具有异质惯性的有向网络中多智能体系统的共识问题

《European Journal of Control》：Consensus of multi-agent systems with heterogeneous inertias in a directed network

　　

• 我们开发了一种利用严格对角占优矩阵特性的新方法来解决一致性（共识）问题。这是该方法首次用于一致性分析。
• 我们提出了具有异质惯性（包括恒定惯性和时变惯性）的多智能体系统在定向网络中的一致性充分条件。此外，我们还首次推导了所有智能体系统最终收敛到的共识状态。
• 我们使用拉格朗日方程建立了具有异质时变惯性的多智能体系统的模型。

**引言**

近年来，多智能体系统的一致性（共识）问题因其广泛的实际应用而受到大量关注，包括自主移动机器人的协同控制、分布式传感器网络的设计以及通信网络中的拥塞控制 Jadbabaie et al. (2003)-Zhan et al. (2024)。关于具有相同惯性的多智能体系统达成一致性的条件，已有丰富的文献研究。Zhu et al. (2009) 研究了具有双积分器动力学的多智能体系统的一般情况下的共识问题，并获得了求解一致性问题所需的充要条件。Yu et al. (2010) 提出了有时间和无时间延迟的多智能体动力系统中二阶一致性的若干充要条件。已有结果表明，除了有向生成树条件之外，非对称拉普拉斯矩阵特征值的实部和虚部都起着重要作用 Zhu et al. (2009)-Yu et al. (2010)。

人们采用了多种控制方法来处理各种一致性问题。Lin and Jia (2010) 研究了具有时间延迟和联合连通拓扑的一类二阶连续时间多智能体系统的一致性（共识）问题。Zhang et al. (2023) 利用自适应控制研究了时变编队包容跟踪问题。对于非线性多智能体系统，Zhang et al. (2025) 讨论了在有向拓扑下实现指定时间编队的问题。对于异质多智能体系统，也研究了指定时间编队控制 Zhang et al. (2026a)-Zhang et al. (2026b)。值得注意的是，所构造的辅助系统可以解决系统的异质性和切换特性。

需要注意的是，由于设计限制和固有属性，智能体系统的惯性可能各不相同 Lee and Spong (2007)-Li and Spong (2010)。因此，在实际应用中不能忽视智能体惯性的异质性。此外，智能体系统的惯性对多智能体系统的一致性具有显著影响，如果忽略智能体的惯性效应，将导致不稳定的群体行为 Lee and Spong (2007)-He and Dong (2022)。因此，有必要研究具有异质惯性的多智能体系统的一致性问题。

我们注意到，智能体具有时变惯性的假设既具有一般性又符合实际。例如，飞行器上的燃料消耗或载荷释放会减少飞行器质量 Li and Spong (2010)-Mei et al. (2016)。因此，本文研究具有异质时变惯性的多智能体系统在定向网络中的一致性问题。利用拉格朗日方程，建立了具有异质时变惯性的多智能体系统的数学模型，其中惯性的导数起着重要作用。为了获得更一般的结果，在理论分析中考虑有向网络而非无向网络。利用李雅普诺夫稳定性，我们推导了所有智能体系统状态达成一致的条件。此外，我们还推导了所有智能体系统最终收敛到的共识状态。

本文的主要贡献体现在以下三个方面：

(i) 开发了一种利用严格对角占优矩阵特性求解一致性问题的新方法 Nieuwenhuis and Schoonbeek (1997)。
(ii) 提出了具有异质惯性的多智能体系统在定向网络中的一致性充分条件，包括恒定惯性和时变惯性。此外，还推导了所有智能体系统最终收敛到的共识状态。
(iii) 我们建立了具有时变惯性的多智能体系统的模型。

与现有文献相比，我们研究的是具有异质恒定惯性的多智能体系统的一致性问题，而不是具有相同惯性的情况。利用严格对角占优矩阵的特性，我们推导了具有异质恒定惯性的多智能体系统的充分条件。利用拉格朗日方程，我们建立了具有时变惯性的多智能体系统的模型，并推导了充分条件。

本文其余部分组织如下。第2节阐述问题的公式化和预备知识。第3节呈现具有异质恒定惯性的多智能体系统的一致性结果。第4节呈现具有时变惯性的多智能体系统的一致性结果。第5节给出一些数值算例。最后，第6节对本文进行了简要总结。在本文中，R_m、‖·‖、?、I_m 和 0 分别表示 m 维实向量、2-范数、克罗内克积、m×m 单位矩阵以及适当维度的全零实向量或矩阵。

**预备知识与问题描述**

具有异质恒定惯性的多智能体系统问题描述为：

$$\begin{cases} \dot{x}_i(t) = v_i(t), \\ m_i \dot{v}_i(t) = u_i(t), \end{cases} \quad i=1,\ldots,n$$

其中，$x_i(t)$、$v_i(t)$、$u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ 和 $m_i > 0$ 分别表示智能体 $i$ 的位置、速度、控制输入和质量。对于系统 (1)，我们考虑以下两种协议 Ren and Atkins (2007)-Wang and Xie (2007)，使用绝对速度阻尼：

$$u_i(t) = -b v_i(t) + \sum_{j=1}^n c_{ij}(x_j(t) - x_i(t)), \quad b > 0$$

和相对速度阻尼：

$$u_i(t) = \sum_{j=1}^n c_{ij}(\alpha(x_j(t) - x_i(t)) + \beta(v_j(t) - v_i(t)))$$

**具有异质恒定惯性的多智能体系统一致性算法**

在本节中，我们研究具有异质恒定惯性的多智能体系统的一致性问题。下面，我们给出使用协议 (2) 的系统 (1) 的一致性结果。

**定理 1** 考虑使用协议 (2) 的系统 (1)。假设图 $\mathcal{G}$ 具有有向生成树且 $b^2 - 2m_i l_{ii} \geq 0$。则，

$$\lim_{t \to \infty} \|x_i(t) - \sum_{j=1}^n \xi_j (b x_j(0) + m_j v_j(0))\| = 0, \quad \lim_{t \to \infty} \|v_i(t)\| = 0$$

其中 $b \sum_{j=1}^n \xi_j = 1$，$i=1,\ldots,n$。

**证明** 设 $x(t) = (x_1^\top(t), \ldots, x_n^\top(t))^\top$，$v(t) = (v_1^\top(t), \ldots, v_n^\top(t))^\top$。则，使用协议 (2) 的系统 (1) 可以写为：

$$\begin{bmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{v}(t) \end{bmatrix} = D \otimes I_m \begin{bmatrix} x(t) \\ v(t) \end{bmatrix}$$

**具有时变惯性的多智能体系统一致性算法**

在本节中，我们研究具有时变惯性的多智能体系统的一致性问题。具有异质时变惯性的多智能体系统问题描述如下（见附录 C）：

$$\begin{cases} \dot{x}_i(t) = v_i(t), \\ m_i(t) \dot{v}_i(t) + \dot{m}_i(t) v_i(t) = u_i(t), \end{cases} \quad i=1,\ldots,n$$

其中，$m_i(t) > 0$ 表示时刻 $t$ 智能体 $i$ 的质量，$u_i(t)$ 分别由 (2) 和 (3) 描述。下面，我们使用协议 (2) 求解系统 (6) 的一致性问题。

**定理 3** 考虑使用协议 (2) 的系统 (6)。假设：

**数值算例**

本节考虑四个算例来说明理论结果的有效性。如果智能体 $i$ 能够接收到智能体 $j$ 的信息，则 $c_{ij}=1$；否则，$c_{ij}=0$。六个智能体的初始条件分别为 $x_1(0)=-0.5$、$x_2(0)=0.3$、$x_3(0)=0.4$、$x_4(0)=0.2$、$x_5(0)=0.6$、$x_6(0)=0.5$、$v_1(0)=0.2$、$v_2(0)=0.5$、$v_3(0)=-0.4$、$v_4(0)=0.8$、$v_5(0)=0.4$ 和 $v_6(0)=-0.3$。通信拓扑由图 1 给出。显然，图 $\mathcal{G}$ 是强连通的且具有有向生成树。

**结论**

在本文中，我们研究了具有异质惯性的多智能体系统的一致性问题，包括恒定惯性和时变惯性，在定向网络中。推导了具有异质恒定惯性的多智能体系统的最终共识状态。建立了具有时变惯性的多智能体系统的数学模型，并推导了具有时变惯性的多智能体系统达成一致性的充分条件。此外，我们还…

**未引用参考文献**

Hong et al. (2007); Lu and Liu (2021); Moreau (2005); Olfati-Saber and Murray (2004); Ren and Beard (2005); Tanner et al. (2007)

**CRediT 作者贡献声明**

Shan Cheng：撰写——原始草稿、方法论。Hua Chen：撰写——审阅与编辑。

**利益冲突声明**

作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

Shan Cheng | Hua Chen