影响压电磁电热弹耦合中跨微梁热弹阻尼的临界材料阈值

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Critical material thresholds influencing thermoelastic damping in piezoelectro-magneto-thermoelastic midspan microbeams

　　

• 研究了压电-磁致伸缩-热弹微梁的热弹阻尼（TED）。
• 考虑了跨中条件产生的对称和反对称模式。
• 精确计算了临界厚度和临界长度，保留5位小数。
• 分析了Green-Lindsay（GL）、Lord-Shulman（LS）和经典（CL）热理论。
• Vf在[0.4, 0.6]范围内存在一个临界值，会反转TED的性质。

引言

微机电系统（MEMS）是一种将机械部件和电气元件相结合的小型器件，通常包含微小的运动结构。它们通过特殊的微加工工艺制造。在这些器件中，微尺度挠曲梁是重要的组成部分，广泛应用于电子滤波器、通信系统、能量收集器件和传感器等领域，正如Wang等人（2000）、Nguyen（1998）、Gao等人（2026）、Shim等人（2022）等文献所述。

Hao等人（2003）、Chu（2016）、Zhu等人（2025）、Y. Li等人（2026）等研究已识别出微谐振器中的多种能量耗散机制，包括表面损耗、空气阻尼、热弹阻尼（TED）、电子-声子耦合损耗和锚定损耗。由于低能量耗散是谐振器高效运行的基本要求，理解这些机制至关重要。谐振器的整体动态行为和效率在很大程度上由这些损耗来源决定。为了在振动过程中最小化能量耗散，谐振系统力求实现高的无量纲Q因子（品质因数），Q因子代表谐振器中储存的总能量与每个振动周期损失的能量之比。较高的Q因子意味着较低的能量耗散，振动衰减更慢并持续更久。在微/纳尺度梁中，可实现的最大Q因子从根本上受到各种耗散机制的限制，其中热弹阻尼（TED）起主导作用，通常设定了性能上限。因此，准确分析和预测TED对于提高梁的性能和建立实际的运行限制至关重要。Nádai（1925）首先研究了热弹耦合对结构动力学的影响。随后，Zener（1937）、Zener（1938）、Zener等人（1938）发展并系统分析了一维近似TED理论，奠定了现代热弹阻尼研究的基础。在Zener的开创性工作之后，许多研究者对其分析进行了扩展和改进。此后，这些理论被广泛用于研究板、谐振器、环、圆柱、圆盘和层状系统等结构的振动行为和热弹阻尼，参见Kumar和Mukhopadhyay（2020）、Ranji等人（2023）、Li和Wan（2026）、Li等人（2021）、Zhang等人（2025）等的研究。此外，Singh和Jaiswal（2025）、S. Guha和A.K. Singh（2022）、Weng等人（2021）、Srivastava和Mukhopadhyay（2024）、Guha和Singh（2021a）、Kumar和Mukhopadhyay（2022）也对微/纳米梁的TED进行了分析。尽管均匀梁和压电梁的TED已被广泛研究，但截至目前的文献中，磁电耦合和广义热弛豫对模态对称约束微梁的联合影响仍未被探索。这一文献空白促成了本研究，考虑到其在各种科学和工程应用中可能的重要性。

要创建频率敏感的MEMS/NEMS，需要深入研究热弹耦合对微/纳尺度谐振器固有频率的影响。许多谐振器组件在振动过程中会经历周期性的压缩和拉伸。这些振荡性周期性应力场由于热弹耦合会产生时变温度场。由于能量耗散，随后的热-机耦合会减小振动幅度。现有文献中包含大量研究各种构型下TED的研究。然而，跨中对称约束从根本上改变了模态曲率分布，从而改变了热弹热流的空间结构。因此，我们研究了微尺度PEMT梁在跨中条件下的TED，这些跨中梁广泛用于许多技术领域，同时考虑了这些因素。微梁谐振器利用压电耦合和热弹效应实现高Q谐振器、频率调谐或温度补偿谐振器。热-机载荷下的TED至关重要——跨中行为控制主导弯曲模态和Q因子（Mondal和Sur, 2025）。嵌入或附着压电纤维的微梁可用作传感器和执行器来测量或抑制振动。跨中挠度和应变决定弯曲模态下的传感器输出和执行器权限（Roy等人, 2010, Her和Chen, 2022）。压电热效应使PFRC微梁能够感知瞬态温度变化并将热脉冲转换为电信号。跨中温度梯度强烈影响产生的热电电压和局部热弹应力（Lv等人, 2021）。跨中的应变/温度控制热活性微梁的采集功率密度和机电转换效率（S. Guha和A.K. Singh, 2022）。在复合跨中微梁或小型构件中嵌入压电纤维可以实现服役状态下的应变、分层和固化状态监测，还有助于检测最大弯曲信号和早期损伤累积（Yu等人, 2021）。主动PFRC微梁可被驱动产生超声波或精细执行动作，跨中弯曲幅度和热弹损耗决定带宽和位移（Eynbeygi和Aghdam, 2015）。考虑到这些因素，我们研究了微尺度PEMT跨中微梁的TED，这些跨中微梁广泛用于许多技术应用程序。

不同材料中热弹行为的详细研究引起了显著的研究兴趣。Biot（1956）基于经典Fourier热传导定律发展了经典耦合热弹性理论，该理论假设任何热扰动在材料中瞬时传播。这一假设意味着无限的热传播速度，物理上是不合理的。为了克服这一局限性，提出了几种广义热弹性模型。值得注意的是，Lord和Shulman（1967）引入了一种包含单一热弛豫时间的理论，导出了双曲热传导方程和有限热波速度。后来，Green和Lindsay（1972）提出了另一种包含温度速率效应和两个热弛豫时间的广义模型。此后，许多研究者在不同背景下应用和扩展了这些热理论（Abouelregal等人, 2021, Guha和Singh, 2020, Li等人, 2026a, Eshkofti和Hosseini, 2024, Mirparizi等人, 2022）。在本工作中，使用统一的热弹模型分别推导并分析了CL、LS和GL热理论，这使得可以直接比较它们对阻尼的影响。在第2节末尾，描述了从统一热弹模型推导三种热理论的过程。

复合材料由于其日益扩展的科学和工程应用而迅速获得重视，这些应用由现代技术进步推动。特别是，纤维增强复合材料因其轻质、高强度、改善的热行为和增强的电磁特性而受到高度重视，使其在针对特定需求的定制化设计中优于整体材料。因此，人们不断努力为建筑、航空航天、远程探索、体育、医疗器械、超声和海洋工业等应用开发和优化这些材料，其中磁电弹复合材料在水下传感、能量收集、通信和执行驱动方面尤其具有前景。然而，准确预测其耦合的机械-电-热行为仍然具有挑战性，从而发展了各种解析和数值方法，如单元法、材料强度理论、有限元法（FEM）、高阶法（AHM）、Eshelby张量和连续介质力学模型（Chen等人, 2022, T. Liu等人, 2023, Tong等人, 2008, Kumar和Chakraborty, 2009, Huang等人, 2000, B. Yang等人, 2025, Brischetto等人, 2025, Sobhy, 2018）。除此之外，Gai等人（2025）和Yue等人（2026）还对基碳复合材料和高阶介电多层结构进行了分析。最近，结合压电和压磁相的多功能复合材料因其增强的耦合场能力而受到越来越多的关注，这在磁场控制的微系统（Cheng等人, 2026）、多功能工程系统（Wangxu等人, 2026）、捕获耦合材料响应（Hong等人, 2020）等方面很重要。可靠预测多功能复合材料的机械响应需要准确表征其有效材料属性、微观结构各向异性和变形行为（Y. Li等人, 2026, Z. Li等人, 2026）。同样，理解耦合磁效应对于在超低磁场下工作的精密磁屏蔽系统（Dou等人, 2026）、先进超低磁噪声环境（Sun等人, 2026）等同样重要。

多项研究调查了纤维增强复合材料介质中的波传播（Guha和Singh, 2021b, Othmani等人, 2020, S. Singh等人, 2022, A.K. Singh等人, 2022, A. Singh等人, 2021, S. Singh等人, 2021, Singh等人, 2022, S. Guha和A. Singh, 2022, S. Guha和A.K. Singh, 2022），突出了其相比整体材料的优越性能。除波传播外，还有许多涉及智能材料高级应用的研究（Chen等人, 2024, G. Yang等人, 2025, Zhang和Seema, 2026, Chang等人, 2026）。然而，尽管优势明显，在GL、LS和CL热理论框架下，关于由压电-磁致伸缩-热弹（PEMT）材料组成的跨中梁中热弹阻尼（TED）的详细研究仍然缺乏。PEMT梁因其多功能能力而受到越来越多的关注，包括传感、执行和能量转换，使其适用于MEMS器件、能量收集系统、医疗植入物、航空航天振动控制、结构健康监测、微波器件、机器人和基于物联网的电子设备。这些材料可以高效地将磁和机械刺激转换为电响应，通常比传统压电材料需要更低的功率，这在远程或功率受限环境和上述应用中特别有益（Guan等人, 2026, Ma等人, 2025, Zhang等人, 2026）。受这些多样化应用的启发，本工作考虑以PEMT材料作为跨中微梁的基础材料。其结构详情在第2节中介绍。我们选择PEMT材料是因为它们可以通过微机械建模来定制其耦合的机械-电-磁属性，从而实现单体压电或压磁材料无法达到的性能定制。

尽管具有广泛的优点和潜在应用，但在广泛的文献调研之后，我们发现此前未曾进行过在跨中条件下、同时假设CL、LS和GL热理论的薄PEMT微梁TED研究。这是当前新型分析的主要动机，因为与常规研究不同，本工作在跨中构型下同时考虑了对称和反对称振动模态，提供了对梁行为更现实的理解。本研究对所提出的跨中梁进行了详细分析。推导了热弹阻尼（TED）的解析表达式，并评估了相应的CrTh、CrLt和阻尼因子Q?1的数值。这些量显示依赖于振动模态、纤维体积分数、热弛豫时间和梁的几何尺寸。通过图形结果展示了并讨论了这些控制参数对微尺度梁TED行为的影响。还对梁在跨中处的对称和反对称行为进行了模态分析。所得结果可用于传感器、谐振器和能量收集系统等微尺度器件的实际应用，在这些应用中控制能量损耗和提高性能非常重要。这些结果有助于理解材料组成和梁尺寸如何影响阻尼行为，从而设计出更高效、更稳定的结构。特别是，CrTh和CrLt的确定提供了优化器件性能的有用指导。因此，本工作有助于开发使用ZnO和其他智能薄膜材料的高级MEMS/NEMS（Dai等人, 2006b, Dai等人, 2006a, Dai等人, 2005, Dai等人, 2010, Dai等人, 2011），实现更好的振动和能量耗散控制。本研究还可用于涉及耦合热-机交互作用的高精度多功能器件设计，包括柔性纳米操作系统（Y. Liu等人, 2023）、超快光束转向平台（K. Yang等人, 2025）、多物理场和智能工程系统（X. Li等人, 2026, Li等人, 2026b）等。所得成果还可辅助精密激光加工系统（Cao等人, 2025）、先进磁场控制器件（Pang等人, 2025）、提高功能薄膜性能（Dai等人, 2007）、电磁应用（W. Zhang等人, 2025）等。

章节片段

PEMT结构和本构方程

在本节中，我们讨论了所考虑的PEMT复合梁的结构，并给出了PEMT介质的控制方程。PEMT介质的本构行为遵循Li和Dunn（1998b）提出的微观力学均质化框架构建。在此方法中，首先考虑一个两相纤维增强复合材料，由连续基体和嵌入该基体中的平行纤维组成。

视情况而定，纤维可以是压电的（PE）PEMT MS 梁的几何形状与问题表述。在此，我们展示梁的几何形状，并推导控制 PEMT MS 梁横向振动的方程。我们考虑一根具有均匀温度 $T_0$、电势 $\Phi_0$ 和磁势 $\psi_0$ 的薄 PEMT MS 梁。根据所选的笛卡尔坐标系，图1展示了梁的尺寸为：长度 $L$（$0 \leq x \leq L$）、宽度 $a$（$0 \leq y \leq a$）和厚度 $H$（$-H/2 \leq z \leq H/2$）。在梁的顶部和底部表面设有驱动和传感电极，用于产生……

问题的求解。本节介绍用于简化 PEMT MS 梁控制方程的假设解。为求解方程(12)、(13)、(16)、(17)，我们采用 Grover 和 Sharma（2012）提出的解的形式：$w(x,t), T(x,z,t), \phi(x,z,t), \psi(x,z,t) = W(x), \Theta(x,z), \Phi(x,z), \Psi(x,z) \cdot e^{i\omega t}$。将方程(18)代入方程(12)、(13)、(16)、(17)，得到：
$$\Phi(x,z) = \frac{1}{D}\left[-X_1 \frac{z^2}{2} - \frac{H^2}{4}\frac{d^2W}{dx^2}\right]$$
$$\Psi(x,z) = \frac{1}{D}\left[-X_2 \frac{z^2}{2} - \frac{H^2}{4}\frac{d^2W}{dx^2}\right]$$
$$QI\frac{d^4W}{dx^4} + \beta_{11}\frac{\partial^2 M_0T}{\partial x^2} - \rho A\omega^2 W = 0$$
$$K_{11}\frac{\partial^2\Theta}{\partial x^2} + K_{33}\frac{\partial^2\Theta}{\partial z^2} - i\omega T_0 \rho C_h \Theta + i\omega T_0\bar{\beta}_{11}z\frac{d^2W}{dx^2} = 0$$
其中 $M_0T = \tau_1 a\int_{-H/2}^{H/2}\Theta z\, dz$

边界条件。在此，梁的边缘和中间部分采用特定的边界条件，从而得到跨中梁（MS 梁）。正如名称所示，梁的中心点（跨中）对于分析其力学行为具有重要意义。在本研究中，我们考虑梁的左侧固定，梁的中心承受不同条件，从而产生对称模态（SMs）和反对称模态（ASMs）。SMs 的条件为 $W|_{x=0}=W|_{x=L}=0$，$\frac{dW}{dx}|_{x=0}=\frac{dW}{dx}|_{x=L}=0$，以及跨中处的 $\frac{dW}{dx}|_{x=L/2}=0$。

PEMT MS 梁的 TED（热弹性阻尼）。本节给出 TED 的最终表达式。经过附录A中所示的一些计算，PEMT MS 梁的振动频率为：
$$\omega_i = \omega_0\left[1 + \epsilon_T'\left(1 + f(p)\right)\right]$$
其中 $\omega_0 = \frac{\gamma_i^2 H^2 c_{11}(\Lambda_{em}+1)}{3\rho}$，$\epsilon_T' = \frac{\epsilon_T (1-p)}{3X_1 + \lambda 3X_2 \beta_{11} D(\Lambda_{em}+1)}$，$i = 1, \ldots, 6$。

由于 $\epsilon_T' \ll 1$，我们将 $f(\omega_0)$ 替代 $f(p)$，并将方程(44)重写至一阶：
$$\omega_i = \omega_0\left[1 + \frac{\epsilon_T'(1+f(\omega_0))}{2}\right]$$
将 $\omega$ 替换为 $\omega_0$，并利用方程(33)中的欧拉公式，得到：
$$p = 2p' e^{i\theta/2}$$
其中 $\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\omega_0 t_0}\right)$，$p' = \frac{C_h \rho\omega_0^2}{2K_3t_0(2\omega_0^2 + 1)}$。

问题的特殊情况与验证。在此，我们分析该问题的特定情况，并将我们的结果与现有文献中的其他发现进行比较，以验证我们的工作。

结果与讨论。在此，我们进行数值计算，并通过图形说明展示我们获得的结果。数值模拟使用 Mathematica 7.0 完成，计算不同 $t_1$ 和 $V_f$ 值下 MS 梁的 TED、临界厚度（CrTh）和临界长度（CrLt）。图形绘制使用 Mathematica 7.0 和 Inkscape 完成。组成梁层压板的每层 PEMT 层压板均由 BaTiO?-CoFe?O? 复合材料组成，其数据可从 Abo-el 处获得……

结论。在本研究中，我们在经典（CL）、Lord–Shulman（LS）和 Green–Lindsay（GL）热理论下，研究了微尺度压电电磁热弹性（PEMT）跨中（MS）梁的热弹性阻尼（TED，$Q^{-1}$）特性。MS 梁被建模为由相同的、完全键合的均质 PEMT 层压板组成的层压板。每层具有对应于两相 BaTiO?-CoFe?O? 复合材料的有效电磁热力学性质。MS 梁的表示……

CRediT 作者贡献声明：Rajendra Kumar Sahoo：撰写—初稿，可视化，软件，方法论，调查研究，概念设计。Sayantan Guha：撰写—初稿，可视化，验证，监督，软件，项目管理，方法论，调查研究，数据整理。Moumita Mahanty：撰写—初稿，方法论，调查研究，形式分析。Shakti Prasad Mishra：调查研究，形式分析，数据整理。

利益冲突声明：作者声明他们没有已知的经济利益或人际关系可能影响本文所报告的工作。Rajendra Kumar Sahoo | Sayantan Guha | Moumita Mahanty | Shakti Prasad Mishra