记号表示，双相矩阵具有以下形式：

H(ψ?,ψ?) = Ω(ψ?)Y?(0)Ω^T(ψ?) + Ω(ψ?)Y??(0)Ω^T(ψ?)

而特征方程(12)

结论

利用Stroh形式化，研究了双相材料组分的极化方向对裂纹尖端附近电-力学场奇异性的性质和强度以及能量释放率的影响。

研究发现，裂纹尖端奇异性仅取决于双相材料组分极化角之差。所得结果扩展了在[27]中提出的奇异性分类，并表明对于某一类别的

CRediT作者贡献声明

V. Adlucky：调查研究。V. Loboda：概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能影响本文报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

感谢乌克兰国家研究基金会（项目编号：2025.07/0117）的支持。

V. Adlucky | V. Loboda