利用局部应变场与图神经网络解决球形压痕下纳米压痕逆向分析的唯一性问题

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Resolving uniqueness in nanoindentation inverse analysis under spherical indentation using local strain fields and graph neural networks

　　

- 从理论上证明了纳米压痕反演的非唯一性
- 局部应变场保留了超越P-h曲线的材料敏感信息
- 局部应变场显著提升了材料参数的可识别性
- 图神经网络能够捕捉局部应变场的空间拓扑

**引言**

纳米压痕已成为表征材料在微纳尺度下局部力学行为的最广泛使用技术之一，这得益于其在受控加载条件下精确探测局部变形响应的能力[1]。通过记录压痕加载-卸载过程中的施加载荷-压入深度（P-h）响应，可以通过反演分析定量提取关键的力学性能，包括弹性模量、硬度、断裂韧性、应变硬化行为和粘弹性特征[2]-[5]。与传统的宏观力学测试相比，纳米压痕具有多种优势，例如测试效率高、材料需求少，以及适用于广泛的材料体系。因此，它已被广泛应用于结构薄膜、生物材料、地质材料和消费电子等领域[6]-[10]。在正演分析中，当材料的弹性模量、屈服强度和硬化参数已知时，结合接触力学理论和有限元（FE）建模可以预测压痕引起的变形行为和相应的P-h曲线[11][12]。

尽管应用广泛，纳米压痕反演分析面临的一个主要挑战是材料参数与压痕响应之间的非唯一关系，即不同的参数组合可能产生几乎相同的P-h曲线[13]。这一问题的根本原因在于材料参数之间的复杂耦合以及压痕响应对某些参数的有限敏感性。对于非线性和各向异性材料，由于相互作用的材料参数数量增加，材料属性与压痕响应之间的关系变得更加模糊[14]。此外，实验噪声、压头几何缺陷、表面粗糙度和理想化的接触假设都会给反演分析过程带来额外的不确定性[15][16]。

非唯一性问题并不局限于特定的压头几何形状或本构模型，而是一个普遍存在于纳米压痕反演分析中的挑战——当可用的压痕响应相对于未知材料参数数量包含的独立信息不足时，这一问题尤为突出。随着引入更多本构参数，如塑性、粘塑性或各向异性特性，参数耦合通常变得更加显著，使得可靠的参数识别越来越困难。因此，在具有代表性的、理论上定义明确的接触条件下理解参数非唯一性的来源，是开发更稳健的反演分析框架的重要一步。

从接触力学的角度来看，压痕响应来源于弹性变形和弹塑性变形的耦合贡献。经典赫兹接触理论表明，在球压痕条件下，整体P-h响应由有效弹性模量通过弹性接触力学控制[17]。在仪控压痕分析中，也已证明卸载刚度与材料体系的弹性响应密切相关，为从P-h曲线中提取弹性模量提供了基础[18][19]。这些研究表明，弹性变形是可测量压痕响应的基本组成部分，尤其在控制接触刚度和整体力学特征方面起着关键作用。尽管在大压入深度时塑性变形变得显著，但弹性响应仍然是整体压痕行为的重要组成部分。它在确定P-h响应的刚度主导特征方面起着关键作用，从而直接影响材料参数的可识别性[20]-[22]。因此，阐明弹性变形的作用为理解纳米压痕反演分析中非唯一性的来源提供了必要基础。此外，建立弹性参数效应的清晰描述对于未来将本框架扩展到更复杂的弹塑性和晶体塑性问题也至关重要。

为解决非唯一性问题，先前的研究主要探索了三个类别的方法，即量纲分析[23]、基于FE的反演方法[24]和机器学习（ML）技术[25]。量纲分析通过无量纲公式建立压痕响应与材料性能之间的关系，通常结合辅助特征，如残余压痕形貌，以提高参数可识别性[26]-[29]。基于FE的反演方法在迭代更新材料参数的同时，结合敏感性分析和可识别性评估来缓解非唯一性问题[30]-[33]。近年来，由于机器学习方法能够建模高维参数空间中复杂的非线性关系，从而显著提高反演分析的计算效率，引起了广泛关注[34]-[38]。数据驱动建模和可解释机器学习方法的最新进展进一步展示了从力学数据中学习显式或半显式本构关系的潜力，包括基于符号回归的方法发现物理上可解释的控制方程[39]-[42]。然而，大多数现有方法仍然主要依赖宏观P-h曲线作为输入特征，对压痕过程中产生的高维局部信息（如应变场和应力场）的使用有限[43]-[46]。因此，局部力学场在提高参数可识别性和解决非唯一性问题方面的潜力尚未被探索。

事实上，尽管不同的材料参数组合可能产生几乎无法区分的宏观P-h响应，但其对应的局部力学场不一定相同。从接触力学的观点来看，局部变形不仅受整体接触刚度的控制，还受材料横向变形能力、局部约束效应和应变传递机制的影响[24][47]-[49]。因此，不同参数组合对应的局部应变场分布中仍可能存在显著差异。对于具有不同泊松比的材料，这一效应尤为明显，因为泊松比的变异会导致接触区域附近的应变分布不同，使局部应变场对材料参数更加敏感[50]-[55]。与难以实验获取的局部应力场相比，局部应变场更容易获取。原位全场测量技术的最新进展，如数字图像相关技术，已使得测量压痕区域周围的表面位移场和应变场成为可能[56]-[58]。此外，与代表集成宏观响应的传统P-h曲线不同，局部应变场保留了变形的空间分布，因此包含更丰富的参数敏感信息。

此外，卷积神经网络（CNNs）等深度学习技术在材料科学中已被广泛应用于基于图像的特征识别和缺陷表征，展示了数据驱动方法在提取复杂微观结构信息方面的有效性[59]。这些进展进一步凸显了基于学习的方法在解释高维材料数据方面日益增长的重要性。然而，当应用于FE分析等数值模拟时，生成的局部场数据（如应变场）表现出强烈的空间相关性和固有的非结构化拓扑特征。传统机器学习方法通常依赖此类场的矢量化表示，这不可避免地破坏了空间连接信息，并限制了其捕捉局部梯度演化以及复杂空间耦合响应的能力。图神经网络（GNNs）提供了一种强大的框架，可以直接处理非结构化图数据，并通过消息传递机制学习局部和全局关系。因此，它们在解决涉及高维数据的复杂非线性映射问题方面表现出了卓越的性能[60]-[62]。对于纳米压痕应用，FE模拟产生的局部应变场可以自然地表示为图结构，其中节点描述局部力学状态，边编码空间邻接关系。与传统的基于矢量的方法相比，GNNs可以保留局部场的空间拓扑，同时有效学习异质变形模式，从而增强与不同材料参数组合相关的局部力学响应的判别能力，提高反演分析的可识别性和鲁棒性。

为了解决唯一性问题，本研究提出了一种将局部应变场信息与图神经网络相结合的纳米压痕反演分析框架。首先，采用赫兹接触理论和FE模拟来研究在相同有效弹性模量下不同材料参数组合引起的局部应变场分布差异，从而揭示纳米压痕反演非唯一性背后的机制。随后，将局部应变场表示为图结构化数据，并开发基于GNN的模型来学习局部场中嵌入的空间相关特征，建立材料参数与应变场响应之间的高维映射。最后，将所提出的框架与传统的基于P-h曲线的反演方法进行了系统比较，以评估局部应变场信息所提供的可识别性和鲁棒性。研究结果为解决纳米压痕反演分析中的非唯一性问题提供了新的视角，并为局部场信息辅助的智能材料参数识别提供了理论基础。

**章节摘要**

**基于赫兹接触理论的纳米压痕反演识别唯一性分析**

为调查纳米压痕反演分析中非唯一性的来源，首先考虑了球压头与弹性半空间之间的经典赫兹接触问题。假设压头和试件均呈线弹性行为，可以解析地考察压痕响应与材料参数之间的关系。根据赫兹接触理论，球形压痕的P-h关系为：

其中R为压头半径

**相同有效弹性模量下的局部应变场特征**

尽管在相同有效弹性模量下不同的材料参数组合产生几乎相同的宏观P-h响应，但其对应的局部应变场不一定相同。不同压入深度的初步分析表明，随着压痕的推进，局部应变场之间的差异变得越来越明显。因此，选择最大压入深度为200 nm进行以下分析，此时局部……

**结论**

本研究通过整合赫兹接触理论、FE模拟和GNN技术，研究了纳米压痕材料参数识别中的非唯一性问题。系统地分析了宏观压痕响应、局部应变场和材料参数之间的关系。理论分析表明，在弹性球压痕下，E和v的不同组合可能对应于相同的有效弹性模量和……

**CRediT作者贡献声明**

徐龙：审稿与编辑、原创草稿撰写、监督、方法论、资金获取。李雅西：原创草稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、调查研究、形式分析。顾唐：审稿与编辑、验证、监督、方法论、概念化

**利益冲突声明**

? 作者声明不存在任何已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**

本研究得到了国家自然科学基金（编号：52475166, 12302093）和国家重点研发计划（编号：2024YFE0204900）的支持。作者感谢使用公开可用的开源机器学习库，包括PyTorch和PyTorch Geometric。本研究中使用的数据集均为基于传统连续介质力学公式的标准有限元模拟合成的数据。

**李雅西 | 顾唐 | 徐龙**