非连续 t-范 T_A 上 uninorm 的分配律与条件分配律的刻画及其在模糊分类器融合中的应用

《International Journal of Approximate Reasoning》：Characterizations of distributivity and conditional distributivity of uninorms over noncontinuous t-norms T A with applications to fuzzy classifier fusion

　　

•对于 $T_A$ 上的无规定元半群，分配律与条件分配律不等价。
•$T_A$ 上五类无规定元半群分配律的必要与充分条件。
•一种基于 $T_A$ 门控和无规定元半群聚合的两阶段分类器融合框架。

引言

模糊连接词之间的分配律是模糊逻辑中的基本性质；典型示例包括涉及 t-范和 t-余范的分配律 [1], [2]。无规定元半群由 Yager 和 Rybalov 于 1996 年引入 [3]，推广了 t-范和 t-余范 [4], [5], [6], [7]。它们也应用于模糊决策 [8] 和证据理论 [9] 等领域。

在 Linz2000 的闭幕式上（见 Stout [10]），Klement 提出了刻画给定（连续）t-余范上所有（条件）分配律无规定元半群的开放问题。此问题与伪分析密切相关。受伪分析应用的启发，[11], [12], [13] 研究了连续 t-余范上几类著名无规定元半群的分配律和条件分配律。连续 t-范的相应问题由 Ruiz 和 Torrens [13] 进行了研究，其中确立了所考虑算子条件分配律与分配律之间的等价性。关于连续 t-范上特殊无规定元半群类的进一步结果见 [14], [15]，涉及无规定元半群和其他集结算子的相关分配律方程讨论于 [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23]。

然而，某些无规定元半群在剧烈积 t-范 $T_D$（不连续，见命题 3.2 和命题 4.1）上是（条件）分配的。这表明无规定元半群在不连续 t-范上的分配律和条件分配律值得单独研究。在这一方向上，本文研究了一类特殊的不连续 t-范 $T_A$ [4], [24] 上的这两种性质。

本文的主要贡献总结如下。我们研究了不连续 t-范（包括 $T_D$ 和更一般的 $T_A$ 型 t-范）上几类著名无规定元半群的条件分配律，并获得了该算子分配律的刻画结果——包括代表性情况下的必要与充分条件。结果表明，条件分配律和分配律在不连续情况下不再等价，这与几种连续情况下成立的情况形成对比。受此结构启发，我们构建了一个两阶段分类器融合框架，其中阈值化的 $T_A$ 型算子执行门控，$\mathcal{U}_{max}$ 型无规定元半群执行聚合，说明理论结果如何指导实际融合机制的设计。

本文结构如下。第 2 节回顾了 t-范、t-余范和无规定元半群的基本定义和初步结果。第 3 节讨论无规定元半群在剧烈积 $T_D$ 和一般不连续 $T_A$ 型 t-范上的条件分配律。第 4 节研究相应的分配律问题，并阐明分配律与条件分配律的区别。第 5 节介绍分类器融合的应用，涵盖两阶段融合架构、数值示例、与基分类器的比较以及参数敏感性分析。第 6 节总结全文。

章节片段

预备知识
为了方便起见，本节给出一些定义和先前结果。

定义 2.1 [4] t-范是二元函数 $T: [0, 1]^2 \rightarrow [0, 1]$，使得对于所有 $x, y, z \in [0, 1]$ 满足以下条件：
(T1) $T(x, y) = T(y, x)$。
(T2) $T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z))$。
(T3) $T(x, y) \leq T(x, z)$ 每当 $y \leq z$。
(T4) $T(x, 1) = x$。

文献中通常讨论以下 t-范 $T_M, T_D$ 和 $T_{nM}$。它们的定义分别为：
$T_M(x, y) = \min(x, y)$。
$T_D(x, y) = \begin{cases} 0, & (x, y) \in [0, 1[^2 \\ \min(x, y), & \text{otherwise} \end{cases}$。

不连续 t-范 $T_A$ 上无规定元半群的条件分配律
本节重点研究命题 2.1 中不连续 t-范 $T_A$ 上无规定元半群的条件分配律。首先给出关于无规定元半群（t-余范）在 t-范 $T_D$ 上条件分配律的几个结果。

命题 3.1 设 S 为任意 t-余范。则 S 在 $T_D$ 上条件分配。
证明
我们只考虑 $y=1$ 或 $z=1$ 的情况。不失一般性，设 $y=1$。则我们有
$S(x, T_D(1, z)) = S(x, z) = T_D(1, S(x, z)) = T_D(S(x, 1), S(x, z))$。
所以，S 是条件分配的。

不连续 t-范 $T_A$ 上无规定元半群的分配律
本节重点研究无规定元半群在 t-范 $T_A$ 上的分配律。

命题 4.1 设 U 为中数元 $e \in ]0, 1[$ 的无规定元半群。
(i) 若 U 是析取型无规定元半群，且对于所有 $(x, y) \in ]e, 1[^2$ 有 $U(x, y) < 1$，则 U 在 $T_D$ 上分配当且仅当对于所有 $x \in [0, 1[$ 有 $U(x, 0) = 0$。
(ii) 若 U 是合取型无规定元半群，则 U 在 $T_D$ 上不分配。
证明
(i) 必要性。根据命题 3.2，如果 U 在 $T_D$ 上分配，则对于所有 $x \in ]0, 1]$ 有 $U(x, 1) = 1$。若存在 $x \in ]e, 1[$ 使得 $U(x, 0) = \max(x, 0) = x$，则对于 y, z

在分类器融合中的应用
在分类器融合中，将几个基分类器的输出组合成单一决策需要一个聚合机制，该机制既要对分类器之间的一致程度敏感，也要对每个单独预测的信心敏感。一种自然策略是应用门控步骤来抑制弱信号或冲突信号，随后通过聚合步骤融合保留的信息。
$T_A$ 型 t-范的条件行为以及区域依赖的聚合

结论
本文研究了几类著名无规定元半群在不连续 t-范 $T_A$ 上的分配律和条件分配律。对于剧烈积 $T_D$ 和更一般的 $T_A$ 型算子，我们获得了刻画结果，包括代表性情况下的必要与充分条件。结果表明，不连续 t-范上分配律的行为与几种连续情况下的行为有显著差异。特别是，条件

CRediT 作者贡献声明
孙立军：写作 – 初稿，可视化，软件，数据管理，概念化。
郑利腾：写作 – 初稿，可视化，研究，概念化。
李刚：写作 – 审阅与编辑，监督，研究，资金获取，形式分析。
秦峰：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，资金获取。

利益冲突声明
作者声明，他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本文所述的工作。

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