长记忆得分驱动模型作为粗糙奥恩斯坦–乌伦贝克过程的近似方法

《European Journal of Operational Research》：Long memory score-driven models as approximations for rough Ornstein–Uhlenbeck processes

　　

摘要

• 长记忆分数驱动模型在适当缩放下弱收敛于粗糙的Ornstein-Uhlenbeck过程。
• 它们通过非对称分数函数捕捉粗糙波动率与杠杆效应。
• 一种并行分治算法加速了大规模期权定价。

引言

分数驱动模型，又称广义自回归分数模型，由Creal、Koopman和Lucas（2013）以及Harvey（2013）提出，是一类观测驱动的时间序列模型，其中参数更新由分数——对数似然函数的梯度——驱动。通过将数据分布的分数与参数动态统一在一个框架中直接关联，这些模型继承了灵活性与一般性，涵盖了GARCH（Bollerslev, 1986）和ACD（Engle & Russell, 1998）等许多经典模型。在理论上，分数驱动模型已被证明在最小化真实分布与假定分布之间的Kullback–Leibler散度方面具有最优性（Gorgi, Lauria, & Luati, 2024）。此外，在统计推断中，模型的闭式似然函数便于高效的极大似然估计，与参数驱动模型相比表现出更低的计算成本。在应用方面，它们在经济、金融和管理等多样化领域中也展现出稳健的实证表现（见Barunik et al., 2016, Hansen and Tong, 2026, Sarlo et al., 2023）。在短短几年内，关于分数驱动模型的文献已增长至超过400篇出版物，综合书目见gasmodel.com。

鉴于分数驱动模型在时间序列分析中的显著影响，一个自然的问题浮现：它们的连续时间对应形式会是什么样？基于Nelson（1990）推导GARCH连续时间极限的方法，Buccheri、Corsi、Flandoli和Livieri（2021）研究了分数驱动波动率模型的连续时间极限，获得了二维扩散过程。类似地，Wu和He（2025）研究了Blasques、Francq和Laurent（2023）提出的准分数驱动波动率模型的连续时间极限，推导出了一个相关的随机波动率模型。然而，他们研究的分数驱动模型仅包含一阶或有限阶滞后，均具有马尔可夫性。事实上，当模型最初在Creal等（2013）中引入时，就提出了是否可以扩展到无限滞后形式的问题。Janus、Koopman和Lucas（2014）以及Opschoor和Lucas（2019）通过提出长记忆分数驱动模型追求了这种扩展。这自然引出了一个问题：这种长记忆版本的连续时间对应形式是什么？

另一方面，自Gatheral、Jaisson和Rosenbaum（2018）发现波动率是粗糙的以来，粗糙波动率模型在金融建模中广受欢迎。这些模型的特征是使用Hurst参数H<1/2的分形布朗运动，其路径比布朗运动更粗糙，故名。El Euch、Fukasawa和Rosenbaum（2018）通过采用Hawkes过程建模限价订单簿中的到达动态，研究了粗糙波动率的微观结构。其理论基础源于Jaisson和Rosenbaum（2016）的发现，即近不稳定重尾Hawkes过程的缩放极限是粗糙的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程。其自激结构与分数驱动模型中的观测驱动反馈相呼应，而其核函数的缓慢衰减产生了长记忆。特别是，Cai、He、Wang和Wang（2026）研究了INAR(∞)过程——Hawkes过程的离散时间对应形式——并获得了类似的收敛结果。确实，从分数驱动的角度来看，正如第2节所讨论的，一旦引入全历史滞后结构，具有逆Fisher缩放的泊松分数驱动更新也能恢复泊松INAR(∞)模型的条件强度表示。这激发了我们研究当分数驱动模型扩展到包含长记忆时的缩放极限。

本文确立了一个结论：长记忆分数驱动模型序列在适当缩放下弱收敛于粗糙的Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程。与Jaisson和Rosenbaum（2016）以及Wang、Cui和Zhu（2025）中的累加极限不同，我们证明了重标分数驱动参数过程本身的收敛性。通过将时变参数建模为对数波动率（如EGARCH类模型中那样），我们获得了粗糙波动率模型的一类极限。因此，长记忆分数驱动波动率模型可以作为此类粗糙波动率模型的离散时间近似，从而促进金融应用中高效的蒙特卡洛模拟。事实上，存在日益增长的文献致力于粗糙波动率模型的近似，如分形核的马尔可夫近似（Bayer and Breneis, 2024, Ma and Wu, 2022）和连续时间马尔可夫链（CTMC）方法（Yang, Ma, & Cui, 2025）。然而，据我们所知，除了Wang等（2025）使用INAR(∞)过程近似粗糙Heston模型的方法外，本研究是采用时间序列模型近似粗糙波动率过程的少数方法之一。与此同时，大量并行文献通过ARFIMA类时间序列模型处理波动率中的分形积分；例如，Shi和Yu（2023）在波动率难题的背景下探讨了长记忆与粗糙波动率之间的边界。因此，我们也提供了长记忆分数驱动波动率模型的具体示例，以进一步展示我们理论结果的实践多样性和广泛应用性。在相同的重尾和近不稳定缩放下，长记忆分数驱动波动率模型为粗糙波动率提供了时间序列解释：在第4节的EGARCH类示例中，观测驱动波动率动态的宏观极限是一个粗糙的对数波动率过程。

本文其余部分结构如下。第2节介绍了我们关注的长记忆分数驱动模型，并提供了其连续时间极限的启发式推导。第3节陈述我们的主要收敛结果。定理和命题的证明在简要时于正文中给出；所有剩余证明推迟至附录和补充材料。第4节将这些结果应用于波动率建模，用Gamma-GED-EGARCH(∞)模型及其扩展进行说明。我们进行了粗糙波动率模型的相应近似和期权定价。第5节总结我们的发现并提供未来研究展望。

符号。我们使用小写λ表示离散分数驱动参数，大写Λ表示其重标连续时间版本及其极限。滞后权重表示为?i；在近不稳定序列中，?i(n)=an?i，ψ(n)是相关的更新序列。符号α表示权重的尾指数和粗糙参数，其中H=α?1/2。当使用H?lder空间时，其正则性指数表示为η。

长记忆分数驱动模型

自从Engle（1982）发现经济数据表现出条件异方差性以来，人们逐渐认识到时间序列的某些特征并非不可改变的。具体而言，设{yn}n∈N为一个时间序列，Fn=σ(yn,yn?1,…,y0)为其生成的σ代数。我们用时变参数λn建模yn在Fn?1条件下的条件密度：yn|Fn?1～p(yn|λn,Fn?1)。为解决这一问题，Cox等（1981）提出了两种建模方法：观测驱动模型，其中

主要结果

在上述启发式推导的基础上，本节陈述我们的主要定理并给出其证明。我们以以下假设开始。

假设1

函数U:R→(0,∞)局部有界且局部远离零，并满足lim|x|→∞U(x)=γ，对某个γ>0成立。

假设2

序列an和ωn满足，对某个κ∈(0,∞)和μ∈R?{0}，anα(1?an)KΓ(1?α)→κ，θnωn→μ。

假设3

鞅差阵列{ΔMk(n):0≤k≤n,n≥1}满足：对每个p>2，supn≥1max0≤k≤nE|ΔMk(n)|p<∞。

注3

假设1涉及条件

Gamma-GED-EGARCH(∞)模型

当我们将分数驱动模型用于刻画波动率时，我们关注以下观测时间序列：yn=φ(λn)?n，?n|Fn?1～密度f(?)。如果?n具有单位方差，则φ(λn)实际上是yn的条件波动率。这里，函数φ:R→R+是单调可微的，称为链接函数。此外，如果φ是恒等映射（限制在R+上），则时变参数λn直接刻画yn的条件方差。根据Buccheri等（2021），

结论

本研究揭示了长记忆分数驱动模型与粗糙OU过程之间的联系，前者提供统计稳健性，后者展现出丰富的动态行为，尤其在波动率方面。具体而言，我们发现当α∈(1/2,1)时，滞后项的系数以阶为1+α的幂律速率衰减，极限过程由Hurst参数H=α?1/2的分形布朗运动驱动，这暗示了粗糙性。该结果受到CRediT作者贡献声明

Yinhao Wu: 写作 – 审阅与编辑，写作 – 初稿，可视化，软件，方法论，形式分析。Ping He: 写作 – 审阅与编辑，验证，监督，资金获取。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的可能影响本论文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

作者感谢Yingli Wang富有见地的讨论和有价值的建议，这显著提高了本工作的质量。

Yinhao Wu | Ping He